О формализме Лагранжа

[Вашкевич Виктор]

С чего сошёл? 

С вами с ума сойдешь...
Где в гугле определение добротности контура?
Сплошной флуд, а ясного определения нет.

[Петров А. М.]

Объяснение коэффициента k - в "Механике" Ландау-Лифшица на с.83.
Поскольку оппоненты высказывают такое пожелание, поговорим о Кеплеровой задаче.
Загляните в «Механику» Ландау-Лифшица (§15, сс.51-57). Не знаю, кого может устроить приведённое здесь «решение» Кеплеровой задачи. Совершается грубейшая «подгонка» задачи под закон сохранения энергии. Физическая суть явления остаётся не раскрытой. Вместо предъявления прямой аналитической зависимости от времени координат, скоростей и ускорений, авторы апеллируют к машинному счёту.
Процитирую свой критический текст в одном из предыдущих постов на Форуме.
«Изначально Кеплер решал свою задачу для случая плоскостного движения. В этом варианте задачи Природа распорядилась так, что большое небесное  тело (Солнце) по массе оказалось в 3 миллиона раз больше малого (Марса). Здесь ни о каком «объединённом законе сохранения энергии» для этих двух тел в рамках какой-либо замкнутой системы не может быть и речи. Энергия большого тела остаётся для малого не только внешней, но и бесконечно большой по величине. Сколько бы энергии малым телом ни было изъято у большого, а затем ему возвращено, для большого тела всё это останется совершенно не ощутимым. Так что правильно считать малое тело изначально открытой системой, а вопрос ставить так: в какой мере малое тело, по условиям своего движения, может и фактически использует внешний источник бесконечно большого количества энергии, в частности, заимствуя энергию у него, а потом её возвращая?
Чтобы прояснить этот вопрос, попытаемся в существующей методологии «отделить мух от котлет». «Котлеты» – это объективные характеристики движения, поддающиеся прямым измерениям и оценке. В том варианте задачи, который самого Кеплера привёл к открытию его законов, эти характеристики таковы. Эксцентриситет орбиты Марса е=0,0921. Параметр орбиты р=2,26•10¹¹ м. Расстояние до центра притяжения в перигелии 2,07•10¹¹ м, в афелии 2,49•10¹¹ м. Кинетическая энергия, пропорциональная массе планеты и квадрату линейной скорости на орбите (mV²/2), в перигелии составляет 2, 236•10³² джоуля, в афелии 1, 54•10³² джоуля.
Теперь о «мухах». Давайте, говорят нам теоретики, мысленно поместим нашу планету в бесконечно удалённую от Солнца точку и дадим ей возможность свободно падать на Солнце. Через бесконечно большое время, по некой параболической орбите, планета достигнет уровня своей нынешней, эллиптической орбиты.
Подсчитаем, какую скорость или кинетическую энергию в итоге наберёт наше тело, или какую при этом работу совершит над ним сила притяжения Солнца. Подсчитанную таким образом величину энергии, полагая в бесконечно удалённой точке её нулевой, теоретики зачисляют на счёт «потенциальной» энергии планеты, но только со знаком минус, поскольку именно столько энергии планете будет не хватать, чтобы совершить обратный путь, естественно, уже за свой счёт («на своём бензине-керосине»). Вопрос, зачем планете надо было так далеко забираться, а теперь ещё и рассчитывать, как туда снова вернуться, оставим на совести теоретиков. Это их «мухи»!
Тем не менее, давайте не поленимся и посчитаем. Спустившись из бесконечности в точку афелия, планета «потеряет» (счёт идёт в минус!) 3,429•10³² джоуля, а долетев до перигелия будет иметь в минусе уже 4,125•10³² джоуля. Итак, планета оказалась в глубокой «долговой энергетической яме». Однако, кто-то же в результате этого должен оказаться в плюсе?!
А в плюсе – теоретики: сложите приведённые выше величины реальной кинетической энергии планеты с тем, что придумали для неё теоретики под названием «потенциальной энергии», и чудесным образом окажется, что и в афелии, и в перигелии (тот же фокус можно повторить и для любой точки орбиты) суммарная энергия планеты, летящей со второй космической скоростью, будет неизменно равна (впереди знак минус!): –1,889•10³² джоуля. Вот такой получился «объективный» закон сохранения энергии. Вот такое имеется «объективное» подтверждение «замкнутости» системы – планеты, движущейся по эллиптической орбите!
А теперь прикиньте, что нового для решения задачи нам дают вычисленные джоули. Джоуль (энергия) планету в движение не приводит, на это способен только Ньютон (сила). Однако к выяснению силового механизма исследуемого движения энергетические расчёты, лежащие в основе существующего подхода к решению Кеплеровой задачи, нисколько не приближают. В этом отношении  «методологическая надстройка», вырастающая на базе лагранжева формализма, не стоит и выеденного яйца. И суть её ошибочности в данном случае не в том, что гравитационный потенциал, произвольно взятый из решения другой  задачи, не подходит для Кеплеровой задачи (можно было бы подумать, что здесь достаточно ограничиться незначительными корректировками). Нет, всё гораздо хуже. Лагранжев формализм, с его векторно-тензорной основой, в принципе не пригоден для решения задач на вращения, тем более, задач с наложениями вращений друг на друга».

