Просмотр исходного текста страницы Скалярно-векторный потенциал и функция Лагранжа заряда

{{Учёный 
|Имя                  = [[Менде, Федор Федорович|Ф.Ф. Менде]]
|Оригинал имени       = 
|Фото                 = 
|Ширина               = 
|Подпись              = 
|Дата рождения        = 02.07.1939 г.
|Место рождения       = 
|Дата смерти          = 
|Место смерти         = 
|Гражданство          = {{Флаг СССР}}{{Флаг Украины}}
|Научная сфера =
|Место работы =
|Учёная степень = {{Учёная степень|доктор|технических наук}}
|Учёное звание =
|Альма-матер =
|Научный руководитель =
|Знаменитые ученики =
|Известен как =
|Известна как =
|Награды и премии =
|Роспись =
|Ширина росписи =
|Сайт = http://fmnauka.narod.ru/ http://bolshoyforum.org/forum/index.php?board=50.0
}}

'''Скалярно-векторный потенциал и функция Лагранжа заряда'''

== Введение ==

В механике под функцией Лагранжа частицы понимают разницу между её кинетической и потенциальной энергией

[[Файл:Функция Лагранжа001.gif]]

Принцип наименьшего действия и Лагранжев формализм может быть распространён и на движущийся заряд. Дадим по этому поводу выдержку из хорошо известного курса по теоретической физике [1]:
{{начало цитаты}}{{цитата|«Уравнение движения приобретает вид

[[Файл:Функция Лагранжа002.gif]]

(23.9)

(в этом соотношении [[Файл:Функция Лагранжа003.gif]]

[[Файл:Функция Лагранжа004.gif]]

и [[Файл:Функция Лагранжа005.gif]]
 
- масса, заряд и скорость частицы,  

[[Файл:Функция Лагранжа006.gif]]
 
- скорость света,  [[Файл:Функция Лагранжа007.gif]]
 
и  [[Файл:Функция Лагранжа008.gif]]
 
- скалярный и векторный потенциал).

Это уравнение движения можно рассматривать как уравнение Лагранжа, если функция Лагранжа имеет вид

[[Файл:Функция Лагранжа009.gif]]
   
(23.10)

Действительно, при этом обобщённый импульс

[[Файл:Функция Лагранжа010.gif]]
   
(23.11)

Соответственно обобщённая сила

[[Файл:Функция Лагранжа011.gif]]

Уравнение Лагранжа гласит:

[[Файл:Функция Лагранжа012.gif]]

или

[[Файл:Функция Лагранжа013.gif]]
    
(23.12)

Подстановка [[Файл:Функция Лагранжа014.gif]]
 
и [[Файл:Функция Лагранжа015.gif]]
 
в (23.12) вновь приводит нас к (23.9).
          
В нерелятивистском приближении функция Лагранжа приобретает вид

[[Файл:Функция Лагранжа016.gif]]
   
(23.13)

При этом мы опустили постоянную [[Файл:Функция Лагранжа017.gif]]

поскольку в уравнение Лагранжа входят лишь производные от [[Файл:Функция Лагранжа018.gif]]

а сама [[Файл:Функция Лагранжа018.gif]]
 
определена лишь до полной производной по времени.

Сравнивая функцию Лагранжа частицы в электромагнитном поле с выражением для функции Лагранжа в обычном поле сил

[[Файл:Функция Лагранжа001.gif]]

Мы видим, что при движении в поле функция Лагранжа содержит ещё член, зависящий от скорости и вектор-потенциала. Поэтому даже в нерелятивистском приближении функция Лагранжа в электромагнитном поле не может быть представлена в виде разности кинетической и потенциальной энергии».}}

Последняя фраза вызывает недоумение, из неё следует, что описание свойств заряда, движущегося в электромагнитном поле не может быть описано в рамках Лагранжева формализма т.к. она не является разностью кинетической и потенциальной энергии заряда, а следовательно к нему не может быть применён принцип наименьшего действия.

Ниже будет показано, что такое утверждение ошибочно.

== Законны магнитоэлектрической индукции в классической электродинамике ==

Основная  задача законов индукции заключается в выяснении причин появления в пространстве  электрических полей, а, следовательно, и сил действующих на заряд, в данной точке пространства, в данной ИСО. Это главная задача индукции, т.к. только электрические поля, генерируемые тем или иным способом, оказывают силовые воздействия на заряд.  Такие поля могут возникать  при изменении расположения других зарядов вокруг заданной точки пространства. Если вокруг рассматриваемой точки имеется какая-то статическая конфигурация зарядов, то  напряженность электрического   поля в этой точке будет определяться соотношением  

[[Файл:Функция Лагранжа019.gif]], 

где [[Файл:Функция Лагранжа007.gif]]
 
скалярный потенциал, определяемый данной конфигурацией по принципу суперпозиций. Если  изменить  расположение зарядов, то этой новой конфигурации  будут соответствовать и другие значения  скалярного потенциала, а следовательно, и другие значения напряженности электрического поля.  Но такое перемещение зарядов в пространстве в обязательном порядке сопряжено с их ускорением и последующим замедлением. Ускорение или замедление зарядов также может приводить к возникновению в окружающем пространстве электрических полей индукции.

