О формализме Лагранжа

[Петров А. М.]

Цикра Сергей Анатольевич:
В электромагнитном поле на электрический заряд действует сила, традиционно выражаемая  полной силой Лоренца с частной производной А по времени и скоростью частицы в данной СО vq:
F=q(-grad(fi)-dA/dt+[vq x B])…
Вместо традиционного я даю другое выражение полной силы Лоренца, в случае инерционного (равномерно и прямолинейно)  движения заряда в макрополе имеющую вид (в общем случае вид более сложный):
F=q(-grad(fi)-dA/dt-[(vA-vq) x rotA])
с относительной скоростью заряда и поля в данной СО (vA-vq) и  полной производной А по времени dA/dt=dA/dt+(vA grad)A...
Цикра Сергей Анатольевич:
…Я задал автору темы и заинтересованным лицам уже несколько вопросов:
1. О правомерности в электродинамике полных или частных производных по времени.
2. О движении заряда в стационарном равномерном эл. поле.
3. О движении заряда в стационарном равномерном магнитном поле.
4. О силе, действующей на заряд в равномерном магнитном поле, нарастающем во времени (в бетатроне).
5. О воздействии длинной (a>>b) рамки с током, движущейся относительно неподвижного заряда внутри её.
Последние две задачи даже не динамические –  в них заряд может покоиться…
Алексей Владимирович Земцов:
А какой механизм явления описывают новые уравнения, использованные вместо старых?
Во всех подобных случаях есть смысл сначала попытаться вскрыть внутренний механизм явления, а уже потом пытаться описать его с помощью математического аппарата…

Проблемы электродинамики начинаются с электростатики. Пока что ничего более содержательного, чем закон Кулона (сила взаимодействия прямо пропорциональна величине зарядов и обратно  пропорциональна квадрату расстояния между ними) теория электричества предложить не может. Поэтому и выразительные средства математики здесь по-прежнему остаются предельно примитивными: одна полученная из опыта физическая величина ставится в числитель дроби, другая возводится в квадрат и ставится в знаменатель, ну, а «теоретику» ещё предоставляется возможность «поиграть знаком» плюс или минус перед выражением для сил взаимодействия.
Кстати, почему теория электричества начинается с выражения для силы взаимодействия? Да потому, что все другие характеристики электрического заряда для внешнего наблюдателю кажутся вырожденными. А тензорное исчисление лишь утверждает это как факт. Возьмите от вектора положения заряда в пространстве так называемую производную (т.е. совокупность частных производных по осям координат). Что получится? Вектор скорости? Ничего подобного. И не вектор, и не скорости. А тензор первого ранга или дифференциальная 1-форма, субъективно зависящая от выбираемой теоретиком системы координат и отсчёта. Почему же не слышно протестов против такого издевательства и над физикой, и над математикой? Да потому что на этом поле уже  старательно поработали ландау-лифшицы, слывшие в кругу физиков сильными математиками, а в кругу математиков сильными физиками, а, на деле, оказавшиеся  такими же научными авантюристами, как и их идейный вдохновитель А.Эйнштейн.
А ведь ещё Максвелл (полтора века тому назад!) вкладывал в выражение для силы взаимодействия электрических зарядов существенно бóльшее физическое содержание, чем нынешняя теоретическая физика! Позор, да и только!
Уже в конце ХIХ века принципиально важная идея Максвелла о том, что явление электромагнетизма возникает (выходя на макроуровень) в результате вращательных и колебательных движений микроволчков, была грубо (с применением фальсификации, поскольку новый, физически бессодержательный и «неудобоваримый» продукт был выдан, и до сих пор продолжает выдаваться, за «уравнения Максвелла»!) отброшена «за ненадобностью», после чего примитивный набор математических средств для описания лежащих на поверхности результатов наблюдений получил статус «универсального и безальтернативного».
Мои оппоненты предлагают поработать в рамках этого физического и математического примитива? Ну, что же, возможности этой убогой методологии (замкнутых систем, подчиняющихся «принципу трёхсмысленного действия») и его математического аппарата (формализма лагранжианов-гамильтонианов, который только дискредитирует имена великих учёных Лагранжа и Гамильтона!), ещё не исчерпаны. Об этом, в частности, свидетельствует, на мой взгляд, весьма интересная книга Олега Репченко «Полевая физика или как устроен Мир?» (http://www.fieldphysics.ru/main_1/). Приведу из этой книги только цитату, касающуюся критики существующего состояния теоретической физики (остальное настоятельно советую прочесть оппонентам самим):

[Петров А. М.]

