О формализме Лагранжа

[Петров А. М.]

То, о чём пишет aid, уже не наука. Зачем было называть выражение  «–xF(t)» "дополнительной потенциальной энергией системы", если в качестве таковой она в системе не появляется?
Что же такое «–xF(t)»?  Это –  «нечто», из чего сомнительной, с точки зрения математической корректности, процедурой частного дифференцирования получают заданную исходными условиями задачи величину внешней силы F(t). Это даёт нам право утверждать, что в задаче об осцилляторе, не являющейся задачей на поиск экстремума и следовательно, не подчиняющейся вариационному принципу наименьшего действия, лагранжев формализм оказывается излишней, к тому же  искажающей физический смысл задачи, «методологической надстройкой» над ньютоновым силовым балансом (т.е. уравнением движения системы, к которому мы приходим и без этой «надстройки», причём более коротким путём).
Мы видим прямое искажение физического смысла задачи в том, что под названием «энергии» в ней появляется величина, не являющаяся энергией. А математическую некорректность мы выявляем расчётом энергетического баланса системы по строгим правилам математического анализа. В данном случае общий метод математики законно выступает «высшей инстанцией» для оценки степени корректности частного метода (лагранжев формализм является таковым, поскольку включает аппарат частного дифференцирования). Так что мы не вступаем в конфликт ни с физикой, ни с математикой, а, наоборот, защищаем права этих наук от не считающихся с их законами «волюнтаристов».
А теперь задумаемся над тем, какие цели преследуют спорящие стороны. Нам нужен более совершенный аппарат для решения новых задач, которые по-старому или решаются неверно, или не решаются совсем. Если мы лишены возможности представлять результаты наших исследований в изданиях, находящихся в руках единомышленников сегодняшних наших оппонентов, то мы публикуем эти результаты там, где можем. Не нравится?  А вот «запретить» – руки коротки! Так-то, синьоры хорошие…
А чтобы всем окончательно стало ясно, кто чего стоит, предлагаю «честный бой». Мы всё спорим о задачах, уже где-то и как-то описанных. Но вот на Большом Форуме в теме «Эффект Джанибекова» появилась новая и очень интересная динамическая задача. Поскольку наши оппоненты позиционируют себя знатоками и ценителями лагранжева формализма, как универсального метода решения любых динамических задач, то предлагаю показать свои знания и умения на примере описания этого эффекта, составления уравнения движения и решения новой задачи на основе этого аппарата. Я же берусь показать, как решается эта задача в терминах алгебры с делением. Договорились?

[Вашкевич Виктор]

А чтобы всем окончательно стало ясно, кто чего стоит, предлагаю «честный бой». Мы всё спорим о задачах, уже где-то и как-то описанных. Но вот на Большом Форуме в теме «Эффект Джанибекова» появилась новая и очень интересная динамическая задача. Поскольку наши оппоненты позиционируют себя знатоками и ценителями лагранжева формализма, как универсального метода решения любых динамических задач, то предлагаю показать свои знания и умения на примере описания этого эффекта, составления уравнения движения и решения новой задачи на основе этого аппарата. Я же берусь показать, как решается эта задача в терминах алгебры с делением. Договорились?

Давай!

[Метафизик]

Да ненужно все это.

Уважаемый yakiniku, Вы в гироскопах смыслите?
По эффекту Джанибекова можете что-нибудь сказать?

[Петров А. М.]

Если загадки нет, то прошу: уравнение движения и его решение!
Очень хочется взглянуть на результат собственного творчества критика...

[Петров А. М.]

Это называется "бегством с поля боя"! А по поводу "бреда" задайте вопрос В.А.Садовничему, зачем он его, вслед за великими математиками прошлого, преподаёт.
Считаю, что "момент истины" для адептов лагранжева формализма уже состоялся. Ну, а у нас ещё всё впереди. Готовлю очередную статью именно об эффекте Джанибекова с весьма интересными (думаю, что и неожиданными, и не только для умеющих пересказывать одни чужие мысли) выводами и практическими рекомендациями.

