Север троллит Эйлера

[Andrey_R]

\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( 1=e^0=e^{0i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{-i\pi})^{i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)

Ну вот, сами видите, где у вас возникает ошибка и в каких местах тождество Эйлера можно считать "немного неверным".

 

[severe]

Ну вот, сами видите, где у вас возникает ошибка и в каких местах тождество Эйлера можно считать "немного неверным".

Тождество Эйлера неверно там, где оно неверно, и верно там, где оно верно.
Это несерьёзно.
Нужно строго прописать область выполнимости тождества Эйлера: \( -1=e^{i\pi} \), если...

[Andrey_R]

Тождество Эйлера неверно там, где оно неверно, и верно там, где оно верно.
Это несерьёзно.
Нужно строго прописать область выполнимости тождества Эйлера: \( -1=e^{i\pi} \), если...

Хоть это мне уже и надоедает, постараюсь пояснить ещё раз, подробнее.
Тождество Эйлера верно всегда, если помнить и правильно применять правила обращения с комплексными числами, в частности с показательными и степенными функциями.
Для этого надо помнить, что
1) комплексные числа считаются равными, если их модули равны, а фазы отличаются на \(2\pi n\)
2) степенные функции с нецелым показателем многозначные

Имеем:
\(1^{i\pi}=(e^{2\pi in})^{i\pi}=e^{-2\pi^2 n}\)
\(((-1)(-1))^{i\pi}=(-1)^{i\pi}(-1)^{i\pi}=(e^{i\pi+2\pi k})^{i\pi}(e^{i\pi+2\pi m})^{i\pi}=e^{-\pi^2-2\pi^2 k}e^{-\pi^2-2\pi^2 m}=e^{-2\pi^2-2\pi^2(k+m)}=e^{-2\pi^2(1+k+m)}\)
и видим, что результаты равны при замене n=1+k+m
А, значит, равенство выполняется, и формула Эйлера верна.

Если же вы упорно хотите продолжать игнорировать многозначность, пытаясь обращаться со степенями так же, как с действительными числами,  то надо как минимум правильно подходить к выбору представлений в основаниях степенных функций. Тогда, конечно, подстановка по формуле Эйлера не всегда будет давать нужный результат, И в этом смысле, если вам так приятнее думать, формула будет "немного неверна".  В нашем случае для получения одинакового результата при замене 1 на произведение двух -1, для -1 надо брать такие представления, произведение которых даёт бесфазовую единицу.

[Иван Горин]

\( e^{-i\pi}=e^{i\pi} \)
\( 1=e^0=e^{0i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{-i\pi})^{i\pi}=(e^{i\pi}\cdot e^{i\pi})^{i\pi}=(e^{2\pi i})^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)

Путём математических махинаций можно получить всё, что угодно.
Главные твои махинации, Север, это то что ты выкидываешь периодичность функций.
И искажаешь тождество Эйлера.
Тождество Эйлера:
\(e^{i\pi } +1=0\)

И в твоём примере:
\(1=e^{i2\pi n} \)
Необходимо указывать приодичность
И только теперь возводим обе части в степень \(i\pi\) и проверяем тождесто.
\(1^{i\pi}=(e^{i2\pi n})^{i\pi} \)
\(1^{i\pi}=e^{-2\pi^2 n} \)
Далее по моим формулам найдём \(1^{i\pi} \)

Общая формула
\(\displaystyle z_1^{z_2}\)
\(z_1=x_1+iy_1\)
\(z_2=x_2+iy_2\)

\(\displaystyle z_1^{z_2}=e^{\left [ x_2\ln \left| z_1\right| -y_2\left ( arctg \frac{y_1}{x_1} +2k\pi \right ) \right ] }\left ( \cos\alpha +i\sin\alpha  \right )\)

\(\displaystyle \alpha=y_2\ln \left| z_1\right| +x_2\left ( arctg \frac{y_1}{x_1} +2k\pi \right ) \)