«Современная физика носит в большей степени описательный характер, выявляя эмпирически и описывая математически те или иные закономерности окружающего нас Мира и отвечая на вопросы «Как?». Однако она оказывается практически бессильной при поиске ответов на вопросы «Почему?», и таких вопросов за прошедшие столетия накопилось уже немало.
Например, почему тела обладают массой, зарядом и другими физическими свойствами? С чем связано наличие у тел этих свойств и можно ли эти свойства менять, целенаправленно управлять ими? Почему существует два типа электрических зарядов, что приводит к балансу между электрическим притяжением и отталкиванием, в то время как гравитационное взаимодействие всегда связано только с притяжением? Почему в нашем Мире не наблюдается гравитационного отталкивания и можно ли его создать? Почему в земных условиях гравитационный заряд оказывается эквивалентным инертной массе, в то время как масса и электрический заряд – принципиально разные вещи? Почему электрическая и гравитационная силы зависят именно от обратного квадрата расстояния, а не от его куба или первой степени? Почему эта зависимость для электрической и гравитационной сил совпадает, но является совсем иной для сильного или слабого взаимодействий? Выполняется ли закон обратных квадратов всегда, например, в ядерных масштабах или на космических расстояниях и если нет, то почему? Почему всего существует именно четыре типа фундаментальных взаимодействий, не больше и не меньше, и почему они именно такие?
Подобный список вопросов “Почему?” можно продолжать ещё очень долго. Причём все эти вопросы не из “дебрей” науки, доступных только узким специалистам, – их вполне может задать любой школьник или студент, изучающий курс классической физики. И ответов на все эти вопросы в современной науке просто нет. Более того, в рамках сложившегося научного мировоззрения и методологии получить подобные ответы невозможно, и ничего не остаётся, как придать им статус непознаваемого. Но именно это и означает, что современная физика во многом себя исчерпала и достигла потолка своего развития.
Примечательно, что с начала XX века – с момента появления теории относительности и квантовой теории – не возникло ни одной принципиально новой физической концепции. Всё, что сделано в фундаментальной физике за последние сто лет, – это в том или ином виде развитие релятивистских или квантовых идей. Причём каждый следующий шаг на этом пути оказывается всё более нелепым. Новые эксперименты требуют неадекватно высоких затрат на оборудование и являются, как правило, косвенными, не позволяющими что-либо утверждать наверняка. Усложнение математического аппарата, в свою очередь, делает физику всё более запутанной и туманной, убивая последние остатки физического смысла в современных теориях. В результате всё чаще звучит мнение о том, что теперь ярких физических открытий ожидать уже не приходится».
Не буду здесь в подробностях развивать альтернативный подход, но в качестве «пищи для размышлений», покажу, как реализуется идея Максвелла о представлении внутреннего движения заряда (в виде двух вращений) с помощью исчисления кватернионов. Первым объектом теории должна быть не сила взаимодействия, а характеристики движения. Так, трёхмерная координата «статического состояния» заряда выражается вектором:
z=ir exp(jΩt+kωt),
где i, j, k – единичные векторы, подчиняющиеся правилам умножения кватернионов,
 r – радиус носителя единичного заряда,
ω»Ω – скорости, соответственно, быстрого (в основной плоскости) и медленного (поворота основной плоскости) вращений,
t – время.
Соответственно, скорость этого движения выражается вектором, получаемым дифференцированием по времени вектора z:
v= ir(jΩt+kωt) exp(jΩt+kωt).
Поскольку до этого момента мы оперировали ортогональными векторами, операции дифференцирования экспоненциальных функций сводились к одностороннему умножению на производную аргумента. Далее, чтобы получить ускорение (внутренние силовые взаимодействия), необходимо применять некоммутативное умножение (слева и справа), и мы здесь этим заниматься уже не будем. Ибо мы всего лишь хотим показать, каким образом можно адекватно описать ту физическую реальность (вращений и колебаний), которая, на самом деле, не коммутативна! Существующая же тензорная алгебра выглядит с этой точки зрения как «допотопная» и давно полностью изжившая себя.
Повторю ещё и ещё раз: в теоретической физике давно назрела и крайне нужна «смена парадигмы»!