Основным законом индукции в классической электродинамике является закон Фарадея, который записывается следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа020.gif]]

(1.1)

где  [[Файл:Функция Лагранжа021.gif]] - вектор магнитной индукции,  

[[Файл:Функция Лагранжа022.gif]] - поток магнитной индукции, 

а [[Файл:Функция Лагранжа023.gif]] - магнитная проницаемость среды.

Из этого закона следует, что циркуляция вектора электрического поля равна изменению потока магнитной индукции через площадку, которую охватывает данный контур.  Сразу  подчеркнём то  обстоятельство, что рассматриваемый закон представляет процессы взаимной индукции, т.к. для получения циркуляции вектора [[Файл:Функция Лагранжа024.gif]] берётся стороннее магнитное поле, сформированное сторонним источником. Этот закон является интегральным и не даёт локальной связи между магнитным и электрическим полем.  Из соотношения (1.1)  получают первое уравнение Максвелла

[[Файл:Функция Лагранжа025.gif]]
                                           
(1.2)

Сразу укажем на терминологическую ошибку. Закон Фарадея следует называть не законом электромагнитной индукции, как это делается сейчас в существующей литературе, а законом  магнитоэлектрической индукции, т.к. изменение магнитных полей приводит к возникновению электрических полей, а не наоборот. 

Введём векторный потенциал магнитного поля [[Файл:Функция Лагранжа026.gif]], удовлетворяющий равенству [[Файл:Функция Лагранжа027.gif]], где контур интегрирования совпадает с контуром интегрирования в соотношении (1.1), а вектор [[Файл:Функция Лагранжа028.gif]] определен на всех его участках, тогда [[Файл:Функция Лагранжа029.gif]].                                           
(1.3)

Путём введения  вектор  [[Файл:Функция Лагранжа030.gif]] обеспечивается локальную связь между этим вектором и электрическим полем, а также между пространственными производными этого вектора и магнитным полем. Следовательно, зная производные вектора [[Файл:Функция Лагранжа030.gif]] по времени и по координатам, можно определить  индуцируемые электрические и магнитные поля. 

Введенный таким образом вектор [[Файл:Функция Лагранжа031.gif]], связан с магнитным  полем  соотношением:

[[Файл:Функция Лагранжа032.gif]]
                                          
(1.4)

Таким образом, вектор [[Файл:Функция Лагранжа030.gif]] является более универсальным понятием, чем вектор магнитного поля, поскольку даёт возможность определять как магнитные, так и электрические поля.

Если имеется прямой проводник с током, то вокруг него  образуется поле векторного потенциала,  в этом случае [[Файл:Функция Лагранжа033.gif]] и, следовательно, в окрестностях такого проводника возникает также и магнитное поле, которое изменяется при изменении тока в проводнике. Отрезок провода длиной [[Файл:Функция Лагранжа034.gif]], по которому протекает  ток [[Файл:Функция Лагранжа035.gif]], генерирует в дальней зоне (имеется  в виду, что расстояние [[Файл:Функция Лагранжа036.gif]] значительно больше длины отрезка) векторный потенциал [[Файл:Функция Лагранжа037.gif]].

Это соотношение может быть переписано и по-другому:

[[Файл:Функция Лагранжа038.gif]],

где [[Файл:Функция Лагранжа039.gif]] - заряд, приходящийся на единицу длины проводника, по которому протекает ток.

Отметим то обстоятельство, что векторный потенциал убывает, как [[Файл:Функция Лагранжа040.gif]], и по этому же закону, в соответствии с соотношением (1.3), убывают и  индуцируемые электрические поля. Магнитные же поля, поскольку [[Файл:Функция Лагранжа041.gif]],  убывают, как [[Файл:Функция Лагранжа042.gif]], и при  больших расстояниях ими можно пренебречь. Таким образом, на больших расстояниях закон индукции продолжает работать, однако, индуцируемые электрические поля уже  полностью зависят только от векторного потенциала и, что очень важно, убывают они  уже не по закону [[Файл:Функция Лагранжа042.gif]], как в случае скалярного потенциала, а как [[Файл:Функция Лагранжа040.gif]],  что характерно для излучающих систем.

До сих пор решение вопроса о возникновении электрических полей в движущихся системах  можно было осуществлять двумя путями. Первый - заключался в вычислении силы Лоренца, действующей на движущиеся заряды, второй  путь заключался в измерении изменения магнитного потока через исследуемый контур. Оба метода давали одинаковый результат. Это было непонятно [2]. В связи с непониманием физической природы такого положения дел и начали считать, что униполярный генератор является исключением из правила потока [2].  Рассмотрим эту ситуацию подробнее.

