Автор Тема: Новое в теории упругого столкновения двух масс  (Прочитано 878 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
В интернете есть статьи на эту тему, но их авторы используют готовые законы сохранения сумм импульсов и энергии при абсолютно упругих столкновениях, не вдаваясь в физику процесса упругого удара.
Для начала покажу простой случай абсолютно упругого удара, затем покажу решение задачи в общем виде.

Решаю задачу определения скоростей шаров после лобового столкновения, для следующих начальных данных.
Масса первого шара равна m = 5кг. Масса второго шара равна M = 15кг. Скорость первого шара равна  v =7 м/с . Скорость второго шара равна 4 м/с.

Из условия равенства сил действия масс друг на друга F (Третий Закон) и равенства времени  действия тел друг на друга t, имеем равенство импульсов F*t  = mV торможения   первого тела и ускорения второго тела.
При этом получается следующее  равенство.
\(m*v_m + M*v_M = m*v_m - F*t + M*v_M + F*t  = m*v_m + M*v_M\)

Это называют законом сохранения сумм импульсов двух тел при упругом столкновении.
Но для дальнейшего решения он не требуется.

Из выражения   \(M*V_2 = m*V_1\)  
                                                                 \(V_2 = V_1\frac  {m}{M}\)

Эти V не скорости тел после удара, это изменение начальных скоростей тел.

Скорость второго  тела после ускорения  станет \(U_2  =   4+ V_1\frac  {5}{15} =  4 + 0.333V_1 \)    м/сек

Скорость первого тела будет после торможения будет \(U_1 =  (7  -  V_1)\)  м/сек

Из уравнений с двумя неизвестными, я получаю уравнение суммы кинетических энергий с  одним  неизвестным \(V_1\)

Кинетическая энергия до удара равна  \(5*7^2/2 + 15*4^2/2 = 122.5 + 120 = 242.5\) джоуль
После удара
 \(5(7 - V_1)^2   +  15*(4+ 0.333V_1)^2 = 485 \)

\(5*(7^2 - 2*7*V1  + V1^2) + 15(16 +8*0.333 V_1 + 0.333^2*V1^2 )= 485\)

\(245 - 70V_1 + 5*V1^2 +  240 + 39.96V_1 + 1.663V_1^2  = 485\)

\(6.663V1^2 - 30.04 V_1  = 0\)

\(V_1(6.663V1 - 30.04 ) = 0\)

\(V_1 = \frac {30.04}{6.663} = 4.5\)

Скорость  первого тела после удара 7 - 4.5 = 2.5 м/сек

Скорость второго тела после удара = 4 +0.333 *4.5 = 5.5 м/сек

Сумма кинетических энергий до удара    242.5  джоуль

После удара  \(5*2.5^2/2 + 15*5.5^2/2 =  25.625 +227,7 = 242,5 \)   джоуль

Сумма импульсов до удара была 5*7 + 15*4= 95
После удара   =  5*2.5 + 15*5.5 = 12.5 + 82.5 = 95

Если в условия задачи заложить сохранение энергии, то другого решения быть не может.
Но равенство сумм импульсов я в задачу не закладывал, но получил в процессе решения.
Я заложил свое понимание физики взаимодействия тел при абсолютно упругом ударе.

В продолжении темы, решение в общем виде.


Заменил расчет в котором скорость второго тела была равна 0. Расчет на скорость сближения может быть неверным.






« Последнее редактирование: 01 Май 2017, 13:23:56 от Dachnik »

Большой Форум

Загрузка...

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Решаю задачу определения скоростей шаров после лобового столкновения, для следующих начальных данных.
Масса первого шара равна m . Масса второго шара равна M  Скорость первого шара равна  v1 м/сек  .
Скорость второго шара равна v2 м/с.
Из выражения   \(M*V_2 = m*V_1\)  
                                                                 \(V_2 = V_1\frac  {m}{M}\)

Эти V не скорости тел после удара, это изменение начальных скоростей тел.

Скорость второго  тела после ускорения  станет \(U_2  =  v_2 + V_1\frac  {m}{M}  \)    м/сек

Скорость первого тела будет после торможения будет \(U_1 =  (v_1  -  V_1)\)  м/сек

Из уравнений с двумя неизвестными, я получаю уравнение суммы кинетических энергий с  одним  неизвестным \(V_1\)

Кинетическая энергия до удара *2 равна  \( mv_1^2  + Mv_2^2\)
После удара
 \( m(v_1  -  V_1)^2 +  M(v_2 +V_1\frac  {m}{M})^2  =   mv_1^2  + Mv_2^2 \)

\(mv_1^2 - 2mv_1V_1 + mV_1^2 + Mv_2^2 + 2mv_2V_1 + V_1^2m^2/M  = mv_1^2  + Mv_2^2\)