[Петров А. М.]

Пропуская дальнейшие подробности (об этом можно прочитать в статье), кратко прокомментируем ход и результаты решения задачи.
Принимаем за основу уравнение конического сечения: r = p/(1+еcosφ).
Косинус в знаменателе указывает на то, для «гармонизации» этого уравнения надо перейти к координате, обратной расстоянию от точки орбиты до центра притяжения.
Для того, чтобы, при переходе к эллиптическому движению, сохранить равномерность изменения угловой координаты, потребуется ввести обобщённое время τ, равное реальному времени, приведённому к расстоянию от данной точки орбиты до центра притяжения. Тогда уравнение координаты х на комплексной плоскости для исходной круговой орбиты (с нулевым эксцентриситетом е=0, параметром р, равным радиусу круговой орбиты, и величиной V линейной скорости) будет следующим: x = (1/p)exp(iVτ).
Дифференцированием обобщённой координаты х по обобщённому времени τ получаем величины обобщённой линейной скорости v, а  её дифференцированием получаем величину обобщённого ускорения w:
v =(iV/p)exp(iVτ);    w = (–V²/p)exp(iVτ).
Теперь переходим во вращающуюся систему координат, убирая в величинах х, v и w фазовый множитель вращения exp(iVτ). При отличном от нуля эксцентриситете  е  к координате х добавляется вектор смещения центра кривизны от центра притяжения. Из уравнения конического сечения видно, что это смещение вдоль радиуса-вектора точки орбиты изменяется по закону косинуса.
Однако смещение центра кривизны траектории от центра притяжения происходит не только вдоль радиуса-вектора (в чистом виде это наблюдается только в двух вершинах большой оси эллипса), но и перпендикулярно ему. В выбранной нами вращающейся системе координат этот вектор совершает круговое вращение с постоянным радиусом  е/р  в направлении, обратном естественному обращению тела на эллиптической орбите. Таким образом, получаем следующие уравнения для координаты α, скорости β и ускорения γ во вращающейся системе координат: 
α = (1/p) + (е/p)exp(–iVτ),
β =(iV/p) + (iVе/p)exp(–iVτ),
γ = (–V²/p) + (–V²е/p)exp(–iVτ).
Возвращаясь в обычную, не вращающуюся систему координат, получаем величины обобщённой координаты x, обобщённой скорости v и обобщённого ускорения w в виде функций обобщённого времени τ:
x = (1/p)exp(iVτ) + (е/p),
v =(iV/p)exp(iVτ) + (iVе/p),
w = (–V²/p)exp(iVτ) + (–V²е/p).
Важно заметить, что, когда радиус-вектор x описывает окружность кривизны 1/p (или радиуса р), то его смещение за счёт отклонения центра кривизны от центра притяжения сохраняет своё направление вдоль большой оси эллипса и остаётся равным е/р. То же самое происходит (соответственно со сдвигами в пространстве на 90º и 180º) и с величинами скорости v и ускорения w.
Величину е/р можно рассматривать как амплитуду колебаний (отклонений) эллиптической орбиты от круговой. На малом (по космическим масштабам) отрезке времени эту величину можно считать постоянной, т.е. трактовать отклонения эллиптической орбиты от круговой как свободные колебания динамической системы. Однако факт расположения больших осей эллиптических орбит планет солнечной системы перпендикулярно направлению на центр Галактики свидетельствует о крайне медленно происходящем увеличении амплитуды колебаний данных динамических систем в режиме резонанса под  внешним  гравитационным  воздействием.
Обратный пересчёт результатов решения Кеплеровой задачи из обобщённых координат и времени в обычные координаты и время особых трудностей не представляет.

