Автор Тема: Анализ абсолютно упругого удара разных масс на разных скоростях..  (Прочитано 594 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Для меня технически сложна была алгебра этой темы, что приводило к опечаткам и неточностям.
Потому я убирал все ранние сообщения и создал тему заново, с исправлением опечаток и неточностей.

Масса m кг движется слева направо со скоростью Vm м/сек,  масса М  кг, движется ей навстречу со скоростью VMм/сек.Найти скорости этих масс после абсолютно упругого их столкновения.
Показываю на рисунке.

Использую принцип сложения разных векторов разных двух тел..
Вектора, направленные навстречу, складываются.
 В одну сторону,  вектора вычитаются.

Задача начинает решаться из одинакового времени t действия каждого тела на другое и равенства сил F взаимодействия по третьему закону Ньютона.Значит оба тела получают одинаковый импульс  F*t    (1)    
Но в разные стороны.      
Из этого условия получаем систему уравнений
\(-F*t = -m*U_m\)          (2)
\(F*t = M*U_M\))         (3)
Отсюда
\(m*U_m = M*U_M\)  (4)         \(U_m = \frac {M}{m} U_M\)   (5)

\(U_m\) и \(U_M\) Это не скорости  тел после удара, это изменение скоростей тел после удара.
Скорость первого тела после удара будет  \(V^,_m =  V_m - \frac {M}{m} U_M\)  (6)
Скорость второго тела будет \(V_M'  =   V_M  -   U_M \)        (7)

Получаем уравнение с одним неизвестным  \(U_M\), которое определяем из равенства кинетической энергии до удара и после.

Кинетическая энергия до удара                \(mV_m^2/2 + MV_M^2/2\)     (8)
Кинетическая энергия после удара             \(mV^{,2}_m /2+ MV^{,2}_M/2\) (9)

Берем равенство кинетической энергии до удара и после.
   \(mV_m^2/2 + MV_M^2/2 =mV^{,2}_m /2+ MV^{,2}_M/2\)

               \(mV_m^2 + MV_M^2 =mV^{,2}_m + MV^{,2}_M\)  (10)

В это уравнение подставляем   \(V^,_m = V_m - \frac {M}{m} U_M\)  и \(V_M' = V_M  -  U_M \)

\(mV^{,2} = m(V_m - \frac {M}{m} U_M)^2 = mV_m^2  -  2V_mM U_M + \frac {M^2}{m} U_M^2\)   (11)

 \(MV^{,2}_M = M(U_M - V_M)^2 = MU_M^2 - 2MU_mV_M + MV_M^2\)  (12)

Пишем равенство к.э. левой и правой части
 \(mV_m^2 + MV_M^2  = mV_m^2)  -  2V_mM U_M + \frac {M^2}{m} U_M^2 + )MU_M^2) - 2MU_mV_M + MV_M^2\)    (13)
Сокращаются подобные члены в левой и правой части. \(mV_m^2\)  и  \(MV_M^2\)

 \(0 =  -  2MV_m U_M + \frac {M^2}{m} U_M^2 + MU_M^2 - 2MU_mV_M  \)

\(MU_M^2 + \frac {M^2}{m} U_M^2 - 4MV_m U_M + MU_M^2 = 0\)    (14)

Получаем квадратное уравнение

\(U_M^2 (1 + \frac {M}{m})  - 4V_m U_M  = 0\)    (15)


\(U_M(1 + \frac {M}{m})  - 4V_m =0\)        (19)

\(1 + \frac {M}{m} = \frac {m + M}{m}\)

\(U_M \frac {m + M}{m} – 4V_m = 0\)

\(U_M = \frac {4V_m *m}{m+M}\)

\(U_M = +\frac {4V_m*m}{m + M}\)     направлена в плюс  (-10) +13,33-10 = 3,33 !!!!!!!
V_M направлено в минус
\(V^,_M  = -V_M + U_M = -V_M + \frac {4V_m*m}{m + M} =  \frac {-V_M(m + M) + 4V_m*m}{m + M}\)    (21)

\(V^,_m = V_m - \frac {M}{m} U_M = V_m - \frac {M}{m} \frac {4V_m*m}{m + M}\)    (22)

\( V^,_m =  \frac {V_m(m+M)  -  4 M*V_m}{m+M} \)        (23)

Правильный шаблон   \( V^,_m =  \frac {V_m*(m+M) - 4M*V_m}{(m+M} \)    (24)