Подобные члены в левой и правой части \(mv_1^2\,  и \,Mv_2^2\) сокращаются, остается

\(mV_1^2 + V_1^2m^2/M + 2mv_2V_1 - 2mv_1V_1  = 0\)

\(mV_1^2(1 + m/M) + 2mV_1(v_2 - v_1) = 0 \)

\(V_1^2(1 + m/M) + 2V_1(v_2 - v_1) = 0\)

\(V_1[V_1(1 + m/M) + 2(v_2 - v_1] = 0\)

\(V_1 = \frac {2(v_1 - v_2}{1 + m/M} = \frac {2M(v_1 - v_2)}{M + m}\)

Скорость  первого тела после удара
 \[ U_1 = (v_1 - V_1) = v_1 -  \frac {2M(v_1 - v_2)}{M + m} = \frac { v_1(M + m) -  2M(v_1 - v_2)}{M + m}  \]  м/сек
Подставляем данные из задачи в первом посту.
M + m = 15 + 5     Скорость  первого тела после удара 7 - 4.5 = 2.5 м/сек
Скорость второго тела после удара = 4 +0.33 *4.5 = 5.5 м/сек
\[ U_1 = \frac { v_1(M + m) -  2M(v_1 - v_2)}{M + m}  =\frac { 7*20 -  30*3}{20}  = 2.5  \]

Скорость второго тела после удара

 \(U_2  =  v_2 + V_1\frac  {m}{M}  \)      м/сек
 \[ v_2 + \frac {2M(v_1 - v_2)}{M + m}\frac {m}{M} = \frac {(M+m)v_2 + 2m
(v_1 - v_2)}{(M+m)}       \]
Подставив в это уравнение данные задачки получаем \(U_2 =  \frac {(M+m)v_2 + 2m(v_1 - v_2)}{(M+m)}  \)
 \[ \frac {(M+m)v_2 + 2m(v_1 - v_2)}{(M+m)}  = \frac {(20)*4 + 2*5*3}{20)} =  = 5.5\,метр/сек  \]

« Последнее редактирование: 03 Май 2017, 07:26:38 от Dachnik »

Оффлайн Ltlekz49

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 28572
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +726/-1366
  • Хамству бой!
Какой идиот придумал ЗАКОН сохранения импульса????
Нет того закону!!!
Есть элементарнейшее следствие из законов Ньютона, приводимое им под именем Следствия 3:



И это следствие никак не связано с упругостью удара - количество движения сохраняется всегда!!!
Изучайте классиков физики, а не ВИКУ - помойку из околофизических мифов.
Математические модели создают иллюзию понимания физических процессов.
Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» Гегель.

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Какой идиот придумал ЗАКОН сохранения импульса????
Нет того закону!!!
Есть элементарнейшее следствие из законов Ньютона, приводимое им под именем Следствия 3:


И это следствие никак не связано с упругостью удара - количество движения сохраняется всегда!!!
Изучайте классиков физики, а не ВИКУ - помойку из околофизических мифов.
Только идиот не знает, что закон сохранения импульса, это первый закон Ньютона.
 Потому как даже вику не понимает. А туда же, с советами лезет
А вот сохранение сумм импульсов при столкновении двух тел может быть только при абсолютно упругом ударе.
Достаточно посмотреть, как стальной шарик по мраморной плитке прыгает.

Оффлайн Ltlekz49

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 28572
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +726/-1366
  • Хамству бой!
Только идиот не знает, что закон сохранения импульса, это первый закон Ньютона.
 Потому как даже вику не понимает. А туда же, с советами лезет
А вот сохранение сумм импульсов при столкновении двух тел может быть только при абсолютно упругом ударе.
Достаточно посмотреть, как стальной шарик по мраморной плитке прыгает.
Эх, Дачник, не читал ты Начал, не знаешь и законов Ньютона, повторяешь лживые измышления идеалистов.
Количество движения сохраняется не у шарика, а у СИСТЕМЫ взаимодействующих тел независимо от их упругости - и это не закон, а строгое следствие из законов Ньютона.
Математические модели создают иллюзию понимания физических процессов.
Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» Гегель.

Оффлайн Ltlekz49

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 28572
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +726/-1366
  • Хамству бой!
Что Колхозник, бодливая корова до рогов дорвалась?
Ты бы лучше срам собственный прикрыл удалив свои посты. Такую чушь загибаешь!
"Ты Зин на грубость нарываешься...", поэтому удали своё сообщение ни о чём - нечего сказать - промолчи.
Математические модели создают иллюзию понимания физических процессов.
Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» Гегель.