[Петров А. М.]

Николай Алексеевич Лошкарёв:
А любопытно, можно ли, в принципе, использовать энергию вращения Земли?
Олег Владимирович Лавринович:
Без зацепа за другое небесное тело, нельзя. А с зацепом? Пожалуйста! Те же приливы.
Что касается гироскопа, установленного перпендикулярно экватору, то поворот земли вызовет момент, и гироскоп пожелает прецессировать в другой плоскости; если ему не дать это сделать, то возникнет момент, ломающий ось, деформирующий диск и могущий разрушить систему. На свободный гироскоп опереться можно, но недолго, пока он будет прецессировать и его ось не станет параллельной оси вращения Земли.

Кроме «всемирного тяготения», никаких иных «зацепов» Земли за Луну и Солнце, которые могли бы порождать лунные и солнечные приливы на земной поверхности, нет. Центры масс (ц.м.) этих трёх небесных тел движутся по своим кеплеровым орбитам: ц.м. Луны – вокруг Земли (точнее,  вокруг общего ц.м. системы Земля-Луна), ц.м. Земли (или системы Земля-Луна) – вокруг Солнца и, наконец, ц.м. Солнца – вокруг центра Галактики.
Лунные же и солнечные приливы на земной поверхности возникают потому, что поверхностные слои земной массы отстоят от центра планеты на 6000 км, в результате чего силы лунной и солнечной гравитации для положений зенита и надира Луны и Солнца (на противоположных точках земного шара) отличаются друг от друга на миллионные доли процента, изменяясь между этими экстремальными значениями по гармоническому закону с частотой, равной удвоенной частоте вращения Земли.
Достаточно ли этого, чтобы поднять в акватории океана приливную волну высотой 8 метров, а на территории континентов (в средних широтах) высотой до 50 см? Нет, одного этого было бы недостаточно. Однако водные массы океана и поверхностные массы суши обладают способностью колебаться с некоторой собственной частотой, и так уж получилось, что частота этих колебаний совпадает с удвоенной частотой вращения Земли вокруг своей оси. В результате происходит резонансное усиление вынужденных колебаний, с естественным (характерным для резонанса) сдвигом по фазе колебаний на выходе системы на четверть периода, т.е., в данном случае, на 3 часа.
На суше изменение фазы приливных волн фиксируется с помощью гравиметрических приборов, а на побережье этот процесс можно наблюдать непосредственно. Так, ещё Лаплас заметил,  что в положениях зенита и надира (прямо под Луной и Солнцем) уровень приливной (лунной или солнечной) волны нулевой. Через 3 часа этот уровень достигает максимума, ещё через 3 часа – снова нулевого значения, ещё через 3 часа – минимума, и т.д. Таков обычный для резонанса фазовый сдвиг, и никакого «утягивания приливных горбов» по ходу вращения Земли якобы за счёт приливного трения масс воды и суши, не происходит. Фантазировать здесь нет необходимости: данных, полученных в результате наблюдений, вполне достаточно для естественного объяснения механизма приливных волн на основе явления резонанса.

[Петров А. М.]