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, следует несколько изменить соотношение (1.3), заменив в нём частную производную на полную:

[[Файл:Функция Лагранжа043.gif]]. 
                                             
(1.5)

Штрих около вектора [[Файл:Функция Лагранжа044.gif]] означает, что это поле  определяется в движущейся системе координат, в то время как вектор [[Файл:Функция Лагранжа045.gif]] определен в неподвижной системе.  Таким образом,  предполагается, что векторный потенциал может  иметь, как локальную, так и конвекционную производную,  т.е.  может меняться, как за счет изменения локального времени, так и за счет  движения в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Соотношение (1.5) можно переписать следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа046.gif]],

где [[Файл:Функция Лагранжа005.gif]] - скорость штрихованной системы.

Следовательно, дополнительная сила,  действующая на заряд в движущейся системе, запишется

[[Файл:Функция Лагранжа047.gif]].

Эта сила зависит только от пространственных производных векторного потенциала и скорости штрихованной системы.

Заряд, движущийся в поле векторного потенциала [[Файл:Функция Лагранжа026.gif]] со скоростью [[Файл:Функция Лагранжа005.gif]], обладает также потенциальной энергией [2] [[Файл:Функция Лагранжа048.gif]].                     
Поэтому должна существовать еще одна сила, действующая на заряд в движущейся ИСО, а именно: [[Файл:Функция Лагранжа050.gif]].
Таким образом, величина [[Файл:Функция Лагранжа051.gif]] играет такую же  роль, что и скалярный потенциал [[Файл:Функция Лагранжа007.gif]], градиент которого  дает электрическое поле. Следовательно, суммарная сила, которая  действует на заряд, движущийся в поле векторного потенциала, может иметь три составляющие и  запишется как

[[Файл:Функция Лагранжа052.gif]].            
(1.6)

Первая из составляющих этой силы действует на неподвижный заряд, когда векторный потенциал имеет локальную производную по времени. Вторая составляющая также определяет изменения векторного потенциала во времени, но они связаны уже  с  движением заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Совсем иная природа у силы, которая определяется последним слагаемым соотношения (1.6).  Она связана с тем, что заряд, двигающийся в поле векторного потенциала, обладает  потенциальной энергией, градиент которой и дает силу. Из соотношения (1.6) следует

[[Файл:Функция Лагранжа053.gif]].               

(1.7)

Это и есть полный закон взаимной индукции. Он определяет все электрические поля, которые могут возникать в заданной точке пространства, причем эта точка может быть как неподвижной, так и движущейся. Этот единый закон включает в себя и закон Фарадея, и ту часть силы Лоренца, которая связана с движением заряда в магнитном поле. Этот закон без всяких исключений дает ответ на все вопросы, касающиеся взаимной магнитоэлектрической индукции. Показательно, что, если  взять ротор от обеих частей равенства (1.7), пытаясь получить первое уравнение Максвелла, то сразу будет  потеряна существенная часть информации, т.к. ротор от градиента тождественно равен нулю.

Если выделить те силы, которые связаны с движением заряда в поле векторного потенциала, и учесть, что [[Файл:Функция Лагранжа054.gif]], то из (1.6) получим

[[Файл:Функция Лагранжа055.gif]].                                   

(1.8)

Учитывая (1.4), запишем:

[[Файл:Функция Лагранжа056.gif]],                                          

(1.9)

или

[[Файл:Функция Лагранжа057.gif]]                                         

(1.10)

Окончательно:

[[Файл:Функция Лагранжа058.gif]]                      

(1.11)

Может показаться, что соотношение (1.11) представляет силу Лоренца, однако, это не так. В этом соотношении и поле [[Файл:Функция Лагранжа044.gif]], и поле [[Файл:Функция Лагранжа059.gif]] являются индуцированными, первое  связано с локальной производной векторного потенциала по времени, второе же обязано движению заряда  в пространственно меняющемся поле этого потенциала.  Чтобы получить полную силу, действующую на заряд, необходимо для случая, когда система не является электронейтральной, к правой части соотношения (1.11) добавить слагаемое [[Файл:Функция Лагранжа060.gif]]:

[[Файл:Функция Лагранжа061.gif]],

где [[Файл:Функция Лагранжа007.gif]] - скалярный потенциал, создаваемый в точке наблюдения нескомпенсированными зарядами.
Теперь соотношение (1.7) можно переписать следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа062.gif]],       

(1.12)

или, собрав первые два члена в полную производную векторного потенциала по времени, и, внеся под знак градиента два последних члена правой части соотношения (1.12), получим:

[[Файл:Функция Лагранжа063.gif]].                       