Для нашего примера
\(z_1=1+0i,\,z_2=0+i\pi\)
\(\alpha=0\)
 \(1^{i\pi} =e^{-2\pi^2 n}(\cos 0+i\sin 0)\)
И здесь видно, что мы получили комплексное число.
И тождество не нарушилось.
Главное значение при n=0
 \(1^{i\pi} =e^{-2\pi^2 \cdot 0}=1\)

[Ost]

По строгой математической логике \( i\neq 0+1i \)?
Если всё-таки равно, то \( i\cdot i=i^2=(0+i~1)^2=0^2-1^2+i~2\cdot 0\cdot1=-1+i~0 \).
\( i^2 \) - это, по-Вашему, вещественное число, не принадлежащее комплексной плоскости?

Комплексной плоскости принадлежит точка, имеющая координаты. Координата это не скаляр.
Как у Булгакова -
– Я извиняюсь, – заговорил он подозрительно, – вы кто такой будете? Вы – лицо официальное (координатное)?
– Эх, Никанор Иванович! – задушевно воскликнул неизвестный. – Что такое официальное лицо или неофициальное (скалярное)? Все это зависит от того, с какой точки зрения смотреть на предмет, все это, Никанор Иванович, условно и зыбко. Сегодня я неофициальное лицо, а завтра, глядишь, официальное! А бывает и наоборот, Никанор Иванович. И ещё как бывает!

Зависит от операции.

[severe]

степенные функции с нецелым показателем многозначные

Вот степенная функция с нецелым комплексным показателем \( e^{2\pi i} \). Какие ещё значения, кроме 1 она имеет?
Не надо подменять множество комплексных представлений единицы на множество значений одного комплексного представления. У одного комплексного представления единицы одно значение - единица.
\( e=e^{\frac{2\pi i}{2\pi i}}=(e^{2\pi i})^{\frac{1}{2\pi i}}=1^{\frac{1}{2\pi i}}=(e^{0i})^{\frac{1}{2\pi i}}=e^{0i\cdot \frac{1}{2\pi i}}=e^0=1 \)

[severe]

Главные твои махинации, Север, это то что ты выкидываешь периодичность функций.

Не выкидываю я периодичность функций, иногда я представляю единицу как \( 1=e^{0 i} \), иногда как \( 1=e^{2\pi i} \). Имею полное право. В силу периодичности функции \( e^{0 i}=e^{2\pi i}=1 \).

[severe]

И в твоём примере:
\(1=e^{i2\pi n}\)
Необходимо указывать приодичность
И только теперь возводим обе части в степень \(i\pi\) и проверяем тождество.

\(1=e^{i2\pi n}=e^{i2\pi0}=e^{i2\pi}\)
И только теперь возводим обе части \( e^{i2\pi0}=e^{i2\pi} \) в степень \(i\pi\) и проверяем тождество.
\( (e^{i2\pi0})^{i\pi}=(e^{i2\pi})^{i\pi} \)
\( e^{i2\pi0i\pi}=e^{i2\pi i\pi} \)
\( e^0=e^{-2\pi^2} \)
\( 1=e^{-2\pi^2} \)

[severe]

Комплексной плоскости принадлежит точка, имеющая координаты. Координата это не скаляр.

А \( i^2 \) - это, по-Вашему, скаляр. Поэтому, по-Вашему, \( i^2 \) не принадлежит комплексной плоскости

[Andrey_R]

Вот степенная функция с нецелым комплексным показателем \( e^{2\pi i} \). Какие ещё значения, кроме 1 она имеет?
Не надо подменять множество комплексных представлений единицы на множество значений одного комплексного представления. У одного комплексного представления единицы одно значение - единица.
\( e=e^{\frac{2\pi i}{2\pi i}}=(e^{2\pi i})^{\frac{1}{2\pi i}}=1^{\frac{1}{2\pi i}}=(e^{0i})^{\frac{1}{2\pi i}}=e^{0i\cdot \frac{1}{2\pi i}}=e^0=1 \)

