Для меня технически сложна была алгебра этой темы, что приводило к опечаткам и неточностям.
Потому я убирал все ранние сообщения и создал тему заново, с исправлением опечаток и неточностей.
Масса m кг движется слева направо со скоростью V
m м/сек, масса М кг, движется ей навстречу со скоростью V
Mм/сек.Найти скорости этих масс после абсолютно упругого их столкновения.
Показываю на рисунке.
Использую принцип сложения разных векторов разных двух тел..
Вектора, направленные навстречу, складываются.
В одну сторону, вектора вычитаются.
Задача начинает решаться из одинакового времени t действия каждого тела на другое и равенства сил F взаимодействия по третьему закону Ньютона.Значит оба тела получают одинаковый импульс F*t (1)
Но в разные стороны.
Из этого условия получаем систему уравнений
\(-F*t = -m*U_m\) (2)
\(F*t = M*U_M\)) (3)
Отсюда
\(m*U_m = M*U_M\) (4) \(U_m = \frac {M}{m} U_M\) (5)
\(U_m\) и \(U_M\) Это не скорости тел после удара, это изменение скоростей тел после удара.
Скорость первого тела после удара будет \(V^,_m = V_m - \frac {M}{m} U_M\) (6)
Скорость второго тела будет \(V_M' = V_M - U_M \) (7)
Получаем уравнение с одним неизвестным \(U_M\), которое определяем из равенства кинетической энергии до удара и после.
Кинетическая энергия до удара \(mV_m^2/2 + MV_M^2/2\) (8)
Кинетическая энергия после удара \(mV^{,2}_m /2+ MV^{,2}_M/2\) (9)
Берем равенство кинетической энергии до удара и после.
\(mV_m^2/2 + MV_M^2/2 =mV^{,2}_m /2+ MV^{,2}_M/2\)
\(mV_m^2 + MV_M^2 =mV^{,2}_m + MV^{,2}_M\) (10)
В это уравнение подставляем \(V^,_m = V_m - \frac {M}{m} U_M\) и \(V_M' = V_M - U_M \)
\(mV^{,2} = m(V_m - \frac {M}{m} U_M)^2 = mV_m^2 - 2V_mM U_M + \frac {M^2}{m} U_M^2\) (11)
\(MV^{,2}_M = M(U_M - V_M)^2 = MU_M^2 - 2MU_mV_M + MV_M^2\) (12)
Пишем равенство к.э. левой и правой части
\(mV_m^2 + MV_M^2 = mV_m^2) - 2V_mM U_M + \frac {M^2}{m} U_M^2 + )MU_M^2) - 2MU_mV_M + MV_M^2\) (13)
Сокращаются подобные члены в левой и правой части. \(mV_m^2\) и \(MV_M^2\)
\(0 = - 2MV_m U_M + \frac {M^2}{m} U_M^2 + MU_M^2 - 2MU_mV_M \)
\(MU_M^2 + \frac {M^2}{m} U_M^2 - 4MV_m U_M + MU_M^2 = 0\) (14)
Получаем квадратное уравнение
\(U_M^2 (1 + \frac {M}{m}) - 4V_m U_M = 0\) (15)
\(U_M(1 + \frac {M}{m}) - 4V_m =0\) (19)
\(1 + \frac {M}{m} = \frac {m + M}{m}\)
\(U_M \frac {m + M}{m} – 4V_m = 0\)
\(U_M = \frac {4V_m *m}{m+M}\)
\(U_M = +\frac {4V_m*m}{m + M}\) направлена в плюс (-10) +13,33-10 = 3,33 !!!!!!!
V_M направлено в минус
\(V^,_M = -V_M + U_M = -V_M + \frac {4V_m*m}{m + M} = \frac {-V_M(m + M) + 4V_m*m}{m + M}\) (21)
\(V^,_m = V_m - \frac {M}{m} U_M = V_m - \frac {M}{m} \frac {4V_m*m}{m + M}\) (22)
\( V^,_m = \frac {V_m(m+M) - 4 M*V_m}{m+M} \) (23)
Правильный шаблон \( V^,_m = \frac {V_m*(m+M) - 4M*V_m}{(m+M} \) (24)
\(V^,_M = \frac {V_M(m + M) - 4V_m*m}{m + M}\) (25)
Проверяем для м = 2, M = 10, V_m = 20 V_M = -10
\( V^,_m = \frac {20*12 - 4*10*20}{12} = - 46.666 \) (24)
\(V^,_M = \frac {-10*12 +4*20*2}{12} = 3.333\)
Сумма импульсов 2* (- 46.666) + 10*3,333 = - 60
До удара сумма импульсов - 10*10 +2-20 = - 60
Интернетовский шаблон
По интернетовскому шаблону скорость первого тела после удара
\(V^{,}_m = \frac {-8*20 -2*10*10}{12}= \frac {-160 - 200}{12}\)= -30 м/сек
Скорость второго тела
\(V^,_M = \frac {V_M(M - m) + 2V_mm}{m + M} = \frac {-10*8 + 2*20*2}{12} = 0\)
Проверяем для случая m = M Vm = VM = 10 м/сек
\( V^,_m = \frac {V_m(m+M) - 4MV_m}{(m+M} = \frac {10*2m) – 4m*(10) }{2m} = -20\)
\(V^,_M = \frac {V_M(m + M) -4V_mm}{m + M} = \frac {-10*2m – 4*-10}{2} = 20\)
По интернетовскому шаблону скорость первого тела после удара
\(V^{,}_m = \frac {-2*10*m}{2m}\) = -10 м/сек
Скорость второго тела
\(V^,_M = \frac { – 2*(-10)*m}{2}\) = +10 м/сек
Возникает вопрос.
Почему разница?Кинетическая энергия по настоящему расчету после удара
2*46,666^2/2 + 10*3.333^2/2 = 2177,7 + 55.55 = 1033,3 кг*метр
2/сек
2 До удара 2*20
2/2 + 10*10
2/2 = 900 кг*метр
2/сек
2А это второй вопрос.