(1.13)

Если обе части соотношения (1.13) умножить на величину заряда, то можно получить полную силу, действующую на заряд. От силы Лоренца она будет отличаться силой [[Файл:Функция Лагранжа064.gif]].  Из соотношения (1.13) видно, что величина  [[Файл:Функция Лагранжа065.gif]] играет роль обобщенного скалярного потенциала.  Если взять ротор от обеих частей соотношения (15.13) и учесть, что [[Файл:Функция Лагранжа066.gif]], то получим:

[[Файл:Функция Лагранжа067.gif]].

Если в данном соотношении заменить полную производную на частную,  т.е. считать, что поля определяются только в заданной инерциальной системе, то  получим первое уравнение Максвелла.

Ранее сила Лоренца рассматривалась как фундаментальный опытный факт, не связанный с законом индукции. Расчетным путем получить последнее слагаемое правой части соотношения (1.11) можно было только в рамках  СТО. В данном случае все слагаемые соотношение (1.11) получены из закона индукции в рамках преобразований Галилея. Причем соотношение (1.11) это и есть полный закон взаимной индукции, если его записать в терминах векторного потенциала. Это есть как раз то правило, которое дает возможность, зная поля в одной ИСО, вычислять поля в другой инерциальной системе, и этого правила до сих пор не было в классической электродинамике.
Структуру сил, действующих на движущийся заряд, легко понять на примере, когда заряд движется  между двумя параллельными плоскостями, по которым протекает ток (рис. 1).

Выберем оси координат таким образом, чтобы ось [[Файл:Функция Лагранжа068.gif]] была направлена нормально к плоскостям, а ось [[Файл:Функция Лагранжа069.gif]] параллельна им. Тогда для случая, когда расстояние между пластинами значительно меньше их размеров (в данном случае на рисунке это соотношение не соблюдено), магнитное 

[[Файл:Функция Лагранжа070.gif]]

Рис. 1. Силы, действующие на заряд, движущийся в поле векторного потенциала.

поле [[Файл:Функция Лагранжа071.gif]] между ними будет равно удельному току [[Файл:Функция Лагранжа072.gif]], протекающему по пластинам. Если положить, что векторный потенциал на нижней пластине равен нулю, то его  [[Файл:Функция Лагранжа069.gif]] – компонента, отсчитываемая от нижней пластины,  будет возрастать по закону [[Файл:Функция Лагранжа073.gif]].

Если электрон двигается в направлении оси    вблизи нижней пластины со скоростью [[Файл:Функция Лагранжа074.gif]], то сила [[Файл:Функция Лагранжа075.gif]], действующая на заряд, определяется последним слагаемым соотношения (1.6) и равна
[[Файл:Функция Лагранжа076.gif]].                                         

(1.14)
Направлена эта сила от нижней пластины к  верхней.

Если заряд двигается вдоль оси  [[Файл:Функция Лагранжа068.gif]] от нижней пластины к верхней со скоростью [[Файл:Функция Лагранжа077.gif]], то для нахождения силы следует использовать уже второе слагаемое правой части соотношения (1.6). Эта сила по абсолютной величине опять  равна  силе, определяемой соотношением (1.14), и направлена  в сторону противоположную оси  [[Файл:Функция Лагранжа069.gif]]. При любых других направлениях движения суммарная сила будет векторной суммой двух  сил, представляемых  последними слагаемыми соотношения (1.6).  Суммарная же  величина этой силы по-прежнему будет определяться соотношением (1.11), а сама сила всегда будет нормальной к направлению движения заряда.  Ранее наличие такой силы рассматривалось как действие силы Лоренца, природа которой была неизвестна и вводилась  как некая экспериментальная аксиома. Теперь понятно, что она является следствием совместного действия двух  сил, различных по своей природе, физический смысл которых теперь определён. Однако в данном случае возникает один существенный вопрос. С точки зрения третьего закона Ньютона, если на заряд действует сила, то должна быть и равнодейстующая ей сила и место приложение такой силы должно быть известно. Концепция магнитного поля ответа на этот вопрос не даёт, поскольку и магнитное поле, и векторный потенциал выступают в качестве самостоятельной субстанции, с которой и происходит такое взаимодействие.

Понимание структуры сил дает  возможность посмотреть на уже известные  явления с другой точки зрения.  Например, с чем связано существование сил, которые растягивают петлю с током?  В данном случае это обстоятельство может интерпретироваться не как действие силы Лоренца, а с энергетической точки зрения. Ток, текущий по элементу кольцевого витка находится в поле векторного потенциала, создаваемого остальными элементами этого витка, а, следовательно,  имеет запас потенциальной энергии. Сила, действующая на такой элемент,  обусловлена наличием у него градиента потенциальной энергии, и пропорциональна градиенту  скалярного произведения величины тока на векторный потенциал в данной точке. Таким образом, можно объяснить  и происхождение пондеромоторных сил. Если  ток разбить на отдельные токовые нити, то все они будут по отдельности создавать поле векторного потенциала. Суммарное поле будет действовать на каждую нить в отдельности, и в соответствии с последним слагаемым правой части соотношения (1.6) это будет приводить к взаимному их притяжению.