[aid]

То, о чём пишет aid, уже не наука. Зачем было называть выражение  «–xF(t)» "дополнительной потенциальной энергией системы", если в качестве таковой она в системе не появляется?
Что же такое «–xF(t)»?  Это –  «нечто», из чего сомнительной, с точки зрения математической корректности, процедурой частного дифференцирования получают заданную исходными условиями задачи величину внешней силы F(t). Это даёт нам право утверждать, что в задаче об осцилляторе, не являющейся задачей на поиск экстремума и следовательно, не подчиняющейся вариационному принципу наименьшего действия, лагранжев формализм оказывается излишней, к тому же  искажающей физический смысл задачи, «методологической надстройкой» над ньютоновым силовым балансом (т.е. уравнением движения системы, к которому мы приходим и без этой «надстройки», причём более коротким путём).

1. Давайте тогда уж определение потенциальной энергии системы, если «–xF(t)» не является ей.
2. Ну не ндравится Вам частное дифференцирование
3. Так докажите, что задача об осцилляторе не подчиняется принципу наименьшего действия. Иначе Вы лжец. Ну или просто не понимаете, что в данном случае неподчинение ПНД равносильно неподчинению уравнениям Ньютона.
4. Никто и не спорит, что в данном случае проще по Ньютону. А если имеем не просто маятник, а например, математический маятник, к которому еще прикремлена пружина, например? Тут уже по Ньютону посложнее будет.

[Петров А. М.]

Этому оппоненту "плюй в глаза, а ему - божья роса!" Назвали величину "энергией системы", а в энергетическом балансе её нет. Как это назвать? Частное дифференцирование - оно и есть "частное", условное. Его корректность проверяется общими математическими методами. Проверили - оказалось для задачи об осцилляторе этот приём некорректен. Причём тут "лжец"?
Дело вовсе не ограничивается теоретическим спором. Лагранжев формализм стал преградой для новых технических решений. Человечеству нужен ещё не один Чернобыль и не одна Фукусима, чтобы понять зловещую роль таких, как aid, препятствующих тому, чтобы в решении проблем энергетики нам "соскочить с атомной иглы"?! Может быть, этот конкретный человек и не получает деньги в качестве атомного лоббиста, но объективно его роль реакционна и морально отвратительна.
В 1997 году я столкнулся с таким  же человеком в роли ведущего государственного патентного эксперта по фамилии Великих В.П. Упёрся в формулу Е=mgh из школьного учебника физики. Я показыааю, как при вращении происходит фазовый сдвиг силы тяготения на 90 градусов, переводящий вертикальное воздействие в горизонтальное движение рабочей массы (как в прецессии волчка). Доводы не действуют. Апелляцию рассматривает комиссия, в составе которой выпускник МАИ. Мне показалось, что очень толковый парень. После многочасовой беседы, казалось бы, пришли к истине. Но ... Теперь уже сработал фактор "чести мундира". В заключении отмечены и плюсы заявки, но итоговая фраза решает всё: "заявка противоречит общепринятым положениям науки". И сколько лет ещё будет противоречить? А даровая гравитационная энергия "пропадать без дела"? А люди гибнуть от радиации? Эх, aid, aid... Креста на тебе, судя по всему, нет!

[aid]

> Назвали величину "энергией системы", а в энергетическом балансе её нет. Как это назвать?

Еще раз - дайте определение потенциальной энергии. Без этого Ваши восклицания бессмысленны.


> Частное дифференцирование - оно и есть "частное", условное. Его корректность проверяется общими математическими методами. Проверили - оказалось для задачи об осцилляторе этот приём некорректен. Причём тут "лжец"?

Лжец потому, что лжете. Во-первых, Вы сами пишете, что это дифференцирование дает правильное диф. уравнение движения. Вам показали (несколько раз), как из формализма Лагранжа получается равенство скорости изменения механической энергии и мощности внешней силы F. После этого Вы пишете, что частное дифференцирование здесь некорректно. И кто Вы после этого, если не лжец?