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
"Ты Зин на грубость нарываешься...", поэтому удали своё сообщение ни о чём - нечего сказать - промолчи.
Я этого паскудника сам вычищу.
Мне не трудно по кнопке щелкнуть.

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
В учебниках и на этом сайте выражение для скоростей после удара
https://www.fxyz.ru/формулы_по_физике/механика/динамика/импульс_и_соударение_тел/упругое_соударение/

У меня, после преобразования числителя, такое же.

\[U_1 =  \frac { (M + m)u_1 -  2M(u_1 - u_2)}{M + m}\]
\[U_2 =  \frac {(M+m)u_2 + 2m(u_1 - u_2)}{(M+m)} \]

Разница в том, что авторы исходили из равенства суммы скоростей для тела до и после удара.
Ее они и получили.
Квадратного уравнения не решали. Физический смысл их преобразований не пояснялся.

« Последнее редактирование: 14 Май 2017, 09:25:43 от Dachnik »

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Ага, столкновение Дачника и Апета.  */8$
Ты ж своей массой растолкаешь всех участников, и будешь общаться сам с собой.
Таким как вы и Апет в моих темах делать нечего.

Оффлайн Владимир Савельев

  • Прирождённый оратор
  • ***
  • Сообщений: 213
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +39/-173
  • Пол: Мужской
  • Всем удачи!))
А ведь и правда) - Зачем закон сохранения импульса сводить к частному случаю - к закону для для упругих тел) . Пусть тело массой m1 и скоростью v1 сталкивается с телом m2,v2. А полученные в результате удара скорости соответственно v3 и v4. Согласно третьему закону Ньютона – в процессе соударения сила, действующая на каждое из соударяющихся тел в любой момент контакта будет одинакова, а согласно второму закону тел сила будет пропорциональна массе этого тела и ускорению, которое это тело будет испытывать. То есть F1=F2=m1 a1=m2 a2 в любой момент всего времени контакта. Проинтегрировав это соотношение по времени контакта как раз и получим закон сохранения импульса |m1(v3-v1)|=|m2(v4-v2)|. То есть при соударении (взаимодействии) двух тел изменение импульса каждого из тел одинаково. Такую трактовку закона сохранения импульса я считаю более физичной, так как в более глубокомысленной математичной трактовке теряется понимание. Например в такой - "В замкнутой системе тел суммарный импульс системы остается постоянным". Как видим закон сохранения импульса это прямое следствие третьего и второго закона Ньютона, в которых ничего об упругих соударениях не говорится, поэтому и в законе сохранения импульса об этом тоже вроде не стоит упоминать. А вот решение подобных задач невозможно без второго уравнения, описывающего закон сохранения энергии и в случае неупругих соударений, как раз его следует корректировать, вводя коэффициенты восстановления энергии при ударе.
« Последнее редактирование: 09 Июнь 2017, 12:31:28 от Владимир Савельев »
"Категоричность в суждениях- признак ограниченности" Конфуций
" Не относитесь к жизни слишком серьезно — живым Вам все равно из нее не выбраться!"))

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
А ведь и правда) - Зачем закон сохранения импульса сводить к частному случаю - к закону для для упругих тел) . Пусть тело массой m1 и скоростью v1 сталкивается с телом m2,v2. А полученные в результате удара скорости соответственно v3 и v4. Согласно третьему закону Ньютона – в процессе соударения сила, действующая на каждое из соударяющихся тел в любой момент контакта будет одинакова, а согласно второму закону тел сила будет пропорциональна массе этого тела и ускорению, которое это тело будет испытывать. То есть F1=F2=m1 a1=m2 a2 в любой момент всего времени контакта. Проинтегрировав это соотношение по времени контакта как раз и получим закон сохранения импульса  m1(v3-v1)=m2(v4-v2). То есть при соударении (взаимодействии) двух тел изменение импульса каждого из тел одинаково. Такую трактовку закона сохранения импульса я считаю более физичной, так как в более глубокомысленной математичной трактовке теряется понимание.в случае неупругих соударений, как раз его следует корректировать, вводя коэффициенты восстановления энергии при ударе.
При абсолютно упругом столкновении двух одинаковых масс при одинаковой скорости,
без потери  энергии, сумма импульсов сохраняется mv - (- mv) = 2mv.
При вязком столкновении, тела взаимно тормозятся,  сумма импульсов  = 0. 
Оставим конфуцианство конфуцианцем. Не нравится мне их вертикаль.
Мне ближе арифметика.
Если масса 1 кг на скорости 3 м/сек догоняет такую же массу, скорость 2 м/сек и слипается с ней, то кинетическая энергия до удара была 4,5+2 = 6,5 кг*метр2/сек2
Сумма импульсов  3 + 2 = 5 кг*метр/сек.
Если потери энергии составят 3 кг*метр2/сек2
То из уравнения    \(2 кг*V^2/2 = 3.5 кг*метр^2/сек^2\)
\(V = \sqrt {3,5} = 1,87\) м/сек.
Конечный импульс  2кг*1,87  м/сек. = 3,74 кг*метр/сек.
Не сохраняется сумма импульсов.