Следует подчеркнуть, что в соотношении  (1.8) и (1.9) все поля имеют индукционное происхождение, и они связаны то ли с локальной производной векторного потенциала, то ли с движением заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Если поля во времени не изменяются, то в правой части соотношений (1.8) и (1.9) остаются только последние  слагаемые, и они объясняют работу всех существующих электрогенераторов с движущимися механическими частями, в том числе и работу униполярного генератора. Соотношение (1.7) дает возможность физически объяснить все составляющие напряженности электрического поля, возникающего в неподвижной и движущейся ИСО. В случае униполярного генератора в формировании силы, действующей на заряд, принимают участие два последних слагаемых правой части равенства (1.7), внося одинаковые вклады. Теперь ясно, что представление закона индукции в терминах векторного потенциала  это и есть тот „основополагающий принцип”, об  отсутствии котрого говорится в работе [2].

При  рассмотрении действия магнитного поля на движущийся заряд уже отмечалась  его посредническая роль  и отсутствие закона прямого действия между движущимися зарядами. Введения векторного потенциала также не дает ответа на этот вопрос, этот потенциал по-прежнему играет посредническую роль и не отвечает на вопрос о конкретном месте приложения сил.

Ниже будет  показано, что соотношения, полученные путем феноменологического введения магнитного векторного потенциала, могут быть получены и непосредственно  из закона Фарадея.  Сам Фарадей при проведении своих опытов установил, что в контуре индуцируется ток, когда в соседнем контуре включается или выключается постоянный ток, или соседний контур с постоянным током движется относительно первого контура. Поэтому в общем виде закон Фарадея  следует записать следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа078.gif]]
                                       
(1.15)

Данная запись закона указывает на то, что при записи циркуляции вектора [[Файл:Функция Лагранжа024.gif]] в движущейся (штрихованной) системе координат,  около [[Файл:Функция Лагранжа024.gif]] и [[Файл:Функция Лагранжа079.gif]] следует ставить штрихи, указывающие на тот, что поток определён в одной ИСО, а поля в другой. Если же циркуляция определяется только в заданной ИСО, то штрихи около [[Файл:Функция Лагранжа024.gif]] и [[Файл:Функция Лагранжа079.gif]] отсутствуют, но при этом справа в выражении (1.15) должна стоять частная производная по времени.

Полная производная по времени в соотношении (1.15) означает независимость конечного результата появления э.д.с. в контуре от способа изменения потока.  Поток может изменяться как за счет локальной производной магнитного потока по времени, так и за счет того, что ИСО, в которой измеряется циркуляция [[Файл:Функция Лагранжа080.gif]], движется в пространственно меняющемся поле [[Файл:Функция Лагранжа081.gif]]. Величину магнитного потока в соотношении (1.15) вычисляем при помощи выражения:

[[Файл:Функция Лагранжа082.gif]],                                           

(1.16)

где магнитная индукция [[Файл:Функция Лагранжа021.gif]] определена в неподвижной системе координат, а элемент [[Файл:Функция Лагранжа083.gif]] определен в движущейся системе.

Учитывая (1.15), из (1.16) получаем:

[[Файл:Функция Лагранжа084.gif]].

Поскольку [[Файл:Функция Лагранжа085.gif]], запишем:

[[Файл:Функция Лагранжа086.gif]].          

(1.17)

В данном случае контурный интеграл берется по контуру [[Файл:Функция Лагранжа087.gif]], охватывающему площадку[[Файл:Функция Лагранжа083.gif]]. Сразу отметим, что все дальнейшее изложение будет вестись в предположении справедливости преобразований Галилея, т.е. [[Файл:Функция Лагранжа088.gif]]  и  [[Файл:Функция Лагранжа089.gif]]. Поскольку [[Файл:Функция Лагранжа090.gif]] , из (1.17) получаем соотношение

[[Файл:Функция Лагранжа091.gif]],                                         

(1.18)

Из соотношения (1.18) следует, что при движении в магнитном поле возникает дополнительное электрическое поле, определяемое последним слагаемым этого соотношения. Заметим, что данное соотношение  получено не путем введения силы Лоренца аксиоматическим способом или из ковариантных преобразований Лоренца, а непосредственно из закона Фарадея, причем в рамках преобразований Галилея. Таким образом, сила Лоренца является прямым следствием  закона магнитоэлектрической индукции.
Из закона Ампера можно получить соотношение:

[[Файл:Функция Лагранжа092.gif]].