> Дело вовсе не ограничивается теоретическим спором. Лагранжев формализм стал преградой для новых технических решений. Человечеству нужен ещё не один Чернобыль и не одна Фукусима, чтобы понять зловещую роль таких, как aid, препятствующих тому, чтобы в решении проблем энергетики нам "соскочить с атомной иглы"?! Может быть, этот конкретный человек и не получает деньги в качестве атомного лоббиста, но объективно его роль реакционна и морально отвратительна.

Впрочем, тут еще один вариант - маньяк. Вы - просто маньяк, помешавшийся на своей идее - все свалили в одну кучу - лагранжев формализм, Чернобыль, проблемы энергетики. Я препятствую тому, чтобы доверчивые читатели верили маньяку.

> А даровая гравитационная энергия "пропадать без дела"? А люди гибнуть от радиации? Эх, aid, aid... Креста на тебе, судя по всему, нет!

Креста на мне нет - я не крещеный. А Вы когда крестились? Не валите в одну кучу Ваши проблемы с потенциальной энергией и атомную энергетику.
   Меня интересует не демагогия в виде "когда весь мир стонет от Чернобыля, они пользуются лагранжевым формализмом", а математические и физические доводы. А то придет другой маньяк и будет утверждать, что все беды от таблицы умножения.

[Петров А. М.]

Комплексные числа я «гоняю, как зайцев на охоте» уже полсотни лет, так что «поймать» меня на таких элементарных ошибках оппоненту не удастся. Но допустим, что в своих выкладках я ошибся. Нормальная реакция человека, заметившего ошибку: «записано так, а надо вот так!». И всё. Для чего поднимается невероятный шум-гам: для отвлечения внимания от сути дела!
Молодец, космонавт Джанибеков! (Кстати, мой коллега-«кадет», выпускник суворовского училиша, где математику за среднюю школу преподают по программе техникума, с производными и интегралами). Задал интересную задачку физикам-теоретикам. А «эпигонам» подсмотреть ответ негде.
Первый «кавалерийский  набег» оппонента оказался неудачным: Ландау такие задачи и "не снились", потому что лагранжев формализм к ним не применим. Предвидя своё неизбежное поражение, оппонент и поднимает бучу. Нет, уж извольте предъявить, на что Вы способны.
Итак, решение задачи по эффекту Джанибекова – на стол!
Относится ко всем, желающим поспорить.

[yakiniku]

Комплексные числа я «гоняю, как зайцев на охоте» уже полсотни лет, так что «поймать» меня на таких элементарных ошибках оппоненту не удастся.

О комплексных "числах" - тем более, что речь идет о функциях - Вы не знаете ровно ничего. Если, как в посте
#18 про функции Z=x+iy, W=u+iv определено, что только действительная часть имеет физический смысл, тем самым утверждается, что величины v, y физического смысла не имеют. Значит и произведение ZW=(xu-yv)+i(xv+yu) смысла не имеет: как в действительную, так и в мнимую часть входят не имеющие смысла
величины v, y . Такого сорта применение комплескных функций осмыслено только для линейных уравнений над функциями и линейных преобразований над ними, но при этом "тупое" перемножение двуж комплескных величин дает вообще говоря ерунду. Поэтому Ваш "энергетический баланс" неправилен, начиная с первой строчки, в которой Вы перемножили комплексный икс на комплексный дэ-икс. Все - дальше можно и не читать, хотя ответ, в котором половина членов на дифференциал помножена, все равно офигителен.

Нет, уж извольте предъявить, на что Вы способны.
Итак, решение задачи по эффекту Джанибекова – на стол!
Относится ко всем, желающим поспорить.

Это не ко мне. Я не желаю с Вами спорить, в первую очередь потому, что Вы спорить не умеете. Обязательно напишите в Вашем будущем творении про эффект Джанибекова, что наука в моем лице расписалась по этому вопросу в полном бессилии. Тем более. что Вы это в любом случае напишете, а скорее всего - уже написали.

