Математическая задача

[sergey_B_K]

\( b_{ij}b_{jk}b_{ki}=(m_ia_{ij})(m_ja_{jk})(m_ka_{ki})=(m_ja_{ji})(m_ka_{kj})(m_ia_{ik})=b_{ji}b_{kj}b_{ik} \)

Подставьте в Ваше равенство значения m_i, m_j, m_k
и если всё верно, то должны получить исходное равенство.

[severe]

Вот и попробуйте выделить без рассмотрения самой схемы до заполнения Вашей матрицы... Опять-таки, в данный момент не взаимодействуют, а в следующий?

Значит, в данный момент \( a_{ij}=a_{ji}=0 \), а в следующий момент \( a_{ij}\neq 0 \), \( a_{ji}\neq 0 \).

[severe]

Подставьте в Ваше равенство значения m_i, m_j, m_k
и если всё верно, то должны получить исходное равенство.

m_i, m_j, m_k - это произвольные числа.

[sergey_B_K]

m_i, m_j, m_k - это произвольные числа.

Но у Вас же не произвольные...

[severe]

Но у Вас же не произвольные...

Имеется в виду теорема о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

Не путайте её с теоремой о симметризации матрицы, обладающей указанным свойством, путём умножения её первой строки на 1, остальных строк на \( \frac{a_{1i}}{a_{i1}} \). 

[sergey_B_K]

Имеется в виду теорема о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

Ну, это же свойство автоматически следует из свойств матриц.
Исходная задача, помнится, была о симметризации при помощи Ваших соотношений.

[severe]

Ну, это же свойство автоматически следует из свойств матриц.

Нет такой теоремы, что любые свойства матрицы сохраняются при умножении её строк или столбцов на произвольные числа. Например, если умножить строки или столбцы матрицы, обладающей свойством симметрии \( a_{ij}=a_{ji} \), на произвольные числа, то свойство симметрии не сохранится.

Исходная задача, помнится, была о симметризации при помощи Ваших соотношений.

Не путайте две теоремы.
 
Теорема о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

И теорема о симметризации матрицы, обладающей указанным свойством, путём умножения её первой строки на 1, остальных строк на \( \frac{a_{1i}}{a_{i1}} \).

[sergey_B_K]

Нет такой теоремы, что любые свойства матрицы сохраняются при умножении её строк или столбцов на произвольные числа. Например, если умножить строки или столбцы матрицы, обладающей свойством симметрии \( a_{ij}=a_{ji} \), на произвольные числа, то свойство симметрии не сохранится.

Умножение матрицы на число.
А если Вы каждый столбец/строку умножите на произвольные числа, то тоже получите абсурд несимметричной матрицы.

[severe]

Умножение матрицы на число.

Так Вы привели теорему о сохранении свойств матрицы, при умножении её строк или столбцов на одно и то же число.
А я привел теорему о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

[sergey_B_K]

Так Вы привели теорему о сохранении свойств матрицы, при умножении её строк или столбцов на одно и то же число.
А я привел теорему о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

Записав своё равенство
\( b_{ij}b_{jk}b_{ki}=(m_ia_{ij})(m_ja_{jk})(m_ka_{ki})=(m_ja_{ji})(m_ka_{kj})(m_ia_{ik})=b_{ji}b_{kj}b_{ik} \)
Вы уже предполагаете, что удовлетворяется Ваше равенство тройных произведений.
В обратном случае, возьмите свою симметричную матрицу третьего ранга
\( (F_{ij})=\left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   9 & 0 & {\bf{9}} & {15}  \\
   6 & 9 & 0 & {105}  \\
   {75} & {\bf{15}} & {105} & 0  \\
\end{array}} \right| \)
И сохраните симметричность, умножая каждую строку на произвольные числа.
И вообще... Мне это нужно? Вам нужно уточнять что Вы сделали? Уточняйте, но без претензий ко мне. Я за Ваши результаты не отвечаю... 

[severe]

Записав своё равенство
\( b_{ij}b_{jk}b_{ki}=(m_ia_{ij})(m_ja_{jk})(m_ka_{ki})=(m_ja_{ji})(m_ka_{kj})(m_ia_{ik})=b_{ji}b_{kj}b_{ik} \)
Вы уже предполагаете, что удовлетворяется Ваше равенство тройных произведений.
В обратном случае, возьмите свою симметричную матрицу третьего ранга
\( (F_{ij})=\left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   9 & 0 & {\bf{9}} & {15}  \\
   6 & 9 & 0 & {105}  \\
   {75} & {\bf{15}} & {105} & 0  \\
\end{array}} \right| \)
И сохраните симметричность, умножая каждую строку на произвольные числа.
И вообще... Мне это нужно? Вам нужно уточнять что Вы сделали? Уточняйте, но без претензий ко мне. Я за Ваши результаты не отвечаю... 

Где я заявлял, что симметричность матрицы сохраняется при умножении строк на произвольные числа?

Я заявлял, что сохраняется свойство равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

Умножьте строки матрицы \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   9 & 0 & {\bf{9}} & {15}  \\
   6 & 9 & 0 & {105}  \\
   {75} & {\bf{15}} & {105} & 0  \\
\end{array}} \right| \) на произвольные числа, не равные друг другу, получите несимметричную матрицу,
обладающую свойством
\( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \).