Тогда соотношение (1.17) для индуцируемых полей можно переписать

[[Файл:Функция Лагранжа093.gif]],

и далее

[[Файл:Функция Лагранжа053.gif]]                

(1.19)

Снова получено соотношение (1.7), но получено оно непосредственно из закона Фарадея. Рассмотрение законов индукции с точки зрения магнитного векторного потенциала и полная его запись впервые продемонстрирована в работах [3-7]. Правда, и этот путь пока не проливает свет на физическую природу происхождения силы Лоренца, так как истинные физические причины возникновения и магнитного поля и векторного потенциала нам все равно пока не ясны.

== Законы электромагнитной индукции в классической электродинамике ==

Закон Фарадея  показывает, каким образом изменение магнитных полей приводит к появлению электрических полей. Однако возникает вопрос о том, приводит ли изменение электрических полей к возникновению каких-либо других полей и, в частности, магнитных? Ответ на этот вопрос дал Максвелл, введя ток смещения в свое второе уравнение. В случае отсутствия токов проводимости второе уравнение Максвелла выглядит следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа094.gif]],

где [[Файл:Функция Лагранжа095.gif]] -  электрическая индукция.

От этого соотношения нетрудно перейти к выражению

[[Файл:Функция Лагранжа096.gif]],                                             

(2.1)

где [[Файл:Функция Лагранжа097.gif]] поток электрической индукции.

Однако для полного описания процессов взаимной электрической индукции соотношения (1.1) недостаточно. Как и в случае закона Фарадея, следует учесть то обстоятельство, что поток электрической индукции может меняться не только за счет локальной производной  электрического поля по времени, но и за счет того, что контур, вдоль которого производится интегрирование, может двигаться в пространственно меняющемся электрическом поле. Это означает, что в соотношении (1.1), как и в случае закона Фарадея, следует заменить частную производную на полную. Обозначая штрихами поля и элементы контура в движущейся ИСО, получим:

[[Файл:Функция Лагранжа098.gif]],

и далее

[[Файл:Функция Лагранжа099.gif]]         

(2.2)

Для электронейтральной среды [[Файл:Функция Лагранжа100.gif]] , поэтому последний член правой части в этом выражении будет отсутствовать. Для этого случая соотношение (2.2) будет иметь вид:

[[Файл:Функция Лагранжа101.gif]]                      

(2.3)

Если в этом соотношении перейти от интегрирования по контуру к интегрированию по поверхности, то получим:

[[Файл:Функция Лагранжа102.gif]]                               

(2.4)

Если, исходя из этого соотношения,  записать поля в данной инерциальной системе, то штрих около [[Файл:Функция Лагранжа103.gif]] и второй член правой части исчезнут, и  получим ток смещения, введенный Максвеллом. Но Максвелл ввел этот параметр, не прибегая к закону электромагнитной индукции (2.2). Если свой закон магнитоэлектрической индукции Фарадей вывел на основании экспериментов с магнитными полями, то эксперименты по установлению справедливости соотношения (2.2) в то время провести было невозможно, т.к. для проведения такого эксперимента не хватало чувствительности существующих измерительных приборов.

Для случая постоянных электрических полей из (2.3) получаем:

[[Файл:Функция Лагранжа104.gif]]                                    

(2.5)

Для вихревых электрических полей  можно выразить электрическое поле через ротор электрического векторного потенциала, положив

[[Файл:Функция Лагранжа105.gif]]                                            

(2.6)

Но введение такого соотношения является, по сути дела, признанием существования магнитных токов. Полемика о наличии таких токов и о возможности существования магнитных монополей в научной литературе ведется давно. Единой точки зрения по этому вопросу пока нет. Но наличие магнитных токов очень легко понять из такого примера. Предположим, что в нашем распоряжении имеется длинный стержень, выполненный из магнитного материала. Если  на одном конец стержня разместить соленоид и ввести в него ток, то такой конец стержня намагнитится. Но намагниченность, возникшая на конце стержня, не сразу появиться на другом его конце. Волна намагниченности будет распространяться вдоль стержня  с какой-то скоростью, зависящей от кинетических свойств самого процесса намагничивания. Таким образом, сам магнитный стержень, в данном случае, подобно проводнику электрического тока, является проводником магнитного потока, который, как и ток проводимости, может распространяться с конечной скоростью.

Соотношение (2.4) с учетом (2.6) запишется:

[[Файл:Функция Лагранжа106.gif]].

Далее  можно повторить все те процедуры, которые  уже проводились с магнитным векторным потенциалом, и записать следующие соотношения:

[[Файл:Функция Лагранжа107.gif]],

[[Файл:Функция Лагранжа106.gif]],

[[Файл:Функция Лагранжа108.gif]].