А теперь – главный вопрос: об источнике приливной энергии. Набегая на континент, приливная волна частично переходит в колебание суши, а частично теряет энергию на торможение вращения Земли. Но означает ли это, что энергия вращения Земли служит источником энергии приливных волн? Разве можно следствие (торможение вращения Земли) выдавать за причину данного явления?! Официальной науке надо было очень сильно постараться искалечить мышление людей, чтобы атрофировать его до полной потери способности замечать очевидное!
В широком диапазоне, от микро до макроуровней, Природа многократно переходит от бесконечно малых к бесконечно большим величинам масс, энергий, частот вращений и других физических характеристик. Физические характеристики динамических систем, с которыми нам приходится оперировать, мы воспринимаем как конечные величины. Но никаких непреодолимых барьеров между динамическими системами разных уровней (не исключая процессы энергообмена между ними) нет. Надо только видеть и учитывать разницу в масштабах взаимодействующих систем.
На заре науки была необходимость ввести, в качестве временной меры («научного костыля»), понятия «замкнутой системы» с её «(псевдо)законами  сохранения».  Но горе-теоретики, от творческого бессилия и бесплодия,  превратили это понятие  в фетиш и, не раздумывая, суммируют в единую «константу» конечные, бесконечно большие и бесконечно малые величины!
Спрашивается, если солнечное притяжение вызывает на Земле приливную волну, замедляющую вращение Земли, то насколько от этого убывает гравитационная энергия Солнца? Правильный ответ: нисколько не убывает, так как по отношению к энергии приливных волн гравитационная энергия Солнца как была, так и остаётся бесконечно большой величиной! Но тогда при чём здесь «закон сохранения энергии»?
Ещё одним примером не складываемых (по правилу параллелограмма, т.е. векторных) величин являются угловые скорости быстрого вращения, прецессии и нутации волчков-гироскопов  (к таковым, в частности, относится планета Земля). Свободный волчок (к примеру, гироскоп в кардановом подвесе) не прецессирует, сохраняя направление своей оси быстрого вращения в пространстве.
Но вот возникает внешний вращающий момент за счёт силы тяжести при отклонении оси волчка от вертикали, и волчок начинает прецессировать. За счёт чего? Официальная наука («Механика» Ландау-Лифшица, другие учебники и учебные пособия) утверждает, что за счёт перераспределения момента импульса внутри системы (для этого придуман «закон сохранения импульса», абсурдность которого становится очевидной при рассмотрении прецессии с горизонтальным расположением оси вращения волчка).
На самом же деле, прецессирующий волчок является открытой системой, заимствующей энергию, импульс и момент импульса извне. Теряет ли при этом энергию, импульс и момент импульса гравитационное поле Земли? Нет, поскольку взаимодействуют разномасштабные системы, и то, что для одной системы является конечной и бесконечно большой величиной, для другой остаётся бесконечно малой.
Итак, перетекание энергии из гравитационной системы верхнего уровня в систему нижнего уровня, без изменения взаимных гравитационных потенциалов этих систем, не только возможно, но и реально происходит в природе. Практически это означает возможность доступа человека к неисчерпаемому, вездесущему и экологически безупречному источнику (гравитационной) энергии, кардинально решающему, на обозримую перспективу,  энергетическую проблему в глобальном масштабе.

[ival]

Сила "гравитации", удерживающая Землю на орбите вокруг Солнца, по ЗВТ и в пересчете на единицу поверхности Земли 7e+13 Н/м², минимум на 11 порядков больше силы удерживающей тела на Земле.
Приливы никакого отношения к Луне или Солнцу не имеют, в противном случае максимумы приливной волны наблюдались бы в районе экватора, а на самом деле они в высоких широтах.
Завравшейся донельзя еврейской "науке" неизвестны ни природа этих сил, ни причины их вызывающие, ни происхождение масс вещества, ни источник их внутренней энергии.