[sergey_B_K]

Где я заявлял, что симметричность матрицы сохраняется при умножении строк на произвольные числа?

Я заявлял, что сохраняется свойство равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа. Для симметричной матрицы, всегда обладающей указанным свойством, это очевидно, для несимметричной пришлось доказывать.

Умножьте строки матрицы \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   9 & 0 & {\bf{9}} & {15}  \\
   6 & 9 & 0 & {105}  \\
   {75} & {\bf{15}} & {105} & 0  \\
\end{array}} \right| \) на произвольные числа, не равные друг другу, получите несимметричную матрицу,
обладающую свойством
\( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \).

Значит, Ваше условие не является условием симметризации?

[severe]

Значит, Ваше условие не является условием симметризации?

Не путайте две теоремы.
 
Теорема о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

И теорема о симметризации несимметричной матрицы, обладающей указанным свойством, путём умножения её первой строки на 1, остальных строк на \( \frac {a_{1i}}{a_{i1}} \).

[severe]

Для многих стало открытием, что если строки или столбцы любой симметричной матрицы умножить на произвольные числа, не равные друг другу, то полученная матрица будет обладать свойством равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \).

[sergey_B_K]

Не путайте две теоремы.
 
Теорема о сохранении свойства равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, при умножении строк или столбцов на произвольные числа.

И теорема о симметризации несимметричной матрицы, обладающей указанным свойством, путём умножения её первой строки на 1, остальных строк на \( \frac {a_{1i}}{a_{i1}} \).

Что за укоры? Вы сами не запутайтесь... Чего стоят Ваши \( \frac {a_{1i}}{a_{i1}} \) без тройного произведения? Любую матрицу можно симметризовать таким образом - без тройного произведения? 

Для многих стало открытием, что если строки или столбцы любой симметричной матрицы умножить на произвольные числа, не равные друг другу, то полученная матрица будет обладать свойством равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали aijajkaki=ajiakjaik.

Ну, а это вообще глупость, поскольку будет получаться совсем другая матрица с другими свойствами. Окончательно теряется смысл линейной алгебры...

[severe]

Ну, а это вообще глупость, поскольку будет получаться совсем другая матрица с другими свойствами. Окончательно теряется смысл линейной алгебры...

Пример, как это работает. Берём первую попавшуюся симметричную матрицу \( \begin{pmatrix}
0 &2  &15 \\
2 &0  &7 \\
15 &7  &0
\end{pmatrix} \).

Умножаем от балды первую строку на 2, вторую на 3, третью на 4. Получим матрицу \( \begin{pmatrix}
0 &4  &30 \\
6 &0  &21 \\
60 &28  &0
\end{pmatrix} \).

4*21*60=6*28*30
5040=5040

[sergey_B_K]

Пример, как это работает. Берём первую попавшуюся симметричную матрицу \( \begin{pmatrix}
0 &2  &15 \\
2 &0  &7 \\
15 &7  &0
\end{pmatrix} \).
Умножаем от балды первую строку на 2, вторую на 3, третью на 4. Получим матрицу \( \begin{pmatrix}
0 &4  &30 \\
6 &0  &21 \\
60 &28  &0
\end{pmatrix} \).

4*21*60=6*28*30
5040=5040

Ну и что? Матрица-то другая, а смысл линейной алгебры заключается в решении уравнений. Изменив от балды матрицу, Вы получите от балды решение, пусть оно и удовлетворяет Вашему тройному произведению. Это называется абстракция разгулялась... 

[severe]

Ну и что? Матрица-то другая, а смысл линейной алгебры заключается в решении уравнений. Изменив от балды матрицу, Вы получите от балды решение, пусть оно и удовлетворяет Вашему тройному произведению. Это называется абстракция разгулялась... 

Каким общим, неизвестным Вам доселе, свойством обладают любые симметричные матрицы?

[sergey_B_K]

Каким общим свойством помимо симметрии обладают любые симметричные квадратные матрицы?

Ну, это Вы и без меня могли бы погуглить
Симметричная матрица
И вообще, я не нанимался Вас просвещать, не так ли? Вопрос Ваш, а я пошёл своим заниматься. 

[severe]

Ну, это Вы и без меня могли бы погуглить
Симметричная матрица
И вообще, я не нанимался Вас просвещать, не так ли? Вопрос Ваш, а я пошёл своим заниматься. 

Вы, как и я, не знали ещё об одном свойстве симметричной матрицы, поэтому так долго парились с составлением матрицы четвертого ранга, обладающей свойством равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали. Я Вам сейчас за пять минут состряпаю матрицу пятого ранга, обладающую этим свойством. Проверяйте \( \begin{pmatrix}
0 &  2&  4&  6& 8\\
3 & 0 & 15 & 18 &21 \\
8 & 20 & 0 & 32 & 40\\
15 & 30 & 40 & 0 & 45\\
24 & 42 & 60 & 54 & 0
\end{pmatrix} \), \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \) (10 равенств)

Надеюсь, теперь Вы знаете, как её очень быстро симметризовать? Умножьте первую строку на 1, вторую на 2/3, третью на 1/2, четвертую на 2/5, пятую на 1/3.