О формализме Лагранжа

[Петров А. М.]

По Кеплеровой задаче. При круговом движении параметр р равен радиусу окружности. Переменная х взята в виде обратной величины расстояния до центра притяжения по "подсказке" уравнения конического сечения (мы приводим одномерные колебания к гармоническим или вращения к равномерным круговым).

[aid]

По Кеплеровой задаче. При круговом движении параметр р равен радиусу окружности.

Это понятно. Но круговое движение - тривиальный случай. Что делать при некруговом движении? Чему при этом равно p? Параметру орбиты?

Переменная х взята в виде обратной величины расстояния до центра притяжения по "подсказке" уравнения конического сечения (мы приводим одномерные колебания к гармоническим или вращения к равномерным круговым).

В статье написано "За «равновесное состояние» принимаем частный случай эллиптического движения – круговое: x=(r)exp(iωt)=(p)exp(iVt/r)"
Отсюда я сделал вывод - что х - это х-овая координата. У Вас что - используются одинаковые обозначения для разных величин?
Итак, как я понимаю, x = (1/p)exp(iVτ) + (е/p) - здесь x=1/r. V - линейная скорость на круговой орбите.

Оставшиеся вопросы:
1. откуда взять радиус исходной орбиты? Он равен параметру эллиптической орбиты или нет?
2. В комплексном выражении надо брать только действительную часть?
2. Как можно воспользоваться этим решением для нахождения r(t), если справа стоит т=t/r(t)? Получается, что это никакое не решение уравнения.

Извините, но непонятно, почему Вы не хотите отвечать на вопросы по своему решению. Тогда разговоры о том, как Вы будете рады любой критике, выглядят лицемерием. ибо Вы даже пояснить смысл Ваших формул не хотите.

[aid]

А почему бы не показать и обратную операцию получения "энергии" -хF(t) из силы F(t)? Вот тут-то и обнаруживается принципиально неустранимый недостаток этого аппарата: частное дифференцирование (как мы видели, весьма вольно трактуемое) есть, а вот обратного (ни "частного", ни вообще какого-либо) интегрирования нет!

Простите, но это тоже не верно. Я Вам уже писал смысл потенциальной энергии для нестационарных полей.

[Петров А. М.]

Никакой «минимальности действия» и вообще больше ничего «доказывать» на основе не заслуживающей никакого доверия «методологии лагранжева формализма» не надо! Задача об осцилляторе не относится к классу вариационных задач на поиск экстремума, и никакой «минимальности действия» там быть не может, как не имеет никакого ни физического, ни математического смысла в этой задаче и само понятие «действия».
То, что сейчас проделывается по пути к «доказательству» экстремального характера данной задачи, иначе, как чистой воды жульничеством, назвать нельзя (к сожалению, с авторами учебного пособия уже не поспоришь, но В.А.Садовничего, обязанного, в силу занимаемого им положения и его профессиональной компетенции, в этих вопросах разбираться и реагировать на критику, я «беспокою» по этому вопросу с 2005 года, а теперь уже публично, в письмах в МГУ и на трёх Интернет-форумах, объявляю научным мошенником и жду вызова в суд для объяснений!). Ещё раз повторю суть претензий, теперь уже к оппоненту, как видно, желающему занять место рядом с Садовничим.
Цитирую: «Частная производная по времени от функции трёх независимых переменных (v,x,t) берётся при постоянных v,x. То есть производная от первых двух членов в функции Лагранжа равна нулю …». Речь идёт вот об этой процедуре:
∂L(v,x,t)/∂t=∂[mv²/2– kx²/2+xF(t)]/∂t = x dF(t)/dt.
Как видим, функция L состоит из трёх слагаемых, в которых присутствуют, соответственно, три функции времени v(t), x(t) и F(t). Ни с физической, ни с математической точки зрения ни одна из этих трёх функций не выделяется среди других. А то, что далее происходит, это субъективный произвол аналитика. Ему нужно «подогнать» процесс решения задачи под некую надуманную схему. Для этого он решает взять от функции L «частную производную по времени». Вы можете себе представить физический смысл этого «действа»? Надо вообразить, что координата и скорость прекращают изменяться во времени так, чтобы производные по времени от этих функций времени можно было приравнять нулю и проигнорировать, однако для внешней силы F(t) сделать исключение. Заметьте: функция времени  x(t) остаётся при производной dF(t)/dt лишь в качестве постоянного коэффициента.
Конечно, можно и «неправедными» путями идти к «праведной» цели. Оппонент настаивает на том, что с применением таких «диких» методов анализа задача, тем не менее, решается правильно. А победителей, как говорится, не судят. Посмотрим, насколько он прав.
Цель, к которой стремится аналитик, намечена заранее, ещё до решения задачи (в этом и состоит суть претензий на превосходство лагранжева и гамильтонова формализма: мол, не обязательно даже решать задачу, всё можно «угадать» заранее). Итак, энергия осциллятора «угадана» в виде функции Гамильтона:
H= mv²/2 + kx²/2 – xF(t).
А теперь посмотрим, что представляет собой эта функция по итогам решения задачи (кстати, сам лагранжев формализм участия в поиске решения не принимает: он лишь констатирует, что с известным решением данной задачи на основе ньютонова баланса сил он согласен!).
Не хочется «засорять» место для дискуссий длинными математическими выкладками (желающие могут проделать их самостоятельно). Но я категорически утверждаю, что приведённое выше выражение для энергии осциллятора в виде функции Гамильтона – это обман! Из-за произвольно введённой в это выражение «фиктивной составляющей энергии системы» –xF(t), оно лишено какого бы то ни было физического смысла. Да и математический вид этого выражения (после подстановки в него результатов решения задачи) иначе, как полнейшей бессмыслицей, назвать нельзя!