[Вашкевич Виктор]

Чушь все это.
А что говорит ландавшиц про коэффициент к?

[yakiniku]

Анатолий Михайлович, у меня к Вам неожиданный вопрос. Меня подбивают написать статью под условным названием "О воинствующем невежестве" (варианты названия "...мракобесии", "...кретинизме" меня не очень устраивают). Нехитрая мысль, к которой я бы хотел привлечь Ваше внимание, следующая:

"Настоящего ученого, и просто ученого, и даже просто сколь-нибудь любознательно интересующегося наукой дилетанта всегда отличает готовность, желание и стремление расширить свой кругозор чтобы охватить в той или иной степени постоянно расширяющиеся горизонты научного знания. Представители этого, к счастью, многочисленного и постоянно растущего сообщества, могут делать и иногда (к счастью - нечасто) делают ошибки, неправильные или даже нелепые утверждения - тем более вопросы. В очень редких случаях нелепое утверждение (особенно - в Интернет-дискуссиях) может быть сделано даже намеренно - но всегда цель этих работ (даже ошибочных), и дискуссий - это 1. расширить собственное знание, 2. в той степени в какой это возможно расширить знание вообще и 3. способствовать расширению самого сообщества мыслящих людей.

Наоборот, представители воинствующего невежества решают ровно противоположную задачу - а именно, они требуют и добиваются всеми доступными им способами, чтобы горизонты знания были насильственно сужены строго до границ их кругозора. Чтобы непосильные их уму учебники были запрещены. Непосильные им науки - отменены. Целые области непростого и непонятного им научного знания должны быть заменены сделанными ими "простыми и понятными" работами.  Чтобы никто из "студентов физических специальностей" не почерпнул бы, не дай бог, крупиц начного знания от "невежественных и коррумпированных" профессоров. "

Как Вам такая нехитрая мысль? В применении, скажем к Вашим взаимоотношениям с функцией Гамильтона? Мне из Ваших слов как-то очевидно, что Ландау-Лифшица до 40 параграфа Вы не дочитали - но как-то все время Вы фнукцию Гамильтона (о которой Вы не можете знать) осуждаете. 

 

[aid]

> Совершается грубейшая «подгонка» задачи под закон сохранения энергии.

Запомним это.

 Вместо предъявления прямой аналитической зависимости от времени координат, скоростей и ускорений, авторы апеллируют к машинному счёту.

И это запомним.

> Процитирую свой критический текст в одном из предыдущих постов на Форуме.
...А в плюсе – теоретики: сложите приведённые выше величины реальной кинетической энергии планеты с тем, что придумали для неё теоретики под названием «потенциальной энергии», и чудесным образом окажется, что и в афелии, и в перигелии (тот же фокус можно повторить и для любой точки орбиты) суммарная энергия планеты, летящей со второй космической скоростью, будет неизменно равна (впереди знак минус!): –1,889•10³² джоуля. Вот такой получился «объективный» закон сохранения энергии. Вот такое имеется «объективное» подтверждение «замкнутости» системы – планеты, движущейся по эллиптической орбите!

 Никто планету замкнутой системой не считает. Между прочим, для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса, чего, очевидно, нет для планеты. Планету считают телом, движущимся в данном силовом поле.


 > В этом отношении  «методологическая надстройка», вырастающая на базе лагранжева формализма, не стоит и выеденного яйца. И суть её ошибочности в данном случае не в том, что гравитационный потенциал, произвольно взятый из решения другой  задачи, не подходит для Кеплеровой задачи (можно было бы подумать, что здесь достаточно ограничиться незначительными корректировками). Нет, всё гораздо хуже. Лагранжев формализм, с его векторно-тензорной основой, в принципе не пригоден для решения задач на вращения, тем более, задач с наложениями вращений друг на друга».

