Эта задача похожа на задачу Иродова, которую Дробышев поправил в анимации на БФ в разделе Наука и технология., так как у Иродова не жесткая гантель.
Да, к тому же, Иродов решил задачу неверно и все попытки тамошних "решателей" подогнать их решения под Иродова, неграмотны.
Вот анимация Дробышева.
На какое расстояние переместится стержень после соударений, по перемещениям шара и стержня на анимации.
Анимация показывает, что при перемещении шара на величину радиуса, стержень
делает пол оборота и центр масс стержня тоже перемещается на величину радиуса.
Отсюда ответ очевиден.
Перемещение на анимации не зависит от скорости шара до удара и равно радиусу стержня.
Показываю аналитическое решение этой задачи.Для начала, напомню уважаемым читателям основы Теоретической Механики.
Момент силы деленный на момент инерции дает угловое ускорение. Это аналогия со вторым законом Ньютона.
\[\frac {M}{J} = \frac {FR}{MR^2} = \frac {maR}{mR^2} = \frac {a}{R}\]
a - круговое (линейное) ускорение конца стержня.
Момент инерции стержня \(J = MR^2/3\)
При М = 3m момент инерции стержня = \(mR^2\)
Это позволит получить правильное численное решение.
Из уравнения \(\frac {maR}{mR^2} = \frac {a}{R}\) , умножая на время t
Получаем \(matR = mR^2* \frac {at}{R}\)
момент импульса \(mvR\)
При уравнении сохранения момента импульса \(mvR = J\omega\)
\(\omega = \frac {mvR}{J}\)
В этой задаче вектор силы не приложен постоянно к концу стержня, а происходит удар.
А теперь формально переходим к подсказкам анимации.
Удар шара по концу стержня происходит мгновенно. Конец стержня сразу отлетает от шара и шар не успевает отрекошетить и продолжает двигаться по прямой, получив тормозной импульс mu.
Шар сохранил импульс (mV - mu) и двигается по прямой со скоростью m(V - u).
По третьему закону Ньютона, конец стержня получил такой же ускоряющий импульс
mu.
Перемещения центра масс стержня и шара после первого столкновения до второго одинаковые.
Значит двигаются с одинаковой скоростью (V - u)
Но перемещение конца стержня в \(\pi\) раз больше.
Скорость конца стержня \(\pi (V - u)\)
Стержень сделав половину оборота ударяется о шар и полностью тормозится.
Шар продолжает движение по прямой со скоростью до столкновения.
это значит, что стержень при втором столкновении полностью возвращает свою энергию шару, потому задачу можно решать из условия полного сохранения кинетической энергии шара.
Так как длина стержня (Соответственно момент инерции) для одной и той же массе зависит от сечения стержня, то радиус должен быть задан в условии задачи.
Отсюда тормозной импульс для шара \(mu\) равен импульсу для момента импульса стержня \(muR\)
Угловая скорость равна моменту импульса, деленному на момент инерции.
\[\omega = \frac {muR}{J} = \frac {muR}{MR^2/3} = \frac {m}{M} \frac {3u}{R}\]
От поступательной скорости центра масс угловая скорость не зависит
При этом, угловая скорость стержня относительно центра масс будет \(\omega = \frac {u}{R}\)
Тогда \(\omega = \frac {u}{R} = \frac {m}{M} \frac {3u}{R}\)
\( u = \frac {m}{M}*3u\)
Такое равенство возможно, только когда \( M = 3m.\)
Беру массу шара m = 1 кг Массу стержня M = 3 кг. Радиус стержня 1 метр.
Скорость шара до столкновения беру V
Момент инерции стержня \(J = 3mR^2/3 = кг*1 метр^2\)
Скорость центра масс стержня после первого столкновения равна скорости шара после столкновения, равна (V - u).
Верхний конец стержня пройдет путь больше шара после столкновения в \(\pi\) раз.
Следовательно его линейная скорость вращения относительно центра масс \(\pi (V-u) \)
Время полуоборота верхнего конца стержня \frac {\pi R}{\pi (V-u)} = 1/(V-u)\)
Угловая скорость равна линейной скорости деленной на радиус. \(\omega = \frac {\pi (V-u)}{R}\)
Кин. энергия вращения стержня
\[J\omega^2/2 = \frac {mR^2*(\pi (V-u))^2}{2R^2} = m(\pi (V-u))^2/2\]
Уравнение
\(mV^2 = m(V - u)^2 + 3m(\pi (V-u)^2 + m\pi^2 (V-u))^2\)
\(V^2 = V^2 -2V*u +u^2 + 3\pi (V^2 -2V*u +u^2) + \pi^2 (V^2 -2V*u +u^2)\)
\(15u^2 - 40 Vu +19 V^2 = 0\)
a = 15
b = - 40 V
c = 19 V^2
\(\sqrt {b^2 - 4ac} = \sqrt {40^2V^2 - 4*15*19V^2} = \sqrt {1600V^2 - 1140V^2} = 21V\)
u_2 = (40 - 21)/30 =0.6 V
скорость центра масс стержня после удара 0,4 V
Время полуоборота верхнего конца стержня \frac {\pi R}{\pi (V-u)} = 1/(V-u)\)
Путь = скорость * время 0,4 V/0,4V = 1 метр
Путь от начальной скорости не зависит, при соотношении масс M = 3m
равен радиусу.Такой же ответ меня был при радиусе 0,05 метр.
