О формализме Лагранжа

[Herodotus]

Нет. Отказаться от представления эллиптического движения на действительной декартовой плоскости пришлось по принципиально важным соображениям. Дело в том, что вслед за этим нам пришлось бы использовать проекции динамических характеристик на действительные оси координат, а, значит, и векторно-тензорный аппарат частных производных, заведомо не адекватный для описания вращений.

Извините, это враньё. Кроме того, это безграмотное враньё, поскольку нет такой штуки, как "векторно-тензорный аппарат частных производных". Есть тензорное исчисление, которое является разделом дифференциальной геометрии, и которое прекрасно описывает вращения (и очень много чего ещё).

Единственным адекватным аппаратом для описания вращений в двумерном пространстве, т.е. на плоскости (и математиками это строго доказано),  является алгебра комплексных чисел.

Извините, это тоже враньё. И ссылочку на "математиков", будьте добры.

[Петров А. М.]

Я, кажется, достаточно подробно и ясно излагаю свою позицию, цель и результаты выполненной мною работы. Буду и дальше это делать, коль будут вопросы, заслуживающие ответа.
Не знаю, нужны ли пояснения к элементарному преобразованию фазы кругового или эллиптического движения:
φ=ωt=(V/r)t=V(t/r)=Vτ.
Тем не менее, то, что из него умудрился состряпать оппонент, - уму непостижимо!
Кратко о смысле этого преобразования. При равномерном круговом движении аргументом гармонической функции обычно выступает выражение ωt, т.е. произведение постоянной угловой скорости на величину текущего времени. При эллиптическом движении под ω понималась бы мгновенная угловая скорость, изменяющаяся во времени, что представляло бы определённое неудобство для аналитика.
Поэтому и был совершён переход к обобщённому времени, при котором постоянной константой "служит" линейная скорость движения на исходной круговой орбите.
Странно, что, критикуя работы автора, оппонент обходит молчанием ошибки Ландау, не будь которых, не было бы необходимости и в этих работах автора.

[yakiniku]

Не знаю, нужны ли пояснения к элементарному преобразованию фазы кругового или эллиптического движения:
φ=V(t/r).

Нет, никакие пояснения не нужны, всем, кроме Вас, давно все ясно. При этом "элементарном преобразовании" t=ф*r/V  и при r=p/(1+e cos ф) имеем:
================
r=p/(1+e cos ф)
t=(ф/V)*p/(1+e cos ф)
================
При V=2\pi, p=1 (так выбраны единицы времени и длины) и e=0.99 (как для кометы) для фаз вращения (значений полярных углов)
ф= 0,  \pi ,  2\pi (перигелий, афелий, перигелий) получаем соответствующие этим фазам значения времени:
t = 0,  50,    0.5  (то есть почти сразу за моментом афелия время начинает идти вспять).
================
Моимент импульса равен:
m*r*r*(1/ (dt/dф) )=mVp/(1+e cos ф +e ф sin ф)
То есть момент не сохраняется, обращается в бесконечность почти сразу за точкой афелия, затем меняет знак.
================
Не нужно пояснений: ярко выраженный абсурд. Кстати, не сделаете ли Вы нам всем одолжение, перестав нести словесную пургу и взглянув, наконец, на абсурдные формулы, которые Вы наваяли?
================
Фтопку! (Паёт: "Бьётся в тесной печурке Петров..." )

[aid]

aid:
«Ну так интегрируйте по реальному пути движения. Получите, что изменение величины -а/r с обратным знаком равно работе сил тяготения при перемещении тела».
> Если интегрировать силу (из закона всемирного тяготения) а/r² по dr, то действительно получается функция –а/r, в которую затем подставляют пределы интегрирования (если за верхний предел взять ∞, то получится пресловутый «нулевой потенциал»).
Однако, для получения физически реальной величины работы внешней силы,  интегрировать надо не по радиальному направлению (к Кеплеровой задаче не имеющему отношения), а по касательной к траектории. Но тогда и вид функции, и пределы  интегрирования, и конечный результат – всё будет иным.

По-видимому, Вы и определение работы не знаете. Элементарная работа равна скалярному произведению силы на векторdr. Если Вы распишете это скалярное произведение, то получите dA=F_rdr+F_phir*dphi.  F_r=-a/r^2, F_phi=0.
Или как Вы предлагаете dA=F_tauds, F_tau - проекция   F на касательную к траектории. Она равна  Fcos(F,ds)
dA=Fdscos(F,ds)=-Fdscos(r,ds)=-Fdr.
Я, конечно понимаю, что сейчас Вы заявите, что скалярное произведение - это тоже некорректная математически процедура, или что-то в этом роде ?