[Петров А. М.]

ival:
Приливы никакого отношения к Луне или Солнцу не имеют…

Всё-таки лунные приливы на поверхности Земли имеют какое-то отношение к Луне, как и солнечные – к Солнцу (пара приливных «горбов» на противоположных сторонах Земли так и движется синхронно за Луной, а другая пара приливных «горбов» –  за Солнцем). Менее очевиден резонансный характер этого процесса, но и он доказывается наличием убедительнейших признаков: 1) фактом усиления колебаний на входе системы приливных волн (выражающихся в изменении ускорения свободного падения на поверхности Земли по гармоническому закону на миллионные доли процента) до метровой высоты приливных волн на выходе (в океанской акватории со средним  перепадом высот 8 метров, на суше в средних широтах до 40-50 сантиметров); 2) фазовым сдвигом (отставанием во времени и, соответственно, в пространстве) на четверть периода вынужденных колебаний системы.
Никаких других механизмов этого процесса пока никто не предложил (по поводу бессилия официальной науки в этом вопросе оппонент абсолютно прав).

[Herodotus]

Никаких других механизмов этого процесса пока никто не предложил (по поводу бессилия официальной науки в этом вопросе оппонент абсолютно прав).

"Говорил, ломая руки, краснобай и баламут
Про бессилие науки перед тайнами Бермуд..." 

[ival]

Всё-таки лунные приливы на поверхности Земли имеют какое-то отношение к Луне, как и солнечные – к Солнцу (пара приливных «горбов» на противоположных сторонах Земли так и движется синхронно за Луной, а другая пара приливных «горбов» –  за Солнцем).

http://newfiz.narod.ru/priliv2.html

[Вашкевич Виктор]

http://newfiz.narod.ru/priliv2.html

Без эфира не объяснить, нужно признавать эфир.

[Петров А. М.]

Вполне уместная здесь ссылка на добротный первоисточник, содержащий критику существующего положения дел и предлагающий своё решение проблемы. Подход автора частично «пересекается» с развиваемым нами подходом (кстати, впервые опубликованным в монографии 2001 года: Петров А.М. Гравитационно-резонансные “вечные двигатели” в природе и технике: математическое описание, возможные технические решения для систем наземного и космического применения, расчёт эффективности. – М.: Компания Спутник+, 2001), в чём-то его дополняет, но, в основном, является оригинальным (как и должно быть при творческом подходе к любой проблеме). Приведу наиболее понравившиеся мне цитаты.
Источник: http://newfiz.narod.ru
А.А.Гришаев. НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПРИРОДУ ПРИЛИВООБРАЗУЮЩИХ СИЛ. – Государственный эталон времени-частоты, ФГУП “ВНИИФТРИ”, Московская обл., Менделеево. Поступило на сайт: 27 сентября 2005.
«Если Луна имеет ненулевое склонение, то, помимо лунно-суточных возмущений вдоль параллели, имеют место также лунно-суточные возмущения вдоль меридиана. Композиция этих двух ортогональных возмущений, на наш взгляд, является главным генератором вращающихся приливных волн в амфидромических областях. Именно этим региональным вращением приливных волн, а не “запаздыванием выпуклости приливного эллипсоида”, проще объяснить феномен запаздывания ближайшей полной воды относительно кульминации Луны, причём характерные запаздывания в различных пунктах могут иметь любые мыслимые значения, в отдельных случаях даже превышая 12 часов…
Напрашивается очевидный вывод: в приливных колебаниях не последнюю роль играют резонансные явления. Эта идея не нова; она высказывалась, например, в [1. А.И.Дуванин. Приливы в море. “Гидрометеорологическое изд-во”, Л., 1960; 5. В.В.Шулейкин. Очерки по физике моря. “Изд-во АН СССР”. М.-Л., 1949], но не получила развития. А ведь наличие резонансов кардинально изменяет физику приливных явлений, поскольку здесь уже не работает принцип линейной суперпозиции возмущающих воздействий. Действительно, если обособленная область подвержена нескольким возмущающим воздействиям, которые имеют одинаковые амплитуды, но различные периоды, то отклики на эти воздействия должны иметь различные “коэффициенты передачи”: сильнее должен быть отклик на то воздействие, период которого ближе к резонансному. Следствием такого подхода, проверенным нами с помощью несложных машинных экспериментов, является то, что почти все основные и промежуточные типы приливов оказывается возможным промоделировать, считая их результатами совместного действия всего двух первичных возмущений: солнечно-суточного и лунно-суточного (лунные сутки длятся примерно 24 часа 50 минут). Мы говорим “первичных”, поскольку наличие резонансов в приливных явлениях допускает возможность такого феномена, как возбуждение вторых гармоник первичных возмущающих воздействий. Дополнение лунно- и солнечно-суточных приливных колебаний их вторыми гармониками делает возможным моделирование приливов суточного, смешанного и полусуточного типов – при подходящих соотношениях амплитуд и фаз у четырёх результирующих компонент. Интересно, что такое моделирование высвечивает причины некоторых особенностей приливных явлений…
Ещё обратим внимание на то, что лунно- и солнечно-полусуточные возмущения имеют близкие периоды. Поэтому, если доминирующим приливом является полусуточный, то он непременно должен быть комбинацией обеих полусуточных компонент. Отсюда вытекает объяснение сизигийно-квадратурной вариации амплитуды полусуточных приливов. Для этого объяснения следует иметь в виду, что, при любой разности фаз у двух близких по частоте колебаний, разность фаз у их вторых гармоник в два раза больше. Вышеизложенные модели солнечных и лунных воздействий дают, что, для той или иной амфидромической области, в полнолуние разности фаз у лунно- и солнечно-суточных возмущений близки к нулю, а в новолуние – к 180°. В обоих случаях удвоенная разность фаз близка к нулю, поэтому в обеих сизигиях два полусуточных возмущения почти синфазны и, таким образом, усиливают друг друга. Напротив, в квадратурах разности фаз у лунно- и солнечно-суточных возмущений близки к ± 90°, так что при этом полусуточные возмущения почти противофазны и, таким образом, ослабляют друг друга. На практике максимальный или минимальный полусуточный прилив обычно запаздывает, иногда на несколько суток, относительно момента сизигии или квадратуры. Это явление, малопонятное в рамках традиционного объяснения приливов, может быть объяснено дополнительной разностью фаз у двух полусуточных возмущений».