                                  \(V^,_M  =  \frac {V_M(m + M) - 4V_m*m}{m + M}\)    (25)

Проверяем для м = 2, M = 10, V_m = 20  V_M = -10

\( V^,_m =  \frac {20*12 - 4*10*20}{12} = - 46.666 \)    (24)

\(V^,_M  =  \frac {-10*12 +4*20*2}{12} = 3.333\)

Сумма импульсов 2* (- 46.666) + 10*3,333 = - 60

До удара сумма импульсов - 10*10 +2-20 = - 60

Интернетовский шаблон

По интернетовскому шаблону скорость  первого тела после удара
\(V^{,}_m = \frac {-8*20 -2*10*10}{12}= \frac {-160 - 200}{12}\)= -30 м/сек
Скорость второго тела
\(V^,_M  =  \frac {V_M(M - m) + 2V_mm}{m + M} =  \frac {-10*8 + 2*20*2}{12} = 0\)    

Проверяем для случая m = M     Vm = VM =  10 м/сек

\( V^,_m =  \frac {V_m(m+M) - 4MV_m}{(m+M}   =  \frac {10*2m) – 4m*(10) }{2m}  =  -20\)  
 
 \(V^,_M  =  \frac {V_M(m + M) -4V_mm}{m + M} =  \frac {-10*2m – 4*-10}{2} = 20\)  

 По интернетовскому шаблону скорость  первого тела после удара
\(V^{,}_m = \frac {-2*10*m}{2m}\)  = -10 м/сек
Скорость второго тела
   \(V^,_M   = \frac { – 2*(-10)*m}{2}\) = +10  м/сек

Возникает вопрос. Почему разница?

Кинетическая энергия по настоящему расчету после удара
 2*46,666^2/2 + 10*3.333^2/2 = 2177,7 + 55.55 = 1033,3 кг*метр2/сек2
 
До удара 2*202/2 + 10*102/2 = 900 кг*метр2/сек2
А это второй вопрос.

« Последнее редактирование: 12 Февраль 2017, 21:47:07 от Dachnik »

Большой Форум


Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Бывает, что задачу по столкновению двух тел решают через скорость сближения, когда второе тело принимают неподвижным, а скорость перевого тела принимают равной скорости сближения (V_m + V_M)/
Математическая физика и Галилей запрещают такое баловство с точками отсчета.
Допустим, относительно неподвижного Галилея ближнее первое тело удаляется со скоростью 20 м/сек.
Второе дальнее тело приближается к Галилею со скоростью 10 м/сек.
Если кто то заявит, что он видит будто второе тело неподвижно, первое тело приближается ко второму со скоростью 30 м/сек и бедолагу Галилея тащат по дороге со скоростью 10 м/сек ко второму телу, то Галилей будет очень недоволен. >G
Галилей конечно возмущался, типа какой дурак его куда то тащит, но его успокоили.
Объяснили, что никто его никуда не тащит, просто решается другая задача, в которой он и второе тело неподвижны, а первое тело движется со скоростью 30 м/сек.
Но раз другая задача, то и результат будет другой.

Первое тело будет иметь скорость \((V_m  + V_M)  = 30 м/сек\)

Второе тело  стоит

Масса первого тела 2 кг, второго 10 кг

Скорость первого тела после удара \(V^,_m = 30 - (M/m) U_M  =  30 - 5U_M\)

Скорость второго тела после удара     \(U^,_M =  U_M - V_M =  U_M  - 0 = U_M\)  

Кинетическая энергия системы до удара \(E = 2*30^2/2  = 900 \)  

Кинетическая энергия системы после удара равна до удара  

\(2* (30 - 5U_M)^2 /2   + 10*U_M^2/2  =   900\)

\((30 - 5U_M)^2 + 5*U_M^2 = 900\)  

\(900 - 2*30*5U_M + 25U_M^2 = 900\)

\(25U_M^2 - 300U_M = 0\)

\(U_M^2 - 12 U_M = 0\)

\(U_M(U_M - 12) = 0\)

\(U_M = 12\)

\(V^,_m  =  30 - 5U_M = - 30\)

\(V^,_M = 12\)
Сумма импульсов  10*12 + 2*-30 = 60  Как и до удара 2*30 + 10*0

Кинетическая энергия \(2*30^2/2 + 10*12^2/2 = 900 + 720 = 1620 > 900\)

Не сохранилась кинетическая энергия.






« Последнее редактирование: 12 Февраль 2017, 12:27:25 от Dachnik »

Большой Форум