> «Сударь Петров, в шестнадцатый раз прошу - приведите решение (конечный результат) задачи Кеплера. Если его у Вас нет, зачем лгали, что оно у Вас приведено в статье? У ЛЛ вот решение есть - ф. 15.10. Где Ваше решение, которое можно проверить на правильность?».
У Ландау-Лифшица формула (15.10) основывается на интеграле (14.6), якобы определяющем время t как функцию от r. Посмотрите на этот интеграл (14.6) повнимательней. Может быть, что-то вам поможет понять и комментарий к нему Дмитрия Пономарёва, приведённый в предыдущем моём посте. Большего позора для теоретической физики, чем этот интеграл, выдаваемый за решение Кеплеровой задачи, я себе представить не могу.


Пономарев - еще более сумасшедший, чем Вы. Впрочем, Вы искренний сумасшедший, а он - профессиональный жулик. Я уже его наслушался в свое время. Предпочитаю читать грамотных механиков. И не переводите стрелки. Дайте свое решение.


> Если оппоненту по каким-то причинам настоятельно необходимо вернуться от приведённых в статье трёх двумерных комплексных выражений (для обобщённых координат, скоростей и ускорений как функций обобщённого времени) к одномерному действительному представлению (видимо, ничего иного оппонент просто не признаёт), то ему придётся довольствоваться  исходным  уравнением конического сечения.

Т.е. решения у Вас нет? Так прямо и скажите "Я, Анатолий Петров, не могу представить зависимость r(t) ни в аналитической форме, ни в параметрической" - и закончим эту дискуссию в связи с Вашим полным провалом.

[aid]

Я, кажется, достаточно подробно и ясно излагаю свою позицию, цель и результаты выполненной мною работы. Буду и дальше это делать, коль будут вопросы, заслуживающие ответа.

Т.е. вопрос человеку, который заявил, что не много не мало - нашел аналитическое решение задачи Кеплера r(t) - привести это решение - это вопрос, не заслуживающий ответа ?

[yakiniku]

Т.е. решения у Вас нет? Так прямо и скажите "Я, Анатолий Петров, не могу представить зависимость r(t) ни в аналитической форме, ни в параметрической" - и закончим эту дискуссию в связи с Вашим полным провалом.

Петров-то не может, но в параметрической, и притом шизофренической, форме эта зависимость выписана в моем посте. r(ф) имеется (коническое сечение) а приведенная Петровым второпях избретенная зависимость  ф(t,r) может быть параметризована как зависимость t(ф), притом абсурдная.

Так что это полный провал, помноженный на неспособность к алгебраическим выкладкам, плюс попутный закидон с теоремой косинусов, которая, мол, "где-то верна, но не до такой же степени".
==============
Напоминаю, что в разное время на просьбу дать зависимость r(t) топикстартер давал следуюшие ответы:
1. r=1/x, x=(1/p)exp(iVт) +e/p, т=t/r  (r-комплексное, выражение для х(т) дано в статье в ЭБФ)
2. 1/r=abs( (1/p)exp(iVт) +e/p ) (модуль комплексного икс)
3. 1/r=(1/p)cos(Vт) +e/p          (действительная часть комплексного икс, правая часть может обращаться в ноль и быть отрицательной)
4. 1/r=(1/p)+cos(Vт)*e/p, т=t/r (начиная с этого момента, ответы Автора на вопрос о зависимости r(t) утратили всякую связь с приведенным им в статье финальным выражением для х(т)  ).
5. p/r=1 + e cos (ф), ф=Vt/r - полярный угол.  
==============    
Причем после каждого из этих ответов примерно в десяти последующих постах топикстартера убеждали в их абсурдности.

[Петров А. М.]

Я понимаю, что «дежурные оппоненты» на Форумах присутствуют не для выяснения истины, и в какой-то степени им бывает даже тяжелее, чем авторам обсуждаемых работ (ни тебе творческого азарта, ни морального удовлетворения). Но на соблюдение хотя бы минимума приличий по отношению к себе авторы всё же вправе рассчитывать. А то: не сообразив своей головой и не сделав собственными руками ничего путного, достойного быть показанным публике, раздавать налево-направо «этого не знаете», «того не понимаете»…
И это что: «фирменный знак» нынешней высшей школы – постоянно апеллировать к формальным схемам и правилам как к некой «высшей инстанции»? Я говорю: для определения величины работы надо интегрировать силу по пути реального, а не выдуманного пути движения системы. Предельно ясно. Никаких бесконечно удалённых точек в Кеплеровой задаче. И никакого интегрирования силы притяжения по направлению к центру или от центра кривизны, а только и исключительно по направлению касательной к траектории. Вот тогда и будет полное соответствие величины работы с величиной пополняемой (или теряемой) энергии системы. Ну, разберись хоть в этом простом вопросе, оппонент! При таком подходе интегрирование силы притяжения α/r² не приводит к потенциальной функции вида –α/r. Зависимость получается более сложного вида. И в том, что лагранжев формализм этого не учитывает, состоит его коренной и принципиально не устранимый порок. Именно в этом заключена квинт-эссенция нашего долгого спора с оппонентами.
А что я слышу в ответ?  «По-видимому, Вы и определение работы не знаете. Элементарная работа равна скалярному произведению силы на вектор dr...», ну и т.д. и т.п. Подробно расписывается правило векторной алгебры, которое в контексте нашего разговора уже совершенно «ни к селу, ни к городу». Ведь вектора dr (направленного вдоль силы притяжения) как такового у нас уже нет; в Кеплеровой задаче он чётко раскладывается на две составляющие: вдоль касательной к траектории и вдоль направления на центр кривизны. Вдоль последнего направления движения нет, значит, скалярное произведение силы притяжения на это направление (и, соответственно, работа этой части силы притяжения) будет равняться нулю. Физический смысл этого процесса предельно ясен. Но это-то и не устраивает оппонента. Ему бы «водичку помутнее», там можно и лагранжевым формализмом прикрыться. Всё это называется предельной деградацией науки!
А Дмитрий Пономарёв – умница! Уловил главное и «врезал» Ландавшицу за халтурно выполненную работу! Ничего: «крот истории роет», и время Большой ревизии рано или поздно придёт!
Ну, а что касается моей работы? Ваш «неуд» висел в воздухе с самого начала дискуссии, и было бы странно ожидать другого. Да он для меня и неважен. Тем не менее, примите и от меня встречный "неуд" за неквалифицированную работу в качестве оппонента.
Однако, не пора ли остановиться, или так и будем продолжать «толочь воду в ступе»? А, может быть, перейдём к честному состязанию представляемых нами методологий  в решении принципиально новой (чтобы не откуда было списать ответ!) задачи об эффекте Джанибекова?