[Гришин Станислав Григорьевич]

Петрову.
Вот Вы всё о большом и продвинутом, а я основ никак понять не могу.
Читаю Википедию про функцию Лагранжа

В классической механике лагранжиан есть
   L = T - V               (1)
где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия.

Какой физический смысл в том, чтобы из одной энергии другую вычитать?...
Далее кинетическую энергию я ещё могу кое-как представить.
А вот потенциальную энергию как физическую сущность,
а не как слова "потенциальная энергия" - не получается. Такой пример.
Пусть между Землёй и Луной болтается тело массы m.
Какова его потенциальная энергия?
Е_пЗ=mg_зh_з или E_пЛ=mg_лh_л?
Так как её можно и по отношению к другим телам вычислять,
то и значений потенциальной энергии будет по их числу.
То-есть, в любой, не зависящей от тела, системе отсчёта
число оценок его потенциальной энергии в любой точке
пространства не ограничено.
Что же брать за V в (1)?

[Herodotus]

Петрову.
Вот Вы всё о большом и продвинутом, а я основ никак понять не могу.
Читаю Википедию про функцию Лагранжа Какой физический смысл в том, чтобы из одной энергии другую вычитать?...
Далее кинетическую энергию я ещё могу кое-как представить.
А вот потенциальную энергию как физическую сущность,
а не как слова "потенциальная энергия" - не получается. Такой пример.
Пусть между Землёй и Луной болтается тело массы m.
Какова его потенциальная энергия?
Е_пЗ=mg_зh_з или E_пЛ=mg_лh_л?
Так как её можно и по отношению к другим телам вычислять,
то и значений потенциальной энергии будет по их числу.
То-есть, в любой, не зависящей от тела, системе отсчёта
число оценок его потенциальной энергии в любой точке
пространства не ограничено.
Что же брать за V в (1)?