[aid]

ответ, в котором половина членов на дифференциал помножена, все равно офигителен. Но для Вас мои слова не указ - срочно пишите статью в Научный журнал прямо с этим энергетическим балансом.

Только сейчас посмотрел - действительно обалдеть. И если человек и после этого продолжает писать, что он строго математически что-то доказал, и что складывание членов с дифференциалами и без - это мелочь, на которую не стоит и внимания обращать, и даже не пытается исправиться, то это уже маразм. ?

[Петров А. М.]

Критерий для подведения итогов спора остаётся прежним: показать свои знания решением задачи об эффекте Джанибекова. Не ограничиться общими рассуждениями, а дать именно точное решение задачи. И предмета для спора не будет!
Про комплексные числа (можно сказать и о теории функций комплексного переменного) разговор не по существу, ибо интегрирование уравнения силового баланса осциллятора по координате я сначала провёл в тригонометрических функциях, но для более компактной записи воспользовался преимуществом комплексных чисел (кстати, Ландау не раз использует этот же приём). Ну, а если не можете (или не хотите?) сами проверить правильность моих расчётов, то для независимого арбитра я могу дать их развёрнутую запись. Никакого обмана здесь нет, баланс выдерживается точно. А вот величина -хF(t) так и остаётся "ни к селу, ни к городу": она имеет размерность энергии, но физического смысла, как определённой части энергии системы, не имеет. Так что у меня больше оснований полагать, что применением более строго метода расчёта я ограждаю читающую публику (в первую очередь, студентов) от обмана.

[aid]

Так что у меня больше оснований полагать, что применением более строго метода расчёта я ограждаю читающую публику (в первую очередь, студентов) от обмана.

Вот действительно, плюй в глаза, скажет божья роса. У Вас очевидно неверный результат, но Вы его называете более строгим методом расчета. Прежде, чем говорить об обмане, Вам необходимо дать определение потенуциальной энергии.

[Петров А. М.]