[Herodotus]

Я говорю: для определения величины работы надо интегрировать силу по пути реального, а не выдуманного пути движения системы. Предельно ясно. Никаких бесконечно удалённых точек в Кеплеровой задаче. И никакого интегрирования силы притяжения по направлению к центру или от центра кривизны, а только и исключительно по направлению касательной к траектории. Вот тогда и будет полное соответствие величины работы с величиной пополняемой (или теряемой) энергии системы. Ну, разберись хоть в этом простом вопросе, оппонент! При таком подходе интегрирование силы притяжения α/r² не приводит к потенциальной функции вида –α/r.

Врёте. Приводит.

Зависимость получается более сложного вида. И в том, что лагранжев формализм этого не учитывает, состоит его коренной и принципиально не устранимый порок. Именно в этом заключена квинт-эссенция нашего долгого спора с оппонентами.

Снова врёте. Квинтессенция заключена в том, что вы либо не в состоянии, либо не желаете понять вполне элементарных и вначале весьма дружелюбных объяснений, где и как именно вы нахомутали.

Ведь вектора dr (направленного вдоль силы притяжения) как такового у нас уже нет; в Кеплеровой задаче он чётко раскладывается на две составляющие: вдоль касательной к траектории и вдоль направления на центр кривизны. Вдоль последнего направления движения нет, значит, скалярное произведение силы притяжения на это направление (и, соответственно, работа этой части силы притяжения) будет равняться нулю. Физический смысл этого процесса предельно ясен. Но это-то и не устраивает оппонента. Ему бы «водичку помутнее», там можно и лагранжевым формализмом прикрыться. Всё это называется предельной деградацией науки!

Снова либо убого врёте, либо столь же убого ничего не понимаете в том, что взялись критиковать. Сила притяжения в каждой точке траектории направлена не к центру кривизны траектории, а к притягивающему центру (к Солнцу, например). Касательный вектор к траектории, соответственно, имеет составляющую в направлении на притягивающий центр, которая и даст ненулевой вклад в работу силы тяготения.

Судя по тому, что вы путаете касательный вектор к траектории с тангенциальной компонентой вектора в полярных координатах, единственный случай, который вы вообще были в состоянии рассмотреть - это круговая траектория. Примите мои соболезнования.

[yakiniku]

Я понимаю, что «дежурные оппоненты» на Форумах присутствуют не для выяснения истины, и в какой-то степени им бывает даже тяжелее, чем авторам обсуждаемых работ (ни тебе творческого азарта, ни морального удовлетворения). Но на соблюдение хотя бы минимума приличий по отношению к себе авторы всё же вправе рассчитывать. А то: не сообразив своей головой и не сделав собственными руками ничего путного, достойного быть показанным публике, раздавать налево-направо «этого не знаете», «того не понимаете»…

Вы не обратили внимание, что в двух Обсуждениях к Вашим работам правильно решены хотя и несложные, сами по себе, но все же куда более сложные задачи, чем те, что Вы неправильно решили в Ваших статьях в Нучном журнале? Например, выведены законы сохранения энергии (кинетической в сумме с потенциальной) и момента импульса в Вашей любимой "алгебре с делением на плоскости" (в то время как Вы продолжаете утверждать, что если использовать алгебру с делением на плоскости, то выражение для потенциальной энергии становится то ли неправильным, то ли ненужным). Или доказана минимальность действия в задаче об осцилляторе и выведено, при каком ограничении на интервал времени эта минимальность имеет место? Поэтому пассаж насчет того, кто "не сообразил ничего своей головой и не сделал своими руками ничего путного" относится только, всецело и исключительно к Вам. Кстати, где Ваше обещанное доказательство не-минимальности действия и где тот эксперт, который подтвердил его правильность?  