Еще раз скажу банальную истину - непригодность метода проявляется в неверном решении задачи этим методом. Задача Кеплера решена верно, что подтверждается сотнями лет астрономических наблюдений и десятками лет космических полетов. Так что все это бессмысленная болтовня.

[aid]

> Для того, чтобы, при переходе к эллиптическому движению, сохранить равномерность изменения угловой координаты, потребуется ввести обобщённое время τ, равное реальному времени, приведённому к расстоянию от данной точки орбиты до центра притяжения. Тогда уравнение координаты х на комплексной плоскости для исходной круговой орбиты (с нулевым эксцентриситетом е=0, параметром р, равным радиусу круговой орбиты, и величиной V линейной скорости) будет следующим: x = (1/p)exp(iVτ).

Не понимаю, если у Вас х=1/r, то при круговом движении он не изменяется. Что означает в этом случае exp(iVτ)?

...
> величины обобщённой координаты x, обобщённой скорости v и обобщённого ускорения w в виде функций обобщённого времени τ:
x = (1/p)exp(iVτ) + (е/p),
Обратный пересчёт результатов решения Кеплеровой задачи из обобщённых координат и времени в обычные координаты и время особых трудностей не представляет.

Я Вас и прошу очень давно привести явную аналитическую зависимость расстояния от центра притяжения до материальной точки от времени - в действительной, а не комплексной форме.

Пока подведу итог - делается подгонка под нужный результат - эллипс (почему не овал). Не приведена аналитическая зависимость координат от времени. Используются не имеющие физического смысла комплексные числа.

[Вашкевич Виктор]

    [...........................]

Еще раз скажу банальную истину - непригодность метода проявляется в неверном решении задачи этим методом. Задача Кеплера решена верно, что подтверждается сотнями лет астрономических наблюдений и десятками лет космических полетов. Так что все это бессмысленная болтовня.

Неверно задача Кеплером решена.
Она решена из представлений 17 века, - Кеплер не видел развития Солнечной системы.
А на самом деле планеты Солнечной Системы формируются вблизи Солнца из выброшенного Солнцем
солнечного вещества и по спирали, поочередно, с увеличением массы и размеров по спирали уходят
от Солнца.

[Гришин Станислав Григорьевич]

Петрову А.М.
Мой пост от Сегодня (17.04.011) 19¹¹ забудь.
Нашёл ошибку в своей попытке обобщении системы "пружина-тело"
до более общего случая. Надеялся, что получится, но пока...
Пост этот я стёр. Тем более, что он неоднократно процитирован.

[Петров А. М.]

Оппонент: "Вы утверждаете, что ньютонов подход неверен, что в рамках этого подхода нельзя решить задачу Кеплера".
Ничего подобного. Ньютонов подход (которого я придерживаюсь) основан на прямом составлении силового баланса как дифференциального уравнения движения.
А лагражев формализм рассчитан на то, что можно всех "перехитрить" и, ещё не решая задачи, что-то "угадать" из неких общих (в общем случае крайне примитивных и ошибочных) энергетических соотношений для исследуемой системы.
Как в задаче об осцилляторе, так и в Кеплеровой задаче. В последнем случае, вместо того, чтобы составлять силовой баланс на основе закона всемирного тяготения, откуда-то "из кустов" (по сути, обманным путём) вытаскивается пресловутая "дополнительная потенциальная энергия системы -α/m", якобы способная эквивалентно заменить собой внешнее воздействие. Откуда взялась эта "потенциальная функция"? Естественно, путём интегрирования силы притяжения из закона всемирного притяжения. Но по какому пути можно эту силу интегрировать, если ещё не известно решение задачи (координата в виде функции времени)?
Не испытывая угрызений совести, теоретики интегрируют силу притяжения по тому пути, который доступен "мысленному эксперименту". Совершенная дикость и чушь: из бесконечно удалённой точки (никогда там планета не будет!), за бесконечное время (есть ли в этом хоть доля смысла?), по параболической траектории (а на эллиптическую-то как перейти?)!
Впрочем, чего я хотел от оппонентов? Видимо, поколение этих прочно оболваненных людей должно вымереть естественным путём, после чего теоретическая физика начнёт новую и полнокровную жизнь.

[Петров А. М.]