[Петров А. М.]

Оппонент меня «ловит на слове», мол, я признаю правильность лагранжева формализма тем, что соглашаюсь с приведённым им «балансом мощностей»:
  d(mv²/2+kx²/2)/dt=F(t)dx/dt.
Однако, в том-то и дело, что этот правильный баланс надо ещё правильно проинтегрировать! А лагранжев формализм (как бы ни показалось это невероятным!) не располагает для этого необходимым инструментарием. Вот найти  (буквально, как мы видели, «какую хотите»!) частную производную – пожалуйста, Например, берём выражение xF(t), «закрываем глаза» на то, функции x(t) и F(t) функционально связаны между собой уравнением движения, и частным дифференцированием по х получаем заданную условиями задачи величину внешней силы F(t)!
Но, раз смогли найти производную, то покажите, как обратной процедурой получить первообразную. Нет, говорят, вы плохо знаете аппарат частных производных. У него обратных процедур типа «частного интегрирования» не предусмотрено. Мы обходимся без них.
И «обходятся»: интегрируют «на глазок» и получают всё ту же фиктивную величину «энергии»  –xF(t).
Остаётся главный вопрос: зачем эту методологию, возникшую ещё на рубеже XVIII-XIX веков, давно изжившую себя и, по сути, превратившуюся в «научный хлам», всеми правдами и неправдами пытаться сохранять в методологическом арсенале современной теоретической физики, да ещё на правах её безальтернативно монопольного положения (посмотрите с каким ожесточением бьются за неё представители официальной науки!)?
Я уже предлагал и ещё раз повторяю предложение устроить «честный турнир-конкурс» на лучшее решение новой, ещё никем не описанной и не решённой (чтобы не было попыток «списать ответ»!), задачи об эффекте Джанибекова. Над этой задачей уже ломают головы теоретики. Не далее, как 18 марта с.г., на научном семинаре по безопорному движению, известный учёный-торсионщик Г.И.Шипов, показав видеофильм об эффекте Джанибекова, пообещал дать решение этой динамической задачи в терминах кручения пространства-времени, на основе уравнений физического вакуума Эйнштейна-Шипова.
Кто «на новенького»? Адептам лагранжева формализма – отдельное и весьма настойчивое приглашение!

[Вашкевич Виктор]

Остаётся главный вопрос: зачем эту методологию, возникшую ещё на рубеже XVIII-XIX веков, давно изжившую себя и, по сути, превратившуюся в «научный хлам», всеми правдами и неправдами пытаться сохранять в методологическом арсенале современной теоретической физики, да ещё на правах её безальтернативно монопольного положения (посмотрите с каким ожесточением бьются за неё представители официальной науки!)?

Вы никак не возьмете в толк, зачем физикам потребовалась эта "фиктивная сила".
Для того, чтоб показать наличие баланса энергий, чтоб подтвердить наличие закона сохранения энергии.
А Вы попадаете в глупое положение: отбрасываете их уловку,  при помощи которой им удается скрыть
отсутствие баланса энергий, и настаиваете на наличии баланса энергий.
Но баланса нет, вот и нужно признать, что нет баланса.