При этом то, что Вы «этого не знаете», «того не понимаете», писалось Вам всегда и строго после того, как "то" и "это" показывалось Вам несколько раз, с разных сторон, объяснялось Вам в разных терминах, на возможно более простом уровне.  И прискорбный вывод о том, что Вы не дочитали никакую книгу по механике до главы о функции Гамильтона и при этом в ста постах нагло рассуждаете, является ли она рыбой или мясом, делался только тогда когда терпеть такое становилось затруднительным.

И невзирая на это, Вы беспрерывно, просто не останавливаясь ни на секунду, через слово обвиняете всех присутствующих в том, что они являются "дежурными оппонентами", "провокаторами Садовничего" и несете эту дурь, не просыхая. Как научный оппонент Вы, я думаю, вообще никакого интереса не представляете, и любопытны только как один из самых ярких представителей воинствующего невежества.

И это что: «фирменный знак» нынешней высшей школы – постоянно апеллировать к формальным схемам и правилам как к некой «высшей инстанции»?

Зачем было ставить тему о формализме Лагранжа при таком отношении к формализму?

Однако, не пора ли остановиться, или так и будем продолжать «толочь воду в ступе»?

А что Вы нас спрашиваете - Вы же топикстартер. Напишете прямым текстом - мы, дескать, провокаторы, и на наши вопросы по Вашим работам - а уж тем более на мои утверждения, что работы Ваши неверны от начала до конца - Вам наплевать. Тем более, что почти прямым текстом Вы это и написали. И - вперед, про что угодно, хотите про задачу Джанибекова, хотите про эффект Джозефсона. Может кто-нибудь и останется.

[aid]

> Ведь вектора dr (направленного вдоль силы притяжения) как такового у нас уже нет; в Кеплеровой задаче он чётко раскладывается на две составляющие: вдоль касательной к траектории и вдоль направления на центр кривизны. Вдоль последнего направления движения нет, значит, скалярное произведение силы притяжения на это направление (и, соответственно, работа этой части силы притяжения) будет равняться нулю.


Ну так бы и сказали, что рассматриваете только круговое движение ? Тогда действительно работа силы тяжести равна нулю. А при эллиптическом движении составляющая силы тяготения на радиус-вектор есть


> А, может быть, перейдём к честному состязанию представляемых нами методологий  в решении принципиально новой (чтобы не откуда было списать ответ!) задачи об эффекте Джанибекова?

Вы не допущены к состязанию, т.к. не доказали свою способность решать задачи на примере задачи Кеплера.

[Петров А. М.]

aid: "Ну так бы и сказали, что рассматриваете только круговое движение.  Тогда действительно работа силы тяжести равна нулю. А при эллиптическом движении составляющая силы тяготения на радиус-вектор есть".
Опять  недоговорённость. При эллиптическом движении нет прямого движения к центру или от центра притяжения, движение идёт по касательной к траектории в каждой точке орбиты. Не надо быть большим математиком для того, чтобы понять, что интеграл от а/r² не по dr, а по эллиптической кривой, даст в итоге отнюдь не функцию –а/r, которую лагранжев формализм "угадал" (позаимствовав из другой задачи, с "мысленным экспериментом" из числа тех, какими теоретическая физика за прошедшие сто лет уже "сыта по горло"!).
А от честного соперничества в решении новой задачи увиливаете?

[aid]

> При эллиптическом движении нет прямого движения к центру или от центра притяжения, движение идёт по касательной к траектории в каждой точке орбиты.

Это верно.

> Не надо быть большим математиком для того, чтобы понять, что интеграл от а/r² не по dr, а по эллиптической кривой, даст в итоге отнюдь не функцию –а/r

Для этого надо быть не большим математиком, а хреновым математиком, т.к. это неверно. Я же Вам привел математическое доказательство того, что он даст именно изменение величины а/r.

> которую лагранжев формализм "угадал"

Еще раз - если бы угадывал, то не получаплось бы сохранения суммы T+U.

> А от честного соперничества в решении новой задачи увиливаете?

Объясните, какой смысл? Вы же не можете решать даже элементарных задач - у Вас интеграл по эллиптической траектории от силы тяжести не дает изменение потенциальной энергии. Думаю, на этом можно пока остановиться. С каждым днем Вы все больше поражаете своей неграмотностью. Пока не возьмете правильно интеграл - нет смысла идти дальше.

[Петров А. М.]