В вашем случае
\[
V = - \sum_i G\frac{m m_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|} + const.
 \]

[Dachnik]

Петрову.
Вот Вы всё о большом и продвинутом, а я основ никак понять не могу.
Читаю Википедию про функцию Лагранжа Какой физический смысл в том, чтобы из одной энергии другую вычитать?...
Далее кинетическую энергию я ещё могу кое-как представить.
А вот потенциальную энергию как физическую сущность,
а не как слова "потенциальная энергия" - не получается. Такой пример.
Пусть между Землёй и Луной болтается тело массы m.
Какова его потенциальная энергия?
Е_пЗ=mg_зh_з или E_пЛ=mg_лh_л?
Так как её можно и по отношению к другим телам вычислять,
то и значений потенциальной энергии будет по их числу.
То-есть, в любой, не зависящей от тела, системе отсчёта
число оценок его потенциальной энергии в любой точке
пространства не ограничено.
Что же брать за V в (1)?

Если тело вошло в потенциальное гравитационное поле Земли на высоте Н, уже с какой то скоростью V и уже имело кинетическую энергию MV²/2,  то вычитание и даст это MV²/2.
Потому что, если тело начинает падать на Землю с высоты Н с нулевой скоростью, то Ек - Еп =0.
Высоту Н тело пройдет за время Т.
Н = gT²/2
Отсюда Mg*(gT²/2) = Mg²T²/2 = MV²/2
А вот по вопросу

Пусть между Землёй и Луной болтается тело массы m.
Какова его потенциальная энергия?
ЕпЗ=mgзhз или EпЛ=mgлhл?

Вы все правильно написали.
В каждом потенциальном поле тело имеет  свою потенциальную энергию. Только механика Лагранжа тут  уже не катит.
Что касается формулы Н..., то это он в Латексе тренировался. Мягко говоря, шутил однако &/
 

 

[Гришин Станислав Григорьевич]

В вашем случае
\[
V = - \sum_i G\frac{m m_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|} + const.
 \]

Как понять отрицательность энергии?
А почему Gm не вынесено влево за знак суммы?
Правильно ли я понял, что с увеличением i модуль V
только увеличивается?
Как понять возможную бескончность энергии
(i-то - любое) в любом месте?
Как мне показалось, Вы под суммой подразумеваете нЕчто
вроде сумме потенциалов.
Дайте, если не трудно, названия обозначаемых величин.
Что подразумевается под const?

[Гришин Станислав Григорьевич]

... если тело начинает падать на Землю с высоты Н с нулевой скоростью, то Ек - Еп = 0.

Когда, в какой точке? А может ни в какой, кроме одной? 

Высоту Н тело пройдет за время Т.
Н = gT²/2
Отсюда Mg*(gT²/2) = Mg²T²/2 = MV²/2

Говоря словами, потенциальная "энергия" на высоте Н
равна кинетической энергии при Н=0.
Если вдуматься в это и сказанное в предыдущих постах,
то можно получить определение потенциальной "энергии".
Потенциальная энергия это не физическая сущность,
а просто величина, числовое значение максимума
кинетической энергии, достижимое в заданных условиях.

[Alexpo]

Дайте, если не трудно, названия обозначаемых величин.

m - масса рассматриваемого тела, m_i - остальных, r - радиусы-векторы.

Как понять отрицательность энергии?

Для двух тел m и m₁ выражение для энергии имеет вид
\[ V = - G\frac{m m_1}{r} \]
r - расстояние между телами. const пока положим = 0. Видно, что энергия здесь равна нулю на бесконечности (при бесконечном расстоянии)

Физический смысл имет работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2, связанная с потенциальной энергией формулой А = V₁ - V₂. Потенциальная энергия в точке 2 будет равна перемещению тела из бесконечности, где V₁=0 в точку 2. Работа при этом положительна A > 0. Получаем А = - V₂ или V₂ = -А < 0. Таким образом, потенциальная энергия отрицательна.