Почему бы мне и не поблагодарить всех принявших участие в дискуссии по данной теме? Благодарю!
Но истина всё же дороже. Поговорим о ней. Уважаемый Модератор заметил, что правильнее, по его мнению, говорить не о механике Ландау-Лифшица, а просто о механике. Не согласен.
Есть механика как точная наука, в которой главенствующую роль играют чёткий физический смысл и математическая корректность постановки и решения физических задач. А есть «Механика» Ландау-Лифшица, представляющая собой «механику лагранжева формализма». Это смысловое ограничение (с весьма серьёзными, но поначалу далеко не очевидными, практическими последствиями) авторы вводят на первых же страницах первого тома (а всего их получилось десять) учебного пособия по теоретической физике.
Авторы вводят свои «правила игры», в которых физическому смыслу задачи отводится второстепенная роль, а математические операции частного дифференцирования (кстати, не имеющие обратных операций «частного интегрирования») не имеют столь же строгого обоснования в теории множеств, как классический математический анализ на действительной числовой оси. Это мы говорим к тому, что к результатам, представляемым Ландау-Лифшицем (как, впрочем, и любыми другими авторами), следует относиться критически и, по возможности, сверять их с данными, получаемыми более строгими математическими методами.
И вот представился случай показать «издержки» лагранжева формализма при решении задачи об осцилляторе. Система открытая, а для применения лагранжева формализма необходимо внешнее воздействие заранее «пересчитать» в поступающую извне энергию, после чего с системой можно оперировать как с замкнутой. Но как найти эту «дополнительную потенциальную энергию системы»?
Не имея решения задачи, т.е. не зная вида функции х(t), корректно сделать это, например, вводя величину выполняемой внешней силой работы  ∫F(t)dx,  невозможно. Получается «порочный круг»: чтобы корректно представить поступающую извне энергию, нужно знать решение задачи; а чтобы составить, а потом и решить уравнение движения, нужно заранее, ещё не решая задачу, знать величину энергии, которая поступит в систему.
Собственно говоря, задача об осцилляторе выявляет методологическую несостоятельность  лагранжева формализма для расчёта движения любых открытых систем. Ведь аналогичные «казусы» приводят, в частности, к некорректным решениям, на основе  лагранжева формализма, также и задач о вращающемся волчке, и Кеплеровой задачи. Однако вернёмся к задаче об осцилляторе.
Авторы пособия не находят ничего лучшего, чем «назначить» предполагаемую величину энергии, которая должна поступить в систему извне, в виде величины  –xF(t). Они полагали, что никто и не заметит фиктивного характера этой «энергии»: ведь по правилам частного дифференцирования по х она вновь приводится к заданной условиями задачи величине внешней силы F(t). Значит, силовой баланс сохраняется в неискажённом виде, а, значит, координата  x(t), как и величины скорости и ускорения системы, определяется правильно.
Однако остаются «торчать ослиные уши» лагранжева формализма в виде фиктивной величины «энергии» –xF(t). Куда её «девать», если в реальный энергетический баланс она никак не вписывается? «Спрятать» в функцию Гамильтона? Но ведь это такой же формализм, как и функция Лагранжа, который противоречит результатам единственно корректного расчёта энергетического баланса системы путём интегрирования силового баланса по пути движения системы.
Обратите внимание: в приведённой выше критике лагранжева формализма нет ничего «надуманного», не доступного объективной проверке и, если автор ошибается, столь же спокойному и рассудительному опровержению. Но, как видно, ничего этого «за душой» у оппонентов нет, почему они и пускают в ход по адресу автора данной критики одно лишь негодование и ругательства типа «лжец» и т.п. Вот вам наглядный пример того, как старое (а лагранжев формализм, действительно, представляет собой продукт науки рубежа XVIII-XIX веков!) «цепляется за жизнь», не брезгуя никаким средствами.
Но ведь законы Ньютона ещё «древнее», чем лагранжев формализм? Конечно, и этим законам (по сути, одномерным) ещё предстоит пережить процесс их обобщения на двумерное и трёхмерное физическое пространство. Однако уже сейчас можно сказать, что процесс обобщения пойдёт не по пути применения аппарата частных производных (лагранжев формализм этот путь уже «опробовал» и в достаточной степени «скомпрометировал»), а по пути применения методологии открытых систем и адекватных вращениям алгебр с векторным делением.

[aid]

>  математические операции частного дифференцирования (кстати, не имеющие обратных операций «частного интегрирования») не имеют столь же строгого обоснования в теории множеств, как классический математический анализ на действительной числовой оси.

Доказательства?


> Собственно говоря, задача об осцилляторе выявляет методологическую несостоятельность  лагранжева формализма для расчёта движения любых открытых систем. Ведь аналогичные «казусы» приводят, в частности, к некорректным решениям, на основе  лагранжева формализма, также и задач о вращающемся волчке, и Кеплеровой задачи. Однако вернёмся к задаче об осцилляторе.

Кеплерова задача решена еще Ньютоном и результат при этом совпадает с результатом, получаемым в лагранжевом формализме. Или Вы показываете, что результаты не совпадают, или Ваши утверждения сводятся к тому, что для решения кеплеровой задачи теория Ньютона неприменима.

> Авторы пособия не находят ничего лучшего, чем «назначить» предполагаемую величину энергии, которая должна поступить в систему извне, в виде величины  –xF(t). Они полагали, что никто и не заметит фиктивного характера этой «энергии»: ведь по правилам частного дифференцирования по х она вновь приводится к заданной условиями задачи величине внешней силы F(t).

Уже неверно. Во-первых, идет клевета с обвинением авторов в подлоге. Если Вам не достаточно пояснений ЛЛ, возьмите Ольховского, в котором подробно разбирается случай нестационарных полей.
Во-вторых, Вы до сих пор не поняли указания, что ЛЛ начинают с более общего случая U(x,t), и уже потом переходят к частному случаю малых колебаний. Так что Вы не правы, когда говорите, что условиями задачи задана внешняя сила F(t).


> Значит, силовой баланс сохраняется в неискажённом виде, а, значит, координата  x(t), как и величины скорости и ускорения системы, определяется правильно.