Чтобы наши рассуждения не выглядели пустыми абстракциями, привяжем их к тому конкретному расчёту, который уже приводился мною в одном из постов.
Возьмём движение небесного тела по круговой орбите радиусом р (это будет также параметр будущей эллиптической орбиты) под действием силы гравитации, равной α/r² (величину массы примем равной единице). Из равенства центробежной силы и силы гравитации V²/р=α/р² найдём величину кинетической энергии тела Е=V²/2=α/2р.
Если я правильно понял, вы уже согласились признать потенциальную энергию этого движения равной нулю? Или нет? Ведь сила притяжения здесь никакой работы не выполняет и в ближайшие миллионы лет («по условию задачи») выполнять не будет.
Или хотите, в качестве некой «условной потенциальной энергии», что-то добавить? Если вы с Ландау заодно, то придётся не добавлять, а … отнимать! И ни много, ни мало, а –α/р. Ничего себе «энергия»! В сумме с реальной кинетической энергией получается –α/2р (гигантская «долговая энергетическая яма»; хочется спросить: за что?!).
А теперь изменим условие задачи, и пусть то же тело движется по эллиптической орбите с параметром р и эксцентриситетом е. Какова будет энергия этого движения? Для большей наглядности (и упрощения расчётов) примем эксцентриситет равным ½.
Тогда расстояние до центра притяжения в перицентре орбиты будет равно р/(1+е)=2р/3, а в апоцентре р/(1–е)=2р. В этих точках орбиты радиус кривизны равен параметру р. Из баланса силы гравитации и центробежной силы находим величины кинетической энергии в этих точках орбиты: Vmax²/2=9α/8р; Vmin²/2=α/8р.
Как видим, в перицентре орбиты кинетическая энергия больше, чем на исходной круговой орбите, на величину 5α/8р. А в апоцентре она меньше на 3α/8р. Однако момент импульса не только в этих, но и в любых других точках орбиты остаётся неизменно равным √αр (как видим, Кеплер, в отличие от Ландау, не обманул!).
На этом бы и остановиться, «не притягивая за уши» закон сохранения энергии внутри системы: ведь система открытая, совершающая энергообмен с внешним, «бесконечно большим», источником (гравитационной силы и энергии). С приближением к центру притяжения тело заимствует извне дополнительную энергию, а удаляясь – возвращает.
Интегрируя силу притяжения строго по направлению касательной к траектории, мы получаем указанные выше величины кинетической энергии, которые в точности соответствуют величинам линейных скоростей, отвечающих второму закону Кеплера.
А теперь проведём интегрирование так, как если бы тело перемещалось только вдоль радиуса-вектора. Интегрируем силу по радиальному направлению сначала в пределах от р до 2р/3, затем от р до 2р:
U1= ∫(α/r²)dr=α/р–3α/2р=–α/2р, U2=α/р–α/2р=α/2р.
Прошу понять меня правильно: я не утверждаю, что так интегрировать нельзя, или что в этом нет своей логики. Логика есть, только надо добираться до её физического смысла. И уж, во всяком случае, не выходить за пределы реальных границ орбиты. Но тут-то и возникает не преодолимый для лагранжева формализма "замкнутый круг": границы орбиты станут известны лишь в результате решения Кеплеровой задачи, а как без них составлять уравнение движения? Вот и приходится устанавливать нулевой потенциал в бесконечно удалённой точке, «подгоняя» условия задачи под закон сохранения энергии (и, по сути, подменяя открытую систему замкнутой).

[aid]

> Интегрируя силу притяжения строго по направлению касательной к траектории, мы получаем указанные выше величины кинетической энергии, которые в точности соответствуют величинам линейных скоростей, отвечающих второму закону Кеплера.

Ну вот - так какого рожна Вы утверждаете, что работа силы тяжести не равна изменению потенциальной энергии?


> А теперь проведём интегрирование так, как если бы тело перемещалось только вдоль радиуса-вектора. Интегрируем силу по радиальному направлению сначала в пределах от р до 2р/3, затем от р до 2р:
U1= ∫(α/r²)dr=α/р–3α/2р=–α/2р, U2=α/р–α/2р=α/2р.
Прошу понять меня правильно

Тут правильно понять невозможно - что это Вы такое делаете? ?

[aid]

Или хотите, в качестве некой «условной потенциальной энергии», что-то добавить? Если вы с Ландау заодно, то придётся не добавлять, а … отнимать! И ни много, ни мало, а –α/р. Ничего себе «энергия»! В сумме с реальной кинетической энергией получается –α/2р (гигантская «долговая энергетическая яма»; хочется спросить: за что?!).

Уже объясняли. Попробуйте посчитать, какую работу надо совершить, чтобы увести тело с орбиты на сколь угодно большое расстояние, на котором можно пренебречь взаимодействием с силовым центром. Неужто не α/р?

[Петров А. М.]

aid:
Цитата: Петров А. М. от 23 Апреля 2011.
Или хотите, в качестве некой «условной потенциальной энергии», что-то добавить? Если вы с Ландау заодно, то придётся не добавлять, а … отнимать! И ни много, ни мало, а –α/р. Ничего себе «энергия»! В сумме с реальной кинетической энергией получается –α/2р (гигантская «долговая энергетическая яма»; хочется спросить: за что?!).

