Биения

[Сергей Муратов]

     Практически каждый музыкант знает о существовании биений между двумя близко настроенными нотами. Фортепианные настройщики при помощи биений выстраивают темперацию. Но в чём же физический смысл этих биений? Я бы не писал эту статью, если бы полностью согласился с официально признанными описаниями этого явления в современной науке.
     Прежде всего разрешите привести здесь те варианты, которые каждый может прочесть как в популярных, так и специальных справочниках.
     БСЭ: "Биения, колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несколько различными, но близкими частотами."
     Музыкальный словарь: "Биения (нем. Schwebungen, Schläge, Stösse, фран. battements) - так называются периодически повторяющиеся заметные усиления интенсивности звука, которые происходят при совместном звучании двух тонов, по высоте приближающихся друг к другу, но не совсем равных."
     Википедия: "Биения - явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний близкой частоты и выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов."
     Берклеевский курс физики, 3-й том: "Однако, если частоты V1 и V2 отличаются меньше чем на 10 Гц, мы не в состоянии воспринять их как две разные ноты. (Правда, натренированное ухо музыканта может это сделать.) В таком случае суперпозиция колебаний с частотами V1 и V2 не воспринимаются как "аккорд" из двух нот, а скорее, в согласии с равенствами (84) и (85), как один тон с частотой Vср и медленно меняющейся амплитудой Амод."
     Подытожив даже эти цитаты, можно сделать вывод, что БИЕНИЕ имеет частоту, равную разнице в частотах двух тонов, меняющуюся амплитуду от N до 0 (громко-тихо), при этом звук этого расстроенного унисона воспринимается слушателем, как среднее значение колебаний двух тонов.
     Но когда я сам слушаю биения, то явно слышу не усредненное значение колебаний Vср с меняющейся амплитудой, а как плавное переливание с одной ноты на другую, т.е. выше-ниже, и, конечно же, с изменяющейся амплитудой громче-тише. Я решил детально разобраться с биениями и воспользовался для этого двумя программами: Sound Forge 4.5 и WaveLab. В Sound Forge я синтезировал синусоидальные тоны с частотой 440 Гц и 435 Гц.
     Потом в WaveLab я объединил два трека в один (в режиме stereo, когда один канал имеет 440 Гц, а другой - 435 Гц.). Далее я сохранил этот звук как mono, открыл опять в WaveLab и проанализировал один период биений. Как видно по картинке, частота общего звука получилась 437,53 Гц.



     Следующим действием я проанализировал самый громкий звук: получилось 437,18 Гц.



и самый тихий, с результатом 432,18 Гц. - на 5 Гц ниже самого громкого.



     Теперь я понял, почему я слышу не только громче-тише, но и выше-ниже. Я не понял только одного: почему об этом не написал ни один исследователь биений за всю историю их изучения.

     Я знаю, что при прослушивании звука одной высоты, но с амплитудной модуляцией, нам так же кажется, что происходит и частотная модуляция, т.е. выше-ниже. Чтобы исключить все сомнения по поводу работы моих компьютерных программ, что они что-то делает не правильно (показывают разницу в частотах колебаний при амплитудной модуляции), я проанализировал специально сгенерированную амплитудную модуляцию, основанную на синусоиде в 440 Гц. и проанализировал обе части: громкую



и тихую



Результат виден на экране. Обе части имеют одну и ту же частоту.
Я считаю, что теорию о биениях следует дополнить и частотной модуляцией.

[комукак]

    Практически каждый музыкант знает о существовании биений между двумя близко настроенными нотами.

Как музыкант отвечаю :

Бывают биения и даже на одной ноте  -  некачественной по устойчивости ноты  -  особенно у струн (вытянутых со веменем).

Я как музыкант воспринимаю это биение (что от соло или дуэта нот)  -  как отдельную ноту и очччень далёкую по гамме от звучащих.
  Настраиваю на гитаре старую первую струну на  ноту "МИ", а слышу заразу  -   ноту "ЛЯ", а основной тон не воспринимаю, т.к. беспокоит сильно нонсенс с этой "ЛЯ".