Вы снова ошибаетесь.
\(e^{2\pi i}\) как одно из показательных представлений числа 1, конечно, имеет единственное значение 1. Это же значение выражение имеет как степенная функция представления \(е^1\) числа e.
 А вот как степенная функция числа e, которое имеет множество представлений \(e^{1+2\pi in}\), это выражение принимает множество значений:
\((e^{1+2\pi in})^{2\pi i}=e^{2\pi i-4\pi^2n}=e^{-4\pi^2 n}\)

Поэтому выбор представления важен и нельзя их бездумно подменять в степенных функциях.

[severe]

Вы снова ошибаетесь.
\(e^{2\pi i}\) как одно из показательных представлений числа 1, конечно, имеет единственное значение 1. Это же значение выражение имеет как степенная функция представления \(е^1\) числа e.
 А вот как степенная функция числа e, которое имеет множество представлений \(e^{1+2\pi in}\), это выражение принимает множество значений:
\((e^{1+2\pi in})^{2\pi i}=e^{2\pi i-4\pi^2n}=e^{-4\pi^2 n}\)

\( (e^{1+2\pi in})^{2\pi i}=(e^{1+2\pi i0})^{2\pi i}=(e^{1+2\pi i})^{2\pi i} \)
\( (e^{1+2\pi i0})^{2\pi i}=(e^{1+2\pi i})^{2\pi i} \)
\( e^{2\pi i}=e^{-4\pi^2} \)
\( 1=e^{-4\pi^2} \)
\( e^{1+2\pi i0}=e^{1+2\pi i1}=e^{1+2\pi i2}=...=e^{1+2\pi in} \)

[Andrey_R]

\( (e^{1+2\pi in})^{2\pi i}=(e^{1+2\pi i0})^{2\pi i}=(e^{1+2\pi i})^{2\pi i} \)
\( (e^{1+2\pi i0})^{2\pi i}=(e^{1+2\pi i})^{2\pi i} \)
\( e^{2\pi i}=e^{-4\pi^2} \)
\( 1=e^{-4\pi^2} \)

Фактически вы пишете следующее:
\(-1=1^{\frac{1}{2}}=1\)
\(-1=1\)
Это полная аналогия тому, что вы утверждаете.

[severe]

Фактически вы пишете следующее:
\(-1=1^{\frac{1}{2}}=1\)
\(-1=1\)
Это полная аналогия тому, что вы утверждаете.

Если бы была полная аналогия, то одно комплексное представление числа \( e \), будучи возведенным в степень \( 2\pi i \) имело бы два разных значения.
Поскольку два комплексных представления числа \( e \), будучи возведенными в степень \( 2\pi i \), имеют два разных значения, то аналогией тут и не пахнет.

[Andrey_R]

Если бы была полная аналогия, то одно комплексное представление числа \( e \), будучи возведенным в степень \( 2\pi i \) имело бы два разных значения.
Поскольку два комплексных представления числа \( e \), будучи возведенными в степень \( 2\pi i \), имеют два разных значения, то аналогией тут и не пахнет.

Нет, аналогия полная, потому что два  разных комплексных представления числа 1 (например, \(e^{4\pi i}\) и \(e^{6\pi i}\)), возведённые в степень 1/2, имеют два разных значения. Разных  действительных представлений у действительного числа не бывает.  А комплексные представления в том числе позволяют понять, почему у числа  в рациональной степени p/q ровно q комплексных значений.   

[severe]

Нет, аналогия полная, потому что два  разных комплексных представления числа 1 (например, \(e^{4\pi i}\) и \(e^{6\pi i}\)), возведённые в степень 1/2, имеют два разных значения. Разных  действительных представлений у действительного числа не бывает.  А комплексные представления в том числе позволяют понять, почему у числа  в рациональной степени p/q ровно q комплексных значений.   