Вот возьмем для примера детекторный приемник. Там у него в антенне пульсируют сигналы самых
разных частот, но входной контур настроен на какую-то частоту, и поэтому в нем сигнал
за счет резонанса  увеличен во много-много раз. Явно баланса в детекторном приемнике нет,
но Вы же не откажетесь настаивать на наличии баланса?
Вот то-то и оно...

[Петров А. М.]

Вы тоже никак не возьмёте в толк, что понимается, в общем случае, под "энергетическим балансом". Вы же не будете отрицать необходимость составления и решения уравнения движения динамической системы? Так вот это уравнение движения представляет собой баланс действующих на систему (извне) или в системе сил. Если умножить этот силовой баланс на скорость движения системы, получим "баланс мощностей", развиваемых действующими силами. В электротехнике и радиотехнике движение рассматривается на комплексной плоскости, и в балансе мощностей различаются активная и реактивные (индуктивная и ёмкостная) составляющие.
На следующем этапе анализа системы мы интегрируем или силовой баланс по координате, или баланс мощностей по времени и получаем (в том и другом случае) энергетический баланс. Он представляет собой уравнение, члены которого имеют размерность энергии. Исследуя этот баланс, можно понять, каким образом осуществляется обмен энергии в системе (включая её накопление и расход) в процессе её движения.
Любой из балансов, представляющих собой уравнения, после подстановки в них результатов решения динамической задачи превращается в тождество. Проверкой этого обстоятельства подтверждается правильность решения задачи.
В указанном смысле энергетический баланс присутствует в любой динамической системе.

[aid]

Это понятно. Но круговое движение - тривиальный случай. Что делать при некруговом движении? Чему при этом равно p? Параметру орбиты?

В статье написано "За «равновесное состояние» принимаем частный случай эллиптического движения – круговое: x=(r)exp(iωt)=(p)exp(iVt/r)"
Отсюда я сделал вывод - что х - это х-овая координата. У Вас что - используются одинаковые обозначения для разных величин?
Итак, как я понимаю, x = (1/p)exp(iVτ) + (е/p) - здесь x=1/r. V - линейная скорость на круговой орбите.

Оставшиеся вопросы:
1. откуда взять радиус исходной орбиты? Он равен параметру эллиптической орбиты или нет?
2. В комплексном выражении надо брать только действительную часть?
2. Как можно воспользоваться этим решением для нахождения r(t), если справа стоит т=t/r(t)? Получается, что это никакое не решение уравнения.

[Вашкевич Виктор]

Вы тоже никак не возьмёте в толк, что понимается, в общем случае, под "энергетическим балансом". Вы же не будете отрицать необходимость составления и решения уравнения движения динамической системы? Так вот это уравнение движения представляет собой баланс действующих на систему (извне) или в системе сил. Если умножить этот силовой баланс на скорость движения системы, получим "баланс мощностей", развиваемых действующими силами. В электротехнике и радиотехнике движение рассматривается на комплексной плоскости, и в балансе мощностей различаются активная и реактивные (индуктивная и ёмкостная) составляющие.
На следующем этапе анализа системы мы интегрируем или силовой баланс по координате, или баланс мощностей по времени и получаем (в том и другом случае) энергетический баланс. Он представляет собой уравнение, члены которого имеют размерность энергии. Исследуя этот баланс, можно понять, каким образом осуществляется обмен энергии в системе (включая её накопление и расход) в процессе её движения.
Любой из балансов, представляющих собой уравнения, после подстановки в них результатов решения динамической задачи превращается в тождество. Проверкой этого обстоятельства подтверждается правильность решения задачи.
В указанном смысле энергетический баланс присутствует в любой динамической системе.

Ну-ну...
Продолжайте спорить  о  неправомочности введения "фиктивной силы".

[Вашкевич Виктор]

При этом и выведенное уравнение и "энергетический баланс" сопвадают с теми, что декларируются участником Петровым - с точностью до тождественных преобразований. В обсуждение есть также локазательство минимальности действия, но Петров решил его игнорировать.

Ну и как это у вас, - у математиков,- получается?
У вас введена "фиктивная сила", у Петрова ее нет, а "энергетические балансы" совпадают.
Как минимум, кто-то из вас шельмует?

[Вашкевич Виктор]

Не обязательно.

В замкнутой системе сохраняющаяся энергия, во-первых, имеет смысл, во-вторых, она может быть в некоторых случаях непосредственно измерима. Скажем, атом, замкнутая система, при переходе с одного уровня на другой излучает фотон и измеримая энергия фотона равна разности энергий атома, - так что в этом конкрентном случае энергия атома имеет физический смысл.