Противоречит ли концепция открытости (как динамической системы) планеты, движущейся по эллиптической орбите, второму закону Кеплера (закону сохранения момента импульса)? Нет, не противоречит. Обратите внимание: момент импульса учитывает только тангенциальную составляющую линейной скорости движения планеты (перпендикулярную радиус-вектору точки орбиты относительно центра притяжения). А обмен энергии (заимствование, а затем возвращение энергии во внешний, бесконечно большой, источник энергии) осуществляется через радиальную составляющую линейной скорости, во втором законе Кеплера не учитываемую. Так что момент импульса в системе сохраняется, а энергия изменяется.
Догматикам, конечно, до физического смысла задачи дела нет: лишь бы "втиснуть" задачу в свою надуманную формальную схему! А в результате и решения нет. Разве можно назвать решением то, что представлено как таковое в "Механике" Ландау-Лифшица?!

[Михаил Гонца]

Математика есть графическое представление обычных естественных мыслей человека через "иероглифы" латинских и греческих букв     

По пути такой формализации мыслей часто многое существенное теряется, отчего сами формулы уже неточно или даже неправильно отражают исходные мысли.

[Петров А. М.]

Отвечу оппонентам более подробно.
yakiniku.
«Имеется плоскость вращения, в которой введём декартовы координаты y,z, значения которых в каждый момент времени полностью характеризуют движущегося тела, центр координат полагаем в притягивающем центре, расстояние до центра здесь и далее равно корню квадратному из y квадрат плюс z квадрат. Комплексная переменная, плоскость которой совпадает с координатной плоскостью вращения, есть X=y+iz.
Вопрос, который задавался три раза: как Ваша комплескная функция x и Ваша комплексная плоскость определяется в терминах моей комплекной переменной X и моей комплексной плоскости - или как действительная и мнимая часть комплексной функции x (или ее же модуль и аргумент) определяются в терминах y и z?. Например: x=1/X=1/(y+iz)?
Готов поспорить, что Вы на этот вопрос не ответите или ответ не будет совпадать со статьей - комбинация подчёркнутых слов в цитате из Вашего поста грубо противоречива, а в статье плюс к ним есть ещё и конформное отображение».
Отвечаю. Эйлер дал другую форму представления комплексной плоскости, более подходящую для описания вращений. Здесь никаких нелинейных операций, типа извлечения корня квадратного из суммы квадратов координат, нет. Здесь есть только модуль и фазовый множитель комплексного числа. Этот вид представления движения на комплексной плоскости и используется в моей статье.
aid.
«Не понимаю, если у Вас х=1/r, то при круговом движении он не изменяется. Что означает в этом случае exp(iVτ)?...
Никто планету замкнутой системой не считает…
Ещё раз скажу банальную истину - непригодность метода проявляется в неверном решении задачи этим методом. Задача Кеплера решена верно, что подтверждается сотнями лет астрономических наблюдений и десятками лет космических полётов. Так что всё это бессмысленная болтовня.
Я Вас и прошу очень давно привести явную аналитическую зависимость расстояния от центра притяжения до материальной точки от времени - в действительной, а не комплексной форме.
Пока подведу итог - делается подгонка под нужный результат - эллипс (почему не овал). Не приведена аналитическая зависимость координат от времени. Используются не имеющие физического смысла комплексные числа».

[Петров А. М.]