Не всегда. Например, \(e^{4\pi i}\) и \(e^{8\pi i}\), возведённые в степень 1/2, имеют одно значение.
Вы меняете тему, где Вы увидели рациональную степень в используемых здесь выражениях?
Почему у числа \( e \) в степени \( 2\pi i \) ровно одно значение
\( e^{2\pi i}=1 \)? Комплексные представления не позволяют этого понять?
Чтобы аналогия была полной Вы должны привести одно комплексное представление числа 1, при возведении которого в степень 1/2 получалось бы два значения.

[severe]

Признаю свою ошибку
\(1^{i\pi}=e^{-2\pi^2 n} \)

\(1^{i\pi}=1 \)
\(1^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-4\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-6\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-8\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-10\pi^2} \)
...
Левые части уравнений записаны одинаково, но не равны друг другу. То, что правые части не равны друг другу очевидно.
Чтобы было понятно, левые части стоит пометить нижним индексом - текущим значением n.

(\(1^{i\pi})_0=1 \)
(\(1^{i\pi})_1=e^{-2\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_2=e^{-4\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_3=e^{-6\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_4=e^{-8\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_5=e^{-10\pi^2} \)
...

[Andrey_R]

Признаю свою ошибку
\(1^{i\pi}=e^{-2\pi^2 n} \)

\(1^{i\pi}=1 \)
\(1^{i\pi}=e^{-2\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-4\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-6\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-8\pi^2} \)
\(1^{i\pi}=e^{-10\pi^2} \)
...
Левые части уравнений записаны одинаково, но не равны друг другу. То, что правые части не равны друг другу очевидно.
Чтобы было понятно, левые части стоит пометить нижним индексом - текущим значением n.

(\(1^{i\pi})_0=1 \)
(\(1^{i\pi})_1=e^{-2\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_2=e^{-4\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_3=e^{-6\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_4=e^{-8\pi^2} \)
(\(1^{i\pi})_5=e^{-10\pi^2} \)
...

Всё правильно, так можно.
Надеюсь, вопросы про рациональные числа и число е из предыдущего поста теперь не надо комментировать?

[severe]

До тех пор, пока \(i\pi\) - это фаза в представлении числа, а 1 и е - это представления этих чисел с нулевой фазой, всё нормально:
...
\( (e^{-1})^{i\pi}=e^{i\pi} \)
\( (\frac{1}{e})^{i\pi}=e^{i\pi} \)

А дальше фактически декларируется, что \(i\pi\) - это уже не фаза в представлении числа, а степень. Так тоже можно, но с этого момента нужно следить за тем, чтобы преобразования основания давали результат в этом же представлении, т.е. давали в основании  \((\frac{1}{e})^{0i\pi}\)

Проведённая же замена 1=(-1)(-1) делает подмену  \((\frac{1}{e})^{0i\pi}\) на \((\frac{1}{e})^{2i\pi}\), что, естественно, потом приводит к противоречию.
Поэтому такую замену здесь делать нельзя.
Вместо этого надо применять \(1= e^{i\pi}e^{-i\pi}\). Ну или брать любые другие представления -1, произведение которых даёт бесфазовую единицу.

\( \frac{1}{e}\neq(\frac{1}{e})^{0i\pi} \)
\( (\frac{1}{e})^{0i\pi} \) не является комплексным представлением числа \( \frac{1}{e} \).
Почему при проверке на истинность тождества Эйлера нельзя пользоваться тождеством Эйлера?

[severe]

Это почему же такой странный вывод?

\( (\frac{1}{e})^{0i\pi}=\frac{1^{0i\pi}}{e^{0i\pi}}=\frac{1}{1}=1\neq \frac{1}{e} \)

[Andrey_R]

\( (\frac{1}{e})^{0i\pi}=\frac{1^{0i\pi}}{e^{0i\pi}}=\frac{1}{1}=1\neq \frac{1}{e} \)

Ну да, конечно. Должно было быть не \(0i\pi\), а \(1+0i\pi\). Приношу извинения за описку, исправлю.