А в открытой системе энергия - это функция времени и есть некоторый произвол в ее определении. Один может сказать - вот это моя энергия, а вот это скорость ее изменения. А другой - а вот это моя энергия и это скорость ее изменения. Причем оба правы, если "энергетические балансы" при этом математически тождественны.

Так Вы с Петровым можете помириться, не ругаться,  и считать себя оба правыми?

[Вашкевич Виктор]

Не совсем. Во-первых, советский офицер признать оппонента правым не может в силу особенностей строения организма, а во-вторых, его цель в том, чтобы доказать, что так, как делают все - делать нельзя.

А кто из вас советский офицер?

[Петров А. М.]

Ещё раз чётко определю свою позицию (и уважаемого Модератора прошу иметь её в виду, когда он будет готов к продолжению разговора по данной теме).
Об авторах обсуждаемого вузовского учебного пособия, по понятным причинам, не будем думать и говорить плохо. Назовём то, что они совершили, достаточно мягко: «грубой ошибкой», - которая простительна даже гениям.
А вот оппонентам никакого снисхождения не будет: либо они, как порядочные люди, признают эту ошибку, либо я их публично объявляю (как уже объявил Садовничего В.А.) научными жуликами и мошенниками! И за эти свои слова готов ответить перед любым независимым и компетентным арбитром.
Кратко о сути дела. Сначала о корректности применения математического аппарата частных производных. Более наглядного примера некорректного его  применения, пожалуй, не найти.
Функция Лагранжа состоит из трёх слагаемых, соответственно, включающих три функции времени v(t), x(t) и F(t). И вот аналитик, объявляя о намерении взять от этой суммы «частную производную по времени», как заправский карточный шулер, «прикрывает рукавом» первые два слагаемых (как бы полагая производные от первых двух функций времени равными нулю), а от третьего слагаемого, являющегося произведением функций x(t) и F(t), берёт производную так, как будто функция x(t) является неким постоянным коэффициентом, не зависящим от времени, так что в результате получается:
хdF(t)/dt. Так ведь можно «доказать» всё, что угодно!
На подобном жульничестве построен весь лагранжев формализм, когда он ни с того, ни с сего, без какого-либо обоснования или объяснения, переносит вариационный принцип наименьшего действия (причём, в форме, адекватной только частной вариационной задаче о брахистохроне) на задачу об осцилляторе, где нет никаких поисков экстремума, почему и само понятие «действия» не имеет ни физического, ни математического смысла. Вот почему нельзя верить ни одному слову оппонента о том, что он якобы «доказал» минимальность действия для задачи об осцилляторе. Он думает, что никто не в состоянии пойти дальше приведённой им символьной записи «доказательства», т.е. не сможет подставить в приведённые им выражения конкретные функции времени, найденные в результате решения задачи, и разоблачить обман.
Мы не будем «мучить» читателя сложными математическим выкладками, чтобы эти слова наглядно подтвердить (это мы покажем независимому арбитру), а обман разоблачим более просто, потому что он начинается с первых же собственных формул лагранжева формализма.
Почему мы говорим о «собственных» (а, значит, и каких-то иных) формулах? Да потому что сам лагранжев формализм к решению задачи об осцилляторе никакого отношения не имеет и даже не способен самостоятельно эту задачу решить. Всё, на что он способен, это произвести некие манипуляции с «угаданными» ещё до решения задачи энергетическими характеристиками движения осциллятора, после чего указать на всем давно и хорошо известный ньютонов баланс сил как на «правильное» уравнение движения, чтобы «присоседиться» к уже найденному  правильному решению этой задачи! Как будто и без этого мы чего-то не знали и нуждались в каком-то «посредничестве»!?

[Петров А. М.]