Оффлайн Ltlekz49

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 28572
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +726/-1366
  • Хамству бой!
При абсолютно упругом столкновении двух одинаковых масс при одинаковой скорости,
без потери  энергии, сумма импульсов сохраняется mv - (- mv) = 2mv.
При вязком столкновении, тела взаимно тормозятся,  сумма импульсов  = 0.  
Оставим конфуцианство конфуцианцем. Не нравится мне их вертикаль.
Мне ближе арифметика.
Если масса 1 кг на скорости 3 м/сек догоняет такую же массу, скорость 2 м/сек и слипается с ней, то кинетическая энергия до удара была 4,5+2 = 6,5 кг*метр2/сек2
Сумма импульсов  3 + 2 = 5 кг*метр/сек.
Если потери энергии составят 3 кг*метр2/сек2
То из уравнения    \(2 кг*V^2/2 = 3.5 кг*метр^2/сек^2\)
\(V = \sqrt {3,5} = 1,87\) м/сек.
Конечный импульс  2кг*1,87  м/сек. = 3,74 кг*метр/сек.
Не сохраняется сумма импульсов.
Дачник, учи арифметику.
Сумма импульсов сталкивающихся шаров это не разность!
mv +(-mv) = 0 как до столкновения, так и после, даже если они пластилиновые!
Если вдогон, то: m*3 + m*2= m*5 = 2m*2,5  - скорость слипшихся будет2,5 м/с и количество движения  сохранится в любом случае.
А потеря энергии при слипании составит 6,5 - 12,5/2 = 6,5 - 6,25  = 0,25 кг*метр/сек, а вовсе не твои потолочные 3.
« Последнее редактирование: 09 Июнь 2017, 10:58:40 от Ltlekz49 »
Математические модели создают иллюзию понимания физических процессов.
Ссылка при объяснении на математику есть «удобное средство избавить себя от труда понять, указать и обосновать понятийные определения» Гегель.

Оффлайн Владимир Савельев

  • Прирождённый оратор
  • ***
  • Сообщений: 213
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +39/-173
  • Пол: Мужской
  • Всем удачи!))
Дачник, учи арифметику.
Сумма импульсов сталкивающихся шаров это не разность!
mv +(-mv) = 0 как до столкновения, так и после, даже если они пластилиновые!
Если вдогон, то: m*3 + m*2= m*5 = 2m*2,5  - скорость слипшихся будет2,5 м/с и количество движения  сохранится в любом случае.
А потеря энергии при слипании составит 6,5 - 12,5/2 = 6,5 - 6,25  = 0,25 кг*метр/сек, а вовсе не твои потолочные 3.
Опередили меня). Абсолютно верно говорите- арифметика здесь векторная). А в случае физичной трактовки ("Изменение импульса каждого из тел при соударении одинаково" надо при решении брать модуль (абсолютную величину) этого изменения.
"Категоричность в суждениях- признак ограниченности" Конфуций
" Не относитесь к жизни слишком серьезно — живым Вам все равно из нее не выбраться!"))

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Оба вы в науках не далеко ушли.
Подумайте что вы тут налепили.
Потом вашу бредятину сотру.
Это для одного тела сумма одинаковых векторов, направленных  в разные стороны равна нулю. Когда сила тяги равна силе трения, тогда и будет по нулям.
Не лезьте вы в мои темы.

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
*/?№!
Вам и 49 учебники не писаны.
А на таких как вы метелка есть.

Оффлайн ieom

  • .,
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 1390
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +350/-388
  • Пол: Мужской
Разница в том, что авторы исходили из равенства суммы скоростей для тела до и после удара.
Квадратного уравнения не решали. Физический смысл их преобразований не пояснялся.


Равенство суммы скоростей получается из ЗСЭ после учета в нем ЗСИ. Этот путь проще, поэтому и стандартный.

Но ведь, как известно , герои идут в обход...  &-%
Даешь Путина в императоры Российской Империи!

Оффлайн Dachnik

  • Модератор
  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 11120
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +403/-1475
  • Пол: Мужской
Равенство суммы скоростей получается из ЗСЭ после учета в нем ЗСИ. Этот путь проще, поэтому и стандартный.

Но ведь, как известно , герои идут в обход...  &-%
Равенство сумм скоростей получается после определения скоростей после удара.
Использовать это для обратного вывода, как то не прилично.
Я использовал то, что импульсы сил взаимодействия равны.

Большой Форум

Loading...