Конечно, рассмотрение данного вопроса можно было бы, как и в случае закона магнитоэлектрической индукции, начать с введения вектора[[Файл:Функция Лагранжа109.gif]], но этот путь специально пройден  традиционным способом, начиная с интегрального закона, чтобы показать идентичность процессов для двух различных законов, и логическую последовательность введения электрического векторного потенциалов.

== Динамические потенциалы и поля движущихся зарядов ==

Тот путь, который  продемонстрирован в предыдущих двух разделах, касающийся введения полных производных полей, пройден в значительной части  ещё Герцем. Правда, Герц не вводил понятие векторных потенциалов, а оперировал только полями, но это не умаляет его заслуг.  Герц ошибался лишь в том, что считал электрические и магнитные поля инвариантами скорости.
 
Находясь в заданной ИСО, нас интересуют те поля, которые создаются в ней неподвижными и движущимися зарядами, а также электромагнитными волнами, которые генерируются неподвижными и движущимися источниками таких волн. Поля, которые создаются в данной ИСО движущимися зарядами и движущимися источниками электромагнитных волн, будем называть динамическими. Примером динамического поля может служить магнитное поле, которое возникает вокруг движущихся зарядов.

Как уже отмечалось, в классической электродинамике отсутствуют правила преобразования электрических и магнитных полей при переходе из одной инерциальной системы в другую. Этот недостаток устраняет СТО, основой которой являются ковариантные преобразования Лоренца. 

В данном разделе будет сделана попытка найти именно физически обоснованные  пути получения преобразований полей при переходе из одной ИСО в другую, а также выяснить какие динамические потенциалы и поля могут генерировать движущиеся заряды. Первый шаг, продемонстрированный в работах [2-7], был сделан в этом направлении путём введения симметричных законов магнитоэлектрической и электромагнитной индукции. Эти законы, как показано в предыдущих разделах  записываются следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа110.gif]]                          

(3.1)

или

[[Файл:Функция Лагранжа111.gif]]                                    

(3.2)

Для постоянных полей эти соотношения имеют вид:

[[Файл:Функция Лагранжа112.gif]]                                              

(3.3)

В соотношениях (3.1-3.3), предполагающих справедливость преобразований Галилея, штрихованные и не штрихованные величины представляют поля и элементы в движущейся и неподвижной ИСО соответственно. Следует заметить, что преобразования (3.3) ранее можно было получить только из преобразований Лоренца.

Соотношения (3.1–3.3), представляющие законы  индукции, не дают информации о том, каким образом возникли  поля в исходной неподвижной ИСО. Они описывают только закономерности распространения и преобразования полей в случае движения по отношению к уже существующим полям.

Соотношения (3.3) свидетельствуют о том, что в случае относительного движения систем отсчета, между полями [[Файл:Функция Лагранжа044.gif]] и [[Файл:Функция Лагранжа103.gif]] существует перекрестная связь, т.е. движение в полях [[Файл:Функция Лагранжа103.gif]] приводит к появлению полей [[Файл:Функция Лагранжа044.gif]] и наоборот. Из этих соотношений вытекают дополнительные следствия, которые впервые были рассмотрены  в работе [4].  Электрическое поле [[Файл:Функция Лагранжа113.gif]]  за пределами заряженного длинного стержня, на единицу длины которого приходится заряд [[Файл:Функция Лагранжа114.gif]], убывает по закону [[Файл:Функция Лагранжа040.gif]], где [[Файл:Функция Лагранжа036.gif]] - расстояние от центральной оси стержня до точки наблюдения.

Если параллельно оси стержня в поле [[Файл:Функция Лагранжа115.gif]]  начать двигать со скоростью [[Файл:Функция Лагранжа116.gif]]  другую ИСО, то в ней появится дополнительное магнитное поле [[Файл:Функция Лагранжа117.gif]]. Если теперь по отношению к уже движущейся ИСО начать двигать третью систему отсчета со скоростью [[Файл:Функция Лагранжа116.gif]], то уже за счет движения в поле [[Файл:Функция Лагранжа118.gif]]  появится добавка к электрическому полю  [[Файл:Функция Лагранжа119.gif]]. Данный процесс можно продолжать и далее, в результате чего может быть получен ряд, дающий величину электрического поля [[Файл:Функция Лагранжа120.gif]]  в движущейся ИСО при достижении скорости [[Файл:Функция Лагранжа121.gif]]  , когда [[Файл:Функция Лагранжа122.gif]]  , а [[Файл:Функция Лагранжа123.gif]].  В конечном итоге в движущейся ИСО величина динамического электрического поля окажется больше, чем в исходной и определиться  соотношением:

[[Файл:Функция Лагранжа124.gif]]

Если речь идет об электрическом поле  одиночного заряда [[Файл:Функция Лагранжа132.gif]], то его электрическое поле будет определяться соотношением:

[[Файл:Функция Лагранжа125.gif]],

где [[Файл:Функция Лагранжа126.gif]]  - нормальная составляющая скорости заряда к вектору, соединяющему  движущийся заряд и точку наблюдения.