Можно было бы на этого «посредника-паразита» и не обращать внимания, если бы он в своей «методологической надстройке», грубо говоря, не «наследил», да ещё и выдвинул претензию на то, что правильное решение задачи принадлежит именно ему. Нет, не принадлежит!
Я старательно выискивал то, с чем в лагранжевом формализме  можно было бы согласиться, и в какой именно момент возникает та грубая ошибка, о которой упоминалось выше. Предлагаю вниманию читателей результат своих изысканий.
Вот формула, показывающая скорость изменения энергии системы во времени, которую можно назвать балансом мощностей, развиваемых действующими в системе силами:
  d(mv²/2+kx²/2)/dt=F(t)dx/dt.
В левой части этого баланса представлены мощности, развиваемые силой инерции (первый член) и возвратной силой (в механической интерпретации осциллятора – «силой возвратной пружины»). В правой части присутствует величина мощности, развиваемой внешней силой. Таким образом, приведённое уравнение баланса мощностей имеет чёткий физический смысл и никаких возражений не вызывает.
Оппонент – в восторге: вот и подтвердилась правильность применения лагранжева (кстати, и гамильтонова тоже) формализма! Нет, к сожалению, не подтвердилась. Потому что дальше, как раз, и начинается абсурд.
Если мы проинтегрируем баланс мощностей по времени или силовой баланс по координате, поскольку это одно и тоже:  ∫F(t)(dx/dt)dt=∫F(t)dx, - то получим энергетический баланс (интегрируем с нулевым нижним и переменным верхним пределами):
mv²/2+kx²/2=F(t)dx.
В левой части энергетического баланса присутствует сумма кинетической и потенциальной энергии системы, а в правой – работа внешней силы. Подставив в это уравнение найденные в результате решения задачи функции времени v(t) и x(t), убеждаемся в том, что оно превращается в тождество. Последнее означает, что задача нами решена правильно. Эта проверочная процедура мною приведена в ответе #18  от 02 апреля 2011 года.
Естественно, можно перенести работу внешней силы в левую часть уравнения (и тождества) энергетического баланса:
mv²/2+kx²/2 –  F(t)dx = 0.
Физический смысл такого баланса несколько видоизменится и будет трактоваться так: разность между поступающей в систему энергией и работой внешней силы постоянно остаётся равной нулю.
А теперь посмотрим, что происходит при применении лагранжева формализма. Оказывается, что у него нет необходимого аппарата для корректного интегрирования! И это – неустранимый дефект аппарата частных производных (продифференцировать по собственному произволу xF(t) так, чтобы получилась «заказанная» величина F(t) – это пожалуйста, а проверить корректность таких действий с помощью обратной процедуры – не получится по причине отсутствия такой процедуры в данном «аппарате с ограниченными возможностями»). Что же получается в итоге? Получается вот такая функция Гамильтона, якобы представляющая собой величину энергии осциллятора:
H= mv²/2 + kx²/2 – xF(t).
Это и не энергия, и не баланс. Это чистейшей воды обман! Любой желающий может в этом убедиться, подставив в это выражение найденные из решения задачи функции времени.
Для адептов лагранжева формализма наступил «момент истины»!

[Herodotus]

Вообще-то любой желающий уже как минимум 150 лет может подставить всё, что нужно, в уравнения Лагранжа или Гамильтона, и получить правильный результат. Как это и делали и делают сотни тысяч студентов и тысячи физиков. Конечно, у этих подходов есть два крупных недостатка. Во-первых, для работы с ними нужно, как минимум, понимать, что, куда и как ты подставляешь. Во-вторых, при этом не получается таких замечательных фантазий, как безопорное движение, вечные двигатели и прочие философские камни и эликсиры жизни, и никак не выходит перевернуть всю картину мироздания путём пересмотра таблицы умножения. Увы...

[yakiniku]

А вот оппонентам никакого снисхождения не будет: либо они, как порядочные люди, признают эту ошибку, либо я их публично объявляю (как уже объявил Садовничего В.А.) научными жуликами и мошенниками! И за эти свои слова готов ответить перед любым независимым и компетентным арбитром.

Ну, если мы до таких высот поднялись - то какие проблемы? Я без всяких "либо-либо" публично объявляю Вас научным жуликом и мошенником.

Поскольку мое доказательство минимальности действия предъявлено публично - и каждый желающий может его проверить и подвердить или опровергнуть. А у Вас только слова о каком-то контр-доказательстве которые Вы готовы показать только какому-то "независимому и компетентному эксперту". Канонический критерий для определения научных жуликов и мошенников: вечно у них есть какие-то доказательства их правоты, которые они готовы предъявить только комиссии ООН, а поскольку такую комиссию никто никогда не соберет, так и они и продолжают верещать, что они правы.

Итак, Анатолий Михайлович Петров, публично объявляю Вас научным жуликом и мошенником. И все.

[Петров А. М.]