«Уже объясняли. Попробуйте посчитать, какую работу надо совершить, чтобы увести тело с орбиты на сколь угодно большое расстояние, на котором можно пренебречь взаимодействием с силовым центром. Неужто не α/р?».

Отвечаю. Действительно, чтобы увести тело с орбиты на сколь угодно большое расстояние, надо совершить работу, равную α/р. Но почему мы должны принять эту величину за «потенциальную энергию» (со знаком минус) небесного тела на круговой орбите, которое ни в какие бесконечно удалённые точки отправляться не собирается и не располагает для этого никакими ресурсами. А если это искусственный спутник Земли, то ему только одна дорога – обратно на поверхность Земли, но для этого нужна совсем другая (по величине и знаку) энергия.
Собственно говоря, я получил чёткий ответ на заданный вопрос, требовавший сделать выбор: 1) признать единственно реальной энергией небесного тела на круговой орбите (если собственным вращением тела вокруг своей оси пренебречь) кинетическую энергию Е=V²/2=α/2р; 2) добавить (также вполне реальную, например, если стоит задача посадки спутника на Землю) потенциальную энергию с учётом высоты круговой орбиты над поверхностью притягивающего тела; 3) «заодно с Ландау» отнять от реальной величины энергии «мнимую» величину –α/р с целью «подгонки» движения под закон сохранения энергии (хорош «закон», если его видно только в «кривом зеркале», да ещё если «косо посмотреть» на эти совершенно «дикие» интегралы, якобы дающие решение задачи!).
Последний случай фактически означает подмену (реальной) открытой динамической системы, совершающей внешний энергообмен, (выдуманной) замкнутой системой, адекватной лагранжеву формализму.
Цитата Петрова А.М.:
«Интегрируя силу притяжения строго по направлению касательной к траектории, мы получаем указанные выше величины кинетической энергии, которые в точности соответствуют величинам линейных скоростей, отвечающих второму закону Кеплера».
Ну вот - так какого рожна Вы утверждаете, что работа силы тяжести не равна изменению потенциальной энергии?

Отвечаю. Я утверждаю, что разные пути интегрирования приводят к разным результатам.  Посмотрите, какие величины работы, энергии и линейных скоростей даёт интегрирование по касательной к орбите для различных расстояний от центра притяжения (в полном соответствии со вторым законом Кеплера):
!) расстояние 2р/3; кинетическая энергия 9α/8р;  линейная скорость (3/2)√(α/р), момент импульса √αр;
2) расстояние р; кинетическая энергия α/2р;  линейная скорость √(α/р), момент импульса √αр;
3) расстояние 2р; кинетическая энергия α/8р; линейная скорость(1/2)√(α/р), момент импульса √αр;
Цитата Петрова А.М.:
«А теперь проведём интегрирование так, как если бы тело перемещалось только вдоль радиуса-вектора. Интегрируем силу по радиальному направлению сначала в пределах от р до 2р/3, затем от р до 2р:
U1= ∫(α/r²)dr=α/р–3α/2р=–α/2р, U2=α/р–α/2р=α/2р.
Прошу понять меня правильно».
Тут правильно понять невозможно - что это Вы такое делаете?

Отвечаю. Если взять за исходную величину энергии тела в самой удалённой точке  α/8р, то проведённое нами интегрирование силы притяжения вдоль радиуса-вектора показывает, что к моменту достижения расстояния, равного р, кинетическая энергия тела достигнет величины  α/8р+α/2р=5α/8р, а на минимальном расстоянии (в перицентре) увеличится ещё на столько же 5α/8р+α/2р=9α/8р.
Расхождения в цифрах вполне естественные и легко объяснимые, но для этого надо разбираться в физическом смысле процесса, а не пытаться «подогнать» его под надуманную формальную схему.

[aid]

> Отвечаю. Действительно, чтобы увести тело с орбиты на сколь угодно большое расстояние, надо совершить работу, равную α/р. Но почему мы должны принять эту величину за «потенциальную энергию» (со знаком минус) небесного тела на круговой орбите, которое ни в какие бесконечно удалённые точки отправляться не собирается и не располагает для этого никакими ресурсами.

Отвечаю. По определению потенциальной энергии. И не должны, а можем принять. И это самый удобный выбор.



 
Цитата Петрова А.М.:
«Интегрируя силу притяжения строго по направлению касательной к траектории, мы получаем указанные выше величины кинетической энергии, которые в точности соответствуют величинам линейных скоростей, отвечающих второму закону Кеплера».
Ну вот - так какого рожна Вы утверждаете, что работа силы тяжести не равна изменению потенциальной энергии?