Выражение для скалярного потенциала, создаваемого движущимся зарядом, для этого случая запишется следующим образом [4-7]:
[[Файл:Функция Лагранжа127.gif]],                                

(3.4)

где [[Файл:Функция Лагранжа128.gif]]  - скалярный потенциал неподвижного заряда.

Потенциал [[Файл:Функция Лагранжа129.gif]]  может быть  назван скалярно-векторным, т.к. он зависит не только от абсолютной величины заряда, но и от  скорости  и направления его движения по отношению к точке наблюдения. Максимальное значение этот потенциал имеет в направлении нормальном к движению самого заряда. Более того, если скорость заряда меняется, что связано с его ускорением, то могут быть вычислены  и электрические поля, индуцируемые ускоряемым зарядом.

== О структуре функции Лагранжа для неподвижного и движущегося заряда ==

Теперь мы можем перейти к рассмотрении вопроса о функции Лагранжа с точки зрения скалярно-векторного потенциала.
 
Функцию Лагранжа для нерелятивистского заряда принято записывать следующим образом [1]:

[[Файл:Функция Лагранжа130.gif]]  

где  [[Файл:Функция Лагранжа131.gif]] и  [[Файл:Функция Лагранжа132.gif]]  - масса заряда и его величина,  [[Файл:Функция Лагранжа133.gif]] - скорость заряда,  [[Файл:Функция Лагранжа134.gif]] - скалярный потенциал поля, в котором движется заряд, [[Файл:Функция Лагранжа135.gif]] - векторный потенциал магнитного поля, в котором движется заряд.

В свою очередь, скалярный потенциал [[Файл:Функция Лагранжа134.gif]] в заданной точке определяется всеми окружающими его зарядами и определяется соотношением:

[[Файл:Функция Лагранжа136.gif]]  

В первом разделе было показано, что величина [[Файл:Функция Лагранжа137.gif]] играет роль обобщённого скалярного потенциала по отношению к движущемуся заряду. Такое определение данного параметра следует и из соотношения (1.13). Таким образом, утверждение о том, что функция Лагранжа в электромагнитном поле не может быть представлена в виде разности кинетической и потенциальной энергии, высказанное в работе [1], неверно.

В данной работе продемонстрирован новый подход к понятию скалярного потенциала, который создаёт движущийся заряд и показано, что этот потенциал без учёта запаздывания зависит от скорости следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа138.gif]]  

Если данную точку пространства окружает какое-то количество движущихся зарядов, то для нахождения скалярного потенциала в заданной точке необходимо произвести суммирование их потенциалов:

[[Файл:Функция Лагранжа139.gif]]  

Ранее было показано, что такое определение скалярного потенциала движущегося заряда исключает необходимость использования  понятия векторный потенциал.

С учётом этого обстоятельства лагранжиан для  заряда  , находящегося в окружении неподвижных и движущихся сторонних зарядов можно записать следующим образом:

[[Файл:Функция Лагранжа140.gif]]  
     
(4.1)

В том  случае, если заряд [[Файл:Функция Лагранжа132.gif]] движется относительно  системы отсчёта со скоростью [[Файл:Функция Лагранжа141.gif]], то его лагранжиан, как и ранее, определяется соотношением (4.1) с той лишь разницей, что в качестве скоростей [[Файл:Функция Лагранжа142.gif]] берутся относительные скорости зарядов по отношению к заряду [[Файл:Функция Лагранжа132.gif]] и добавляется член, определяющий кинетическую энергию самого заряда [[Файл:Функция Лагранжа143.gif]].

Это соотношение даёт принципиально новую трактовку функции Лагранжа и указывает на то, что она может быть записана на основе знания скалярно-векторного потенциала зарядов, окружающих заданный заряд.

== Литература ==

*1. Левич В. Г., Курс теоретической физики. М: Физматгиз, 1962. – 696 с.
*2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике.  М: Мир, 1977.
*3. Менде Ф. Ф. К вопросу об уточнении уравнений элетромагнитной индукции.   - Харьков, депонирована в  ВИНИТИ,   №774-В88 Деп., 1988.-32с.
*4. Менде Ф. Ф.  Существуют ли ошибки в современной  физике. Харьков, Константа, 2003.- 72 с.
*5. Mende F. F.  On refinement of certain laws of classical  electrodynamics,  arXiv, physics/0402084.
*6. Менде Ф. Ф. Непротиворечивая электродинамика. Харьков, НТМТ, 2008, – 153 с. ISBN 978-966-8603-23-5.
*7. Менде Ф. Ф. Великие заблуждения и ошибки физиков XIX-XX столетий. Революция в современной физике.. Харьков, НТМТ, 2010, – 176 с. ISBN 978-617-578-010-7.

[[Категория:Научный журнал]]