Изучаемая в школе энергия тела, поднятого на высоту  h, V = mgh положительна, поскольку она равна нулю не на бесконечности, а при h=0, т.е. направление наоборот и знак наоборот.

А почему Gm не вынесено влево за знак суммы?
Как мне показалось, Вы под суммой подразумеваете нЕчто
вроде сумме потенциалов.

Чтобы выражение под знаком суммы имело физический смысл, т.е. смысл энергии. Можно вынести за знак суммы гравитационный заряд m, тогда сумма будет гравитационных потенциалов.

Что подразумевается под const?

Потенциальная энергия и потенциал определены с точностью до произвольной константы, поскольку Физический смысл имет работа А = V₁ - V₂, при вычитании константа сокращается. Можете положить const=0

В школьной формуле V = mgh это соответствует тому, что высоту можно отсчитывать от любого уровня, все равно А = mgh₁-mgh₂ от этого не зависит

Правильно ли я понял, что с увеличением i модуль V только увеличивается?

Да. Но помните, что Физический смысл имет работа, равная разности энергий.

Как понять возможную бескончность энергии(i-то - любое) в любом месте?

Сингулярность надо отбросить, а бесконечного числа тел не будет или до них будет бесконечное расстояние.

[aid]

m - масса рассматриваемого тела, m_i - остальных, r - радиусы-векторы.

Для двух тел m и m₁ выражение для энергии имеет вид
\[ V = - G\frac{m m_1}{r} \]
r - расстояние между телами. const пока положим = 0. Видно, что энергия здесь равна нулю на бесконечности (при бесконечном расстоянии)

Физический смысл имет работа по перемещению тела из точки 1 в точку 2, связанная с потенциальной энергией формулой А = V₁ - V₂. Потенциальная энергия в точке 2 будет равна перемещению тела из бесконечности, где V₁=0 в точку 2. Работа при этом положительна A > 0. Получаем А = - V₂ или V₂ = -А < 0. Таким образом, потенциальная энергия отрицательна.

Изучаемая в школе энергия тела, поднятого на высоту  h, V = mgh положительна, поскольку она равна нулю не на бесконечности, а при h=0, т.е. направление наоборот и знак наоборот.

Чтобы выражение под знаком суммы имело физический смысл, т.е. смысл энергии. Можно вынести за знак суммы гравитационный заряд m, тогда сумма будет гравитационных потенциалов.

Потенциальная энергия и потенциал определены с точностью до произвольной константы, поскольку Физический смысл имет работа А = V₁ - V₂, при вычитании константа сокращается. Можете положить const=0

В школьной формуле V = mgh это соответствует тому, что высоту можно отсчитывать от любого уровня, все равно А = mgh₁-mgh₂ от этого не зависит

Да. Но помните, что Физический смысл имет работа, равная разности энергий.

Сингулярность надо отбросить, а бесконечного числа тел не будет или до них будет бесконечное расстояние.

Боюсь, что Анаксагор сейчас заявит, что Вы ответили не на его вопросы, переврав их

[В.И.Костицын]

m - масса рассматриваемого тела, m_i - остальных, r - радиусы-векторы.

Для двух тел m и m₁ выражение для энергии имеет вид
\[ V = - G\frac{m m_1}{r} \]
r - расстояние между телами. const пока положим = 0. Видно, что энергия здесь равна нулю на бесконечности (при бесконечном расстоянии)

Закон тяготения - всего лишь грубое приближение к действительности.

Во - первых, он не учитывает силы гравитационного отталкивания:
                                                     F=- m*4пi*G=-m*c*H

А во - вторых из-за наличия сил отталкивания он не учитывает ограничение радиуса действия гравитационных сил притяжения величиной:
                                                        R=(m/8пi)^1/2

[aid]

Закон тяготения - всего лишь грубое приближение к действительности.

[/b]

Весь вопрос в том, насколько грубое.

[В.И.Костицын]

Весь вопрос в том, насколько грубое.

Для того, чтобы любой мог сам оценить, насколько грубое, я и написал формулы.