Это - не ответ, а неуклюжая попытка уйти от ответа! Я показываю прямой обман в виде формулы H= mv²/2 + kx²/2 – xF(t), не представляющей ни энергии осциллятора (как эта формула трактуется в ланранжево-гамильтоновом формализме), ни нулевого энергетического баланса (каким он должен был бы стать, если бы вместо фиктивной величины "дополнительной потенциальной энергии системы" -хF(t) здесь присутствовала, со знаком минус, величина работы внешней силы –∫F(t)dx).
То, как уравнение энергетического баланса превращается в тождество, я показал в своём
ответе #18  от 02 апреля 2011 года в данной теме. А чтобы убедиться в абсурдности выражения для Н, представленного оппонентом (речь идёт об осцилляторе, для которого задача уже решена, так что теперь мы просто обязаны убедиться в правильности этого решения!), то для этого достаточно подставить в это выражение функции времени v(t) и х(t), найденные в результате решения задачи на основе ньютонова баланса сил (к которому, кстати, лагранжев формализм не причастен, почему мы и имеем правильное решение не только для координат, скоростей и ускорений, но и для энергетических соотношений, а адепты лагранжева формализма на придуманную ими "абракадабру" даже боятся в развёрнутом виде посмотреть!).
Ну, хоть какое-то объяснение этой бессмыслице, получающейся после подстановки в функцию Гамильтона Н величин v(t) и х(t), оппонент может дать? Нет, он способен оперировать только абстрактной символикой, ибо любая конкретика - для него "гибель".
Обвинение в мой адрес принимаю к сведению и буду искать независимого объективного арбитра для разбирательства по существу. Думаю, что кому-то скоро будет очень стыдно!

[Петров А. М.]

Что там хитрить? Пожалуй к бою… Вот исходные данные и результаты решения задачи об осцилляторе в режиме резонанса:
F(t)=fcos(ωt), x=(ft/2mω)sin(ωt), v(t)=(f/2mω)sin(ωt)+(ft/2m)cos(ωt).
Как видим, амплитуда колебаний возрастает линейно во времени, а энергия?
По Ньютону она возрастает квадратично во времени. А согласно лагранжево-гамильтонову формализму – сейчас проверим:
Н=f²/8mω–(f²/8mω²)cos(2ωt).
Вот тебе раз! Если функция Гамильтона представляет собой энергию осциллятора в режиме резонанса, то почему она вообще не растёт?! А если Н представляла бы (что гораздо логичнее!) разность между энергией, накапливаемой в системе, и величиной работы внешней силы, то почему она не равняется нулю!
Позор жуликам и мошенникам от науки!

[Вашкевич Виктор]

Что там хитрить? Пожалуй к бою… Вот исходные данные и результаты решения задачи об осцилляторе в режиме резонанса:
F(t)=fcos(ωt), x=(ft/2mω)sin(ωt), v(t)=(f/2mω)sin(ωt)+(ft/2m)cos(ωt).
Как видим, амплитуда колебаний возрастает линейно во времени, а энергия?
По Ньютону она возрастает квадратично во времени. А согласно лагранжево-гамильтонову формализму – сейчас проверим:
Н=f²/8mω–(f²/8mω²)cos(2ωt).
Вот тебе раз! Если функция Гамильтона представляет собой энергию осциллятора в режиме резонанса, то почему она вообще не растёт?! А если Н представляла бы (что гораздо логичнее!) разность между энергией, накапливаемой в системе, и величиной работы внешней силы, то почему она не равняется нулю!
Позор жуликам и мошенникам от науки!

Позор,  то позор,  но я не понял, что Вы хотите утверждать.
Так растет энергия, или не растет?
И в чем мошенничество? В том, что растет энергия, или в том, что доказывается, что не растет?

[комукак]

Что там хитрить? Пожалуй к бою… Вот исходные данные и результаты решения задачи об осцилляторе в режиме резонанса:
F(t)=fcos(ωt), x=(ft/2mω)sin(ωt), v(t)=(f/2mω)sin(ωt)+(ft/2m)cos(ωt).
Как видим, амплитуда колебаний возрастает линейно во времени, а энергия?
По Ньютону она возрастает квадратично во времени. А согласно лагранжево-гамильтонову формализму – сейчас проверим:
Н=f²/8mω–(f²/8mω²)cos(2ωt).
Вот тебе раз! Если функция Гамильтона представляет собой энергию осциллятора в режиме резонанса, то почему она вообще не растёт?! А если Н представляла бы (что гораздо логичнее!) разность между энергией, накапливаемой в системе, и величиной работы внешней силы, то почему она не равняется нулю!
Позор жуликам и мошенникам от науки!

А вы молодой человек различаете  резонанс, резонансный импульс и резонансное равновесие ?