Отвечаю по порядку.
Движение, в котором присутствует вращение, бывает необходимо представить во вращающейся системе координат. И вот одно и то же круговое движение с постоянной кривизной 1/r (радиусом вращения r) имеет два вида представления координаты на комплексной плоскости:
х=(1/r)exp(iVτ) – в обычной (для внешнего наблюдателя – не вращающейся) системе координат;
α=1/r – в системе координат, вращающейся синхронно с исследуемым круговым движением.
По поводу замкнутости или открытости планеты как системы поспорьте с предыдущим моим оппонентом. Он заявлял, что «замкнутее системы не бывает»!
На уровне уравнения конического сечения Кеплерова задача уже давно решена, однако аналитического представления координат как функций времени (и, следовательно, других характеристик движения планеты по эллиптической орбите) до сих пор получено не было (только отсылки к машинному счёту, причём без анализа и раскрытия физического смысла эллиптического движения). Так что со времён Кеплера изменилось только то, вместо ручного счёта ведётся машинный счёт. Не позор ли это для теоретической механики и в целом теоретической физики?
Цепляетесь за прошлое, как дикарь, привыкший обходиться без достижений цивилизации. Не буду мешать Вам пребывать в этом первобытном состоянии «блаженства от ощущения единства с первозданной и неизменной Природой».
Представление вращательного движения на комплексной плоскости – это не блажь аналитика, а требование адекватности представления движения. Если для одномерного движения достаточно алгебры действительных чисел (для этой «алгебры с делением» разработан мощнейший аппарат современного математического анализа), то для двумерного движения, согласно изящным математическим теоремам, доказанным Гурвицем и Фробениусом ещё в ХIХ веке, единственной «алгеброй с векторным делением», способной в полной мере воспользоваться теорией бесконечно малых и другими достижениями современного математического анализа, является алгебра комплексных чисел. В частности, в понятии «мнимой единицы» такое её название имеет сугубо исторический смысл. «Мнимая единица» имеет вполне реальный физический смысл оси вращения, происходящего в комплексной плоскости (кстати, аналитическая зависимость координат от времени у меня в статье приведена).
Ну, а лагранжеву формализму ничего подобного и не снилось! Теперь он объективно становится орудием «научной инквизиции», всеми силами старающейся удержать «власть в науке», даже ценой удержания научной интеллигенции в научном невежестве и принесения человечества в жертву «атомному Молоху» (имеется в виду полное игнорирование реальной возможности заменить атомную энергетику гравитационной и вихревой энергетикой, что обосновывается в моих многочисленных печатных работах и в статьях Научного журнала ЭБФ).
Вашкевич Виктор.
«А что говорит ландавшиц про коэффициент k?».
Говорит, что он равен k=mω².

[aid]

Оппонент: "Вы утверждаете, что ньютонов подход неверен, что в рамках этого подхода нельзя решить задачу Кеплера".
Ничего подобного. Ньютонов подход (которого я придерживаюсь) основан на прямом составлении силового баланса как дифференциального уравнения движения.
А лагражев формализм рассчитан на то, что можно всех "перехитрить" и, ещё не решая задачи, "угадать" из неких общих (в общем случае крайне примитивных и ошибочных) энергетических соотношений для исследуемой системы.
Как в задаче об осцилляторе, так и в Кеплеровой задаче.

Еще раз повторяю банальную истину - ошибочные соотношения дают ошибочные результаты. Где они?

В последнем случае, вместо того, чтобы составлять силовой баланс на основе закона всемирного тяготения, откуда-то "из кустов" (по сути, обманным путём) вытаскивается пресловутая "дополнительная потенциальная энергия системы -α/m", якобы способная эквивалентно заменить собой внешнее воздействие. Откуда взялась эта "потенциальная функция"? Естественно, путём интегрирования силы притяжения из закона всемирного притяжения. Но по какому пути можно эту силу интегрировать, если ещё не известно решение задачи (координата в виде функции времени)?

Да, не даром я говорил - какой смысл обсуждать нестационарную потенциальную функцию, когда Петров не принимает даже стационарную. Строго доказывается, что для потенциальных сил, примером которых и является сила тяготения, изменение потенциальной функции равно работе сил поля для любой траектории. Причем Вы с этим согласны. Вы сами приводите пример, что оно действительно равно! Так где здесь обманный путь? Опять все свелось к "ну не ндравится она мне".

[aid]

> Движение, в котором присутствует вращение, бывает необходимо представить во вращающейся системе координат. И вот одно и то же круговое движение с постоянной кривизной 1/r (радиусом вращения r) имеет два вида представления координаты на комплексной плоскости:
х=(1/r)exp(iVτ) – в обычной (для внешнего наблюдателя – не вращающейся) системе координат;
α=1/r – в системе координат, вращающейся синхронно с исследуемым круговым движением.

Еще раз спрашиваю - какой смысл в exp(iVτ)? В неквантовой физике в таком виде записывают тригонометрические функции, подразумевая, что надо брать только действительную часть. Если здесь взять действительную часть, получим х=(1/r)Cos(Vτ). Откуда косинус, если х - расстояние от центра, которое не меняется? Если у Вас exp(iVτ) имеет другой смысл, то поясняйте.

> По поводу замкнутости или открытости планеты как системы поспорьте с предыдущим моим оппонентом. Он заявлял, что «замкнутее системы не бывает»!