Запомним это

> Однако остаются «торчать ослиные уши» лагранжева формализма в виде фиктивной величины «энергии» –xF(t). Куда её «девать», если в реальный энергетический баланс она никак не вписывается?

Пока Вы не дали определение потенциальной энергии, Ваши восклицания - не более, чем оскорбительная клевета.

> «Спрятать» в функцию Гамильтона? Но ведь это такой же формализм, как и функция Лагранжа, который противоречит результатам единственно корректного расчёта энергетического баланса системы путём интегрирования силового баланса по пути движения системы.

Вам уже показали, что не противоречит.

> Обратите внимание: в приведённой выше критике лагранжева формализма нет ничего «надуманного», не доступного объективной проверке и, если автор ошибается, столь же спокойному и рассудительному опровержению. Но, как видно, ничего этого «за душой» у оппонентов нет, почему они и пускают в ход по адресу автора данной критики одно лишь негодование и ругательства типа «лжец» и т.п.

Критика написана в энциклопедии БФ Якинику. После того, как Вы ее игнорировали, Вас справедливо назвали лжецом.

> Но ведь законы Ньютона ещё «древнее», чем лагранжев формализм? Конечно, и этим законам (по сути, одномерным) ещё предстоит пережить процесс их обобщения на двумерное и трёхмерное физическое пространство. Однако уже сейчас можно сказать, что процесс обобщения пойдёт не по пути применения аппарата частных производных (лагранжев формализм этот путь уже «опробовал» и в достаточной степени «скомпрометировал»), а по пути применения методологии открытых систем и адекватных вращениям алгебр с векторным делением.

Ларчик просто октрывался - проталкиваем свои идеи?

Объясняю простую вещь - чтобы опровергнуть законы Ньютона или лагранжев формализм, надо просто показать, что они дают неверный результат в рамках границы применимости. Все. Вы же говорите, что "координата  x(t), как и величины скорости и ускорения системы, определяется правильно", изменение суммы mv^2/2 и kx^2/2 равно работе внешней силы - энергетический баланс получается и из формализма Лагранжа и Гамильтона, решение задачи Кеплера тоже правильно описывает движение планет. Но все равно, лагранжев формализм неверен, т.к. Петрову хочется протолкнуть свои идеи

[Herodotus]

Это какие такие "идеи"? Что взятие частных производных плохо определённая операция? Это враньё, плюс незнание элементарных вещей (вроде криволинейных интегралов). Или папуасская убеждённость в том, что если взять четыре банана и написать на них 2Х2=5, то откуда-то появится халявный пятый?

[Петров А. М.]