>!) расстояние 2р/3; кинетическая энергия 9α/8р;  линейная скорость (3/2)√(α/р), момент импульса √αр;
2) расстояние р; кинетическая энергия α/2р;  линейная скорость √(α/р), момент импульса √αр;
3) расстояние 2р; кинетическая энергия α/8р; линейная скорость(1/2)√(α/р), момент импульса √αр;
> Отвечаю. Если взять за исходную величину энергии тела в самой удалённой точке  α/8р, то проведённое нами интегрирование силы притяжения вдоль радиуса-вектора показывает, что к моменту достижения расстояния, равного р, кинетическая энергия тела достигнет величины  α/8р+α/2р=5α/8р, а на минимальном расстоянии (в перицентре) увеличится ещё на столько же 5α/8р+α/2р=9α/8р.
Расхождения в цифрах вполне естественные и легко объяснимые, но для этого надо разбираться в физическом смысле процесса, а не пытаться «подогнать» его под надуманную формальную схему.

Т.е. Вы утверждаете, что правильная кинетическая энергия на расстоянии p α/2р. А получаемая из интегрирования по радиусу 5α/8р - не правильная? В пользу второго выражения говорит закон сохранения энергии, который Вы считаете нелегитимным, а в пользу первого - закон сохранения момента импульса?
 Простите, но тут у Вас вообще детская ошибка. "2) расстояние р; кинетическая энергия α/2р;  линейная скорость √(α/р), момент импульса √αр"
Вообще-то момент импульса равен по модулю произведению расстояния на скорость и на синус угла между скоростью и радиус-вектором. В точке р угол этот в отличие от перицентра и апоцентра - не 90 градусов! А Вы считаете момент, как для 90 градусов - просто умножая скорость на расстояние.

[Петров А. М.]

aid:
«Вы утверждаете, что правильная кинетическая энергия на расстоянии p α/2р. А получаемая из интегрирования по радиусу 5α/8р - не правильная? В пользу второго выражения говорит закон сохранения энергии, который Вы считаете нелегитимным, а в пользу первого - закон сохранения момента импульса?
Простите, но тут у Вас вообще детская ошибка. "2) расстояние р; кинетическая энергия α/2р;  линейная скорость √(α/р), момент импульса √αр".
Вообще-то момент импульса равен по модулю произведению расстояния на скорость и на синус угла между скоростью и радиус-вектором. В точке р угол этот в отличие от перицентра и апоцентра - не 90 градусов! А Вы считаете момент, как для 90 градусов - просто умножая скорость на расстояние».

Похвальная наблюдательность (хотя я и предупредил о расхождении цифр, но объяснять причину не стал, поскольку уже говорил о ней раньше). Хорошо, давайте разберёмся.
Величина кинетической энергии 5α/8р на расстоянии р, конечно, правильная, причём α/8р здесь приходится на радиальную составляющую (в моменте импульса не учитываемую), а остальная часть α/2р соответствует тангенциальной составляющей скорости √(α/р), которая,  после умножения на расстояние р, и даёт неизменный, согласно второму закону Кеплера, момент импульса √αр. Так что запись, действительно, требует уточнения: вместо «линейная скорость √(α/р)» должно быть «тангенциальная составляющая линейной скорости √(α/р)». Но второго закона Кеплера это уточнение никак не касается.
А вот с законом сохранения энергии дело обстоит сложнее. Вы полагаете, что в определение потенциальной энергии можно заложить любое «мыслимое», а не только действительно совершаемое системой перемещение? Если мысленно переместить тело с эллиптической орбиты в бесконечно удалённую точку, подождать бесконечно большое время, пока тело вернётся обратно по некой (в общем случае – параболической) траектории, а затем каким-то чудом вновь перевести тело на эллиптическую орбиту, то такое издевательство над физическим смыслом можно будет заложить в определение потенциальной энергии и таким путём добиться-таки соблюдения этого, не стоящего и выеденного яйца, «закона сохранения энергии».
Ну, и «соблюдайте» его вместе и вслед за Ландау, но, по крайней мере, без меня.
Функция –α/r, как результат интегрирования силы притяжения α/r², имеет реальный физический смысл только в пределах изменения расстояния  r  на данной орбите. Но это означает, что закон сохранения энергии здесь не соблюдается, а совершается процесс внешнего энергообмена данного тела с («бесконечно большим») источником гравитационной силы и энергии.
К сожалению, на эту тему мы уже не в первый раз «гоним зайца по одному и тому же кругу». Спрашивается, что плохого в этом искусственно сформированном «законе сохранения энергии» (ну,  кроме того, что это физическая чушь)? Его практическая вредоносность состоит в том, что он теоретически блокирует постановку и решение принципиально новых задач, в которых динамические системы с достаточно сложным внутренним движением оказываются в состоянии осуществлять не только простейшие виды энергообмена с внешней средой, но и целенаправленно извлекать, накапливать и использовать гравитационную энергию в ничем (кроме технологических возможностей) не ограниченных размерах. Так что  «на кону» судьба гравитационной энергетики как реальной альтернативы, в первую очередь, атомной энергетике.