Вы как обычно не поняли оппонента. Замкнутой является система из двух притягивающихся тел. Вообще понятие системы применяется не меньше, чем к двум телам. А если у нас одна материальная точка, то она может быть изолированной или не изолированной.

> «Мнимая единица» имеет вполне реальный физический смысл оси вращения, происходящего в комплексной плоскости

  А сама комплексная плоскость имеет реальный физический смысл? Где я могу увидеть комплексную плоскость? Плоскость моего стола совсем не комплексная.

>
 (кстати, аналитическая зависимость координат от времени у меня в статье приведена).

Может быть Вы не заметили, но я Вас уже много раз просил привести эту зависимость здесь в действительной форме, пояснить величины, в нее входящие. Ну и конечно в этой аналитической зависимости не должно быть r с обеих сторон равенства.
Итак, жду аналитической зависимости, которую Вы провозгласили, но так и не привели.

[Петров А. М.]

аid:
«Ещё раз повторяю банальную истину - ошибочные соотношения дают ошибочные результаты. Где они?
Да, не даром я говорил - какой смысл обсуждать нестационарную потенциальную функцию, когда Петров не принимает даже стационарную. Строго доказывается, что для потенциальных сил, примером которых и является сила тяготения, изменение потенциальной функции равно работе сил поля для любой траектории. Причём Вы с этим согласны. Вы сами приводите пример, что оно действительно равно! Так где здесь обманный путь? Опять всё свелось к "ну не ндравится она мне".
Ещё раз спрашиваю - какой смысл в exp(iVτ)?
А сама комплексная плоскость имеет реальный физический смысл? Где я могу увидеть комплексную плоскость? Плоскость моего стола совсем не комплексная («кстати, аналитическая зависимость координат от времени у меня в статье приведена»).
Может быть, Вы не заметили, но я Вас уже много раз просил привести эту зависимость здесь в действительной форме, пояснить величины, в неё входящие. Ну и, конечно, в этой аналитической зависимости не должно быть r с обеих сторон равенства.
Итак, жду аналитической зависимости, которую Вы провозгласили, но так и не привели».
Отвечаю.
Начну с единичного (по модулю) вектора - фазового множителя вращения на комплексной плоскости:  exp(iVτ)=cos(Vτ)+i sin(Vτ).
Вам эта формула Эйлера не нравится? Вы хотите, чтобы мнимую ось ординат я заменил на вещественную, т.е. с комплексной перешёл на действительную плоскость? Но это будет означать отказ от алгебры с делением (и отказ от полноценных операций дифференцирования-интегрирования) в пользу векторно-тензорного исчисления с его нелинейными операциями суммирования частных производных по правилу параллелограмма и другими неприемлемыми для решения наших задач вещами.
Укажем только на одну такую «крайне неприятную вещь». Если операции дифференцирования-интегрирования в алгебре с делением сохраняют объект, с которым оперируют, в исходном пространстве (в одномерном случае – в пространстве действительных чисел, в двумерном случае – в пространстве комплексных чисел), то в векторно-тензорном исчислении операции дифференцирования становятся ковариантными (не зависящими от выбора системы координат), зато «платой» за это является отсутствие для этих операций обратных операций интегрирования и, к тому же, несохранение исходного пространства. Скажем, если мы дифференцируем вектор, то в результате этой операции получаем тензор первого ранга, называемый не производной, а 1-дифференцальной формой. И какое бы векторное пространство мы ни заложили в исходные условия задачи (векторное пространство координат, векторное пространство скоростей, векторное пространство ускорений и т.д.), первая же операция дифференцирования превращает его в тензорное пространство, а каждая последующая такая же операция повышает ранг тензора. Ну, а теоретики, думая, что никто не заметит их жульничества, продолжают называть 1-, 2- и т.д. дифференциальные формы «векторами».
Нет уж, и не просите: мы по этому пути не пойдём! А если хотите разобраться в существе Кеплеровой задачи, то осваивайте комплексную форму записи её решения.
Теперь о «потенциальной функции U=–α/m» в Кеплеровой задаче. Это – чистейшей воды фикция как с физической, так и с математической точки зрения. С физической точки зрения мы уже достаточно подробно рассмотрели тот вздор, который положен в основу этой функции (более издевательского и бессмысленного выбора пути интегрирования для силы из закона всемирного тяготения было бы трудно придумать: из бесконечно удалённой точки, за бесконечно большое время, по параболической траектории, естественный переход с которой на реальную эллиптическую орбиту не возможен!).