Оппонент приводит две противоречащие друг другу формулы для энергетического баланса осциллятора. Там, где присутствует «дополнительная потенциальная энергия –xF(t)», если подставить в указанную формулу найденные величины координат и скоростей как функций времени, в результате вычислений баланс «не сойдётся». Проверено мною прямым вычислением, хотя фиктивность величины –xF(t) как энергии была очевидна изначально. Другое дело формула (и я на это уже обращал внимание в одном из постов), в которой присутствует величина работы внешней силы в виде ∫F(t)(dx/dt)dt. В этом случае баланс получится верным и совпадёт с приведённым мною. Какой же из двух, противоречащих друг другу, балансов оппонент  признаёт верным?
Проведите расчёты до конца, в том числе, для «действия» и его вариаций. Подставьте во все приведённые в «Обсуждении» выражения функции времени и проведите интегрирование по обычным правилам математики. В итоге, я уверен, будет над чем задуматься… 
Надеюсь, оппоненты не рассчитывают «заболтать» основной критерий определения победителя в данном споре: на примере решения задачи об эффекте Джанибекова вы демонстрируете, что «есть ещё порох в пороховнице» лагранжева формализма (следовательно, рано его «списывать» в музей истории науки), а я показываю, как будет выглядеть решение той же задачи в терминах алгебры с делением?!
Высказываемые ко мне претензии свидетельствуют лишь о том, что наши позиции в принципе не совместимы. Поскольку оппоненты защищают «традиционный» подход, то развиваемый мною подход, как минимум нов (что опровергает ранее высказанное утверждение, будто бы я ничего нового не предлагаю). А если мой подход абсурден, то зачем столько беспокойства? Видимо, в нём всё-таки есть некий резон!
Спрашиваете, где доказательства несовершенства аппарата частных производных? А разве мало того, что в задаче об осцилляторе этот аппарат вынужден вводить и оперировать фиктивной величиной «энергии системы» –xF(t), не имеющей реального физического смысла и, в итоге, не вписывающейся в реальный энергетический баланс осциллятора? Причём, сам этот аппарат не способен дать решение задачи. Совершив, с помощью математически некорректной операции, «подгонку» под уже известный ньютонов баланс сил, лагранжев формализм полагает свою «надстроечно-посредническую» (а если вещи называть своими именами, то «паразитическую») функцию завершённой и в дальнейший процесс решения задачи уже не вмешивается (почему решение на этом этапе, т.е. при нахождении координат, скоростей и ускорений, оказывается правильным!). А вот в расчёте энергии системы так и остаётся «нестыковка».
Зачем мне, глядя на величину –xF(t), давать «определение потенциальной энергии»? Я эту величину не придумывал и не вводил, и вообще считаю её абсурдом, компрометирующим лагранжев формализм как таковой. Даже если «начинать с более общего случая U(x,t), и уже потом переходить к частному случаю малых колебаний», всё равно всё это остаётся искусственной и совершенно ненужной «надстройкой». Цель её введения понятна: заранее, ещё не решая задачи (а, иначе, зачем весь «сыр-бор»?), рассчитать энергию системы, но не в виде пополняемой извне, а не явно и как-то загадочно «потенциально», но всё же изначально присутствующей в системе. Правильно, конечно, было бы вести расчёт по формуле для величины работы внешней силы, интегрируя F(t) по x или F(t)(dx/dt) по t. Но вся беда в том, что величины x(t)  и v(t)=dx/dt заранее не известны,..
Если бы «Кеплерова задача была решена ещё Ньютоном», то теоретики не отправляли бы за этим решением к компьютерному счёту. К сожалению, аналитического решения этой задачи в виде функции времени (не говоря уже о чётком физическом смысле этого решения) до сих пор никто не предложил (впрочем, такое же положение и с задачей о вращающемся волчке, за исключением всем известных частных случаев).
«Нет пророка в своём Отечестве?». Что же застит глаза оппонентам, не дающим себе труда внимательно прочитать соответствующие статьи в Научном журнале БФ и, по крайней мере, отдать должное попыткам автора найти искомые решения задач, а, возможно, и помочь ему конструктивной критикой? Впрочем, это означало бы хотеть слишком многого, а, именно, обратить ярых противников в союзников. Оставайтесь, синьоры, там, где вы есть, где вам подсказывает быть ваша совесть… А решение задачи об эффекте Джанибекова всё-таки  готовьте!

[Петров А. М.]

Скажу кратко: лагранжев формализм опирается на определённые математические правила и в их рамках обсуждаемые формулы представляются идентичными. Мы же обращаем внимание на то, что эти правила (частного дифференцирования функционально зависимых величин как независимых) противоречат, во-первых, физическому смыслу (не обязательно любой, но данной - точно!) задачи, а, во-вторых,
подлежат проверке с позиций классического математического анализа. Позиции сторон - непримиримы. Значит, надо перевести спор в практическую плоскость. Не согласны с тем, что лагранжев формализм устарел и не пригоден для решения задач на вращения? Опровергните это решением задачи об эффекте Джанибекова. Я уже приступил к своей части работы. Сопоставим наши решения, станет яснее, кто и в чём прав или не прав. Думаю, что польза будет для обеих сторон.