[aid]

aid:
«Вы утверждаете, что правильная кинетическая энергия на расстоянии p α/2р. А получаемая из интегрирования по радиусу 5α/8р - не правильная? В пользу второго выражения говорит закон сохранения энергии, который Вы считаете нелегитимным, а в пользу первого - закон сохранения момента импульса?
Простите, но тут у Вас вообще детская ошибка. "2) расстояние р; кинетическая энергия α/2р;  линейная скорость √(α/р), момент импульса √αр".
Вообще-то момент импульса равен по модулю произведению расстояния на скорость и на синус угла между скоростью и радиус-вектором. В точке р угол этот в отличие от перицентра и апоцентра - не 90 градусов! А Вы считаете момент, как для 90 градусов - просто умножая скорость на расстояние».

Похвальная наблюдательность (хотя я и предупредил о расхождении цифр, но объяснять причину не стал, поскольку уже говорил о ней раньше). Хорошо, давайте разберёмся.
Величина кинетической энергии 5α/8р на расстоянии р, конечно, правильная, причём α/8р здесь приходится на радиальную составляющую (в моменте импульса не учитываемую), а остальная часть α/2р соответствует тангенциальной составляющей скорости √(α/р), которая,  после умножения на расстояние р, и даёт неизменный, согласно второму закону Кеплера, момент импульса √αр. Так что запись, действительно, требует уточнения: вместо «линейная скорость √(α/р)» должно быть «тангенциальная составляющая линейной скорости √(α/р)». Но второго закона Кеплера это уточнение никак не касается.
А вот с законом сохранения энергии дело обстоит сложнее. Вы полагаете, что в определение потенциальной энергии можно заложить любое «мыслимое», а не только действительно совершаемое системой перемещение? Если мысленно переместить тело с эллиптической орбиты в бесконечно удалённую точку, подождать бесконечно большое время, пока тело вернётся обратно по некой (в общем случае – параболической) траектории, а затем каким-то чудом вновь перевести тело на эллиптическую орбиту, то такое издевательство над физическим смыслом можно будет заложить в определение потенциальной энергии и таким путём добиться-таки соблюдения этого, не стоящего и выеденного яйца, «закона сохранения энергии».
Ну, и «соблюдайте» его вместе и вслед за Ландау, но, по крайней мере, без меня.
Функция –α/r, как результат интегрирования силы притяжения α/r², имеет реальный физический смысл только в пределах изменения расстояния  r  на данной орбите. Но это означает, что закон сохранения энергии здесь не соблюдается, а совершается процесс внешнего энергообмена данного тела с («бесконечно большим») источником гравитационной силы и энергии.
К сожалению, на эту тему мы уже не в первый раз «гоним зайца по одному и тому же кругу». Спрашивается, что плохого в этом искусственно сформированном «законе сохранения энергии» (ну,  кроме того, что это физическая чушь)? Его практическая вредоносность состоит в том, что он теоретически блокирует постановку и решение принципиально новых задач, в которых динамические системы с достаточно сложным внутренним движением оказываются в состоянии осуществлять не только простейшие виды энергообмена с внешней средой, но и целенаправленно извлекать, накапливать и использовать гравитационную энергию в ничем (кроме технологических возможностей) не ограниченных размерах. Так что  «на кону» судьба гравитационной энергетики как реальной альтернативы, в первую очередь, атомной энергетике.

Снова мантры и демагогия. Покажите конкретные ошибки, как это сделал с Вашим сообщением я. Тогда мы все признаем, что Вы правы. А так - несерьезно.
Кстати, Вы конечно ловко выкрутились, но я так и не понял - Вы отказываетесь от своего утверждения, что при интегрировании вдоль траектории работа силы тяготения не будет равна изменению a/r?

[Herodotus]

Вы не добьётесь от топикстартера признания ошибок по очень простой причине. Мы с вами смотрим на уравнения и видим элементарные ошибки в математике, которые легко исправить, а приговариваемые топикстартером слова, как не имеющие отношения к делу, пропускаем мимо ушей. У автора другая система ценностей. Для него важно любым способом оправдать заманчивый результат, имеющий огромное народнохозяйственное значение, а именно извлечение неограниченной энергии из гравитационного поля. То, что получился у него этот "результат" в результате детских ошибок в математике, роли уже не играет. Опять-таки, главное - это произносить правильные, дающие надежду слова типа "незамкнутости системы" и "черпания энергии из поля", а формулы можно поправить. Кому нужна устаревшая теорема косинусов, когда тут такое Эльдорадо на кончике пера!

Именно эта ориентировка на конечный экономический результат (в виде халявной энергии и пр.), а не на установление того, как оно есть на самом деле, и отличает подавляющее большинство альтов от нормальных учёных. Она же приводит к характерной альтовской паранойе и вере в заговоры. Действительно, если для того, чтобы извлекать энергию из вакуума (строить гравилёты и гравицаппы, летать со скоростью больше скорости света, и т.д. и т.п.) достаточно переписать несколько уравнений, а то и просто произнести несколько наукообразных слов, то почему же "официальные учёные" упорно отказываются это делать? Ну конечно же из-за кругляковцев, релятивистов и прочих сионистов. И закономерный результат - ослабленные извилины не выдерживают нагрузки и со скрипом сминаются, после чего любой диалог становится невозможен.