[Петров А. М.]

А вот и математическое подтверждение несуразности этой выдумки теоретиков, имеющееся в моей статье ЭБФ, но я его приведу здесь.
«Возьмём частный случай эллиптического движения – кругового, заданного параметрически: x = r cos ωt, y = r sin ωt, где ω – угловая скорость. Полагаем, что некое массивное тело поддерживает данный режим движения малого небесного тела силой гравитации, описываемой уравнениями:
d²x/dt² = –rω² cos ωt, d²y/dt² = –rω² sin ωt.
Ясно, что для самогó вращающегося тела внешнее воздействие тоже становится вращающимся. Так, во вращающейся синхронно с телом системе координат само тело неподвижно, а внешняя сила гравитации совершает обратное вращение. Посмотрим, можно ли для небесного тела, находящегося на круговой орбите под действием гравитационного силы F(t)=α/r², ввести некую потенциальную функцию U(r). Чтобы такую функцию можно было ввести, силовая функция
(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy
должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:
d(–rω² cos ωt)/dy ≡ d(–rω² sin ωt)/dx  или  ω² tg ωt ≡ ω² ctg ωt.
Но легко заметить, что указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением (обращением вокруг массивного тела) малое небесное тело превращает (естественно, только для себя) внешнее гравитационное поле в непотенциальное (вихревое). И это становится ещё одним подтверждением того, что введение потенциальной энергии U=–α/r, взятой из другой задачи, в исходные условия для Кеплеровой задачи, неправомерно. Факт непотенциальности внешнего гравитационного поля для тела на круговой орбите нами установлен с применением аппарата частных производных, т.е. средствами, входящими в состав векторно-тензорного инструментария. Но можно ли с помощью того же аппарата получить какие-либо дополнительные сведения о становящихся вихревыми гравитационных полях?
К сожалению, ни для какого дальнейшего оперирования с вихревыми полями, кроме констатации их вихревого характера, векторно-тензорный аппарат изначально не приспособлен, хотя он и применяется, например, в электродинамике (на наш взгляд, нанося этому разделу теоретической физики больше вреда, чем пользы). По большому счёту, для адекватного описания движений, связанных с вращениями, необходим более совершенный аппарат алгебр с векторным делением…».
Подводя итог, скажем, что в гипотезе о потенциальности гравитационных полей предполагается перемещение тела в этом поле с некой «теоретически нулевой» тангенциальной скоростью. Вот тогда работа силы  тяготения на любой замкнутой траектории, действительно, оказывается равной нулю. Но к Кеплеровой задаче эта гипотеза не применима.

[aid]

  exp(iVτ)=cos(Vτ)+i sin(Vτ).
Вам эта формула Эйлера не нравится? Вы хотите, чтобы мнимую ось ординат я заменил на вещественную, т.е. с комплексной перешёл на действительную плоскость? Но это будет означать отказ от алгебры с делением (и отказ от полноценных операций дифференцирования-интегрирования) в пользу векторно-тензорного исчисления с его нелинейными операциями суммирования частных производных по правилу параллелограмма и другими неприемлемыми для решения наших задач вещами.

  exp(iVτ)=cos(Vτ)+i sin(Vτ). Эта формула мне нравится. Заметьте, что я, в отличие от Вас, даже не придираюсь к способу решения (а если и придираюсь то только для того, чтобы спародировать Ваше поведение), я прошу только одно - запишите конечный результат в нормальной действительной форме. Итак - где аналитическая зависимость r(t) в действительной форме?

Почему этот элементарный вопрос приходится повторять по десять раз?

[aid]

Подводя итог, скажем, что в гипотезе о потенциальности гравитационных полей предполагается перемещение тела в этом поле с некой «теоретически нулевой» тангенциальной скоростью.

Это ложь. Гипотеза о потенциальности гравитационных сил проверяется элементарно - F=-gradU. Это равенство выполняется, значит, по определению гравитационные силы потенциальны. Более того - Вы сам утверждаете, что они потенциальны, приведя сохранение энергии.