[Вашкевич Виктор]

По поводу довольно краткого Обсуждения никаких "позиций сторон" быть не может. Я в нем не вижу ничего двусмысленного и никаких возможностей для двух мнений. Еще раз, в применении к задаче о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора теоретическая механика утверждает вот это http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:Ab_ovo_%D0%B8%D0%BB%D0%B8_Ab_hoc_et_ab_hac. То есть из такой-то функции Лагранжа вот так-то выводятся уравнения движения, функция Гамильтона и энергетический баланс, плюс продемонстрирована минимальность действия.  Что тут может быть неправильно и какие тут могут быть "особые мнения"?

В приведенных вычислениях проигнорирован случай резонанса.
В случае резонанса амплитуда вынужденных колебаний растет, растет ее энергия, вплоть до разрушения системы.

[Петров А. М.]

Мы, как раз, рассматриваем случай резонанса (до того, как станут заметными диссипативные потери или, тем более, дело дойдёт до разрушения системы). Но сейчас обсуждается другой, принципиально более важный вопрос.
Какая математическая дикость (без кавычек): брать частные производные от функции Лагранжа
L(v,x,t) = mv2 / 2 − kx2 / 2 + xF(t)
следующим образом
∂L/∂v=mv,   ∂L/∂x=− kx + F(t),   ∂L/∂t=xdF(t)/dt.
Особенно показательно последнее выражение. Ведь величины  v  и  х тоже являются функциями времени, значит, функция Лагранжа (если не экономить на размерах записи) должна выглядеть так
L(v,x,t) = mv2(t)/ 2 − kx2(t)/2 + xF(t),
и тогда обнаружится, что все эти так называемые «частные производные» – это откровенная «липа». Захотел «аналитик» (мошенник от науки) записать зависимость от времени (или другой величины) в явном виде – записал «частную производную», а не захотел – «стёр» эту «частную производную» как равную нулю! Если теоретическая физика всё ещё всерьёз якшается с этой «научной мафией», то грош цена такой «науке»!
И вот, «нарисовав» эту дикость, оппонент «заключает»:
«Тем самым опровергнуто основное утверждение статьи: якобы неприменимый метод Лагранжа с успехом применён к задаче о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора».
Применяйте и дальше, но без меня!
Таким же обманным приёмом оппонент получает «частную производную по времени» от функции Гамильтона
H= mv2/2 + kx2/2 − xF(t),
а, именно,  в  виде  dH/dt=∂H/∂t=−xdF(t)/dt.
Вы видите, какой творится «беспредел» в, казалось бы, «точной науке»?! Какие величины захотел этот «аналитик» представить функциями времени, от тех и берёт «частные производные», а какие его могут «выдать» (выявить явную чушь, до которой доведён лагранжев формализм его адептами!), те «придерживает».
Я писал, что ничего не имею против включения в производную по времени от энергии системы такого члена: F(t)(dx/dt), - поскольку
∫F(t)dx=∫F(t)(dx/dt)dt  и  интегрирование по координате (в первом случае) даёт тот же результат, что интегрирование по времени (во втором). И если оппонент включит именно это выражение в общий энергетический баланс системы, то получит тот же результат, что был приведён мною (т.е. показывающий, что уравнение энергетического баланса превращается в тождество). В этом и состоял смысл моего вопроса: какой из двух балансов оппонент признаёт истинным? В котором под интегралом стоит величина F(t)(dx/dt), и тогда баланс представляет собой тождество? Или тот, где (без интегрирования, а просто «на глазок») в энергетический баланс включается величина − xF(t), и тогда никакого тождества не получается? Или оппонент хотел бы одновременно «сидеть на двух стульях» (у одного из которых не хватает ножек)?
Все рассуждения оппонента заканчиваются переписанными из чужих книг общего вида формулами. Приводимый оппонентом «энергетический баланс» в виде функции Гамильтона представляет всего лишь уравнение. Я предлагал ему подставить в это уравнение найденные из решения задачи координаты и скорости в виде функций времени, чтобы проверить, превращают ли они уравнение энергетического баланса в тождество. Неужели даже такая простая процедура для оппонента в новинку, и он с ней не способен справиться? Да, наша высшая школа явно деградирует!