В принципе как электронщик могу утверждать, что это резонансная модуляция, т.к. в каком то одном и том же месте синуса периодически (220 грц  -  ля) всплескивает "пичок", который и создаёт такую навязчивую гармонику "ЛЯ", хоть   - это и не гармоника.
  Такой же по типу  пичок на осцилле и на ухе и в случае двух нот в "розливе" или в "диссонансе".

А на первых двух рисунках у тебя  -   амплитудная  модуляция  -  это "октавница" мы называаем в музыке (низкие обертона).

[sergey_g]

Я считаю, что теорию о биениях следует дополнить и частотной модуляцией.

Дополнять ничего особо не надо, это и так есть если внимательнее почитать литературу.  Это легко выводится их математики.
Если рассмотреть взаимодействие гармонических колебаний cos(w₁t + φ₁)  и cos(w₂t + φ₂)

[комукак]

Я считаю, что теорию о биениях следует дополнить и частотной модуляцией.

Ну если пошла такая пьянка, то и фазовая модуляция не помешала бы. Эдакое тембровое вибрато

[Alexpo]

То, что никакой частотной модуляции при биениях не будет строго доказывается математически,

sin(w₁t)+sin(w₂t) = 2cos[(w₂-w₁)t/2]sin[(w₂+w₁)t/2]

видно, что первый косинус играет роль медленно меняющейся по времени (низкочастотной с разностной частотой (w₂-w₁)/2 амплитуды для высокочастотного несущего сигнала с средней частотой (w₂+w₁)/2.

Но поскольку вы математике, видимо, не верите, то я вам тоже покажу рисунок

Давайте приведем суммарный сигнал  10sin(w₁t)+10s(w₂t) для указанных вами частот при большем увеличении. Вы легко можете вручную подсчитать, что на интервале [0;0.05] укладывается ровно столько же периодов, что и на интервале [0.05;1]. Взяв линейку в руки, вы легко убедитесь, что расстояния между максимумами совершенно одинаковы
 Так что никакой частотной модуляции не наблюдается.

[Alexpo]

Теперь, о том, почему используемая вами программа выдает разный результат по частоте.

Я не разбирался в работе используемой вами программы, однако наверняка там используется спектральный анализ, в виде разложения фурье. А для того, чтобы получить правильный спектр надо задавать сигнал на интервале времени, равном его периоду. Т.е. надо брать интервал равный периоду биений. Вы же в разных случаях задаете сигнал на интервале значительно меньшем периода биений, а здесь спектр может различаться. 

Что касается того, что конкретно вы слышите, то здесь "виноваты" особенности работы слуха. Это существенно нелинейная система, которая как и все нелинейные системы меняет спектр сигнала. Поэтому к тому, что вы слышите, надо относиться с осторожностью.

Вам бы следовало подать биения на спектранализатор, посмотреть на результат, а потом подать на спектранализатор частотно-модулированный сигнал. И сравнить. Тогда вам все станет ясно.

[Alexpo]

В правой части ошибка: полуразность и полусумма частот. Модулируется по амплитуде сигнал со средней частотой - а не с суммарной:

sin(w₁t)+sin(w₂t) = 2cos[(w₂-w₁)t/2]sin[(w₂+w₁)t/2]

Конечно. Исправил

[sergey_g]

Исходное:
cos(w₁t + φ₁)
cos(w₂t + φ₂)
получаем:
cos(w₁t + φ₁) + cos(w₂t + φ₂) = 2cos[(w₂ + w₁)t/2 + (φ₂ + φ₁)/2]cos[(w₂ - w₁)t/2 + (φ₂ - φ₁)/2]
полагая:
w = w₂ = w₁+ 2Ω
получаем:
2cos[(w + 2Ω + w)t/2 + (φ₂ + φ₁)/2]cos[(w +2Ω - w)t/2 + (φ₂ - φ₁)/2] =
2cos[(w + Ω)t + (φ₂ + φ₁)/2]cos[f/2t + (φ₂ - φ₁)/2]
В итоге получается:
cos(w₁t + φ₁) + cos(w₂t + φ₂) = Аcos[(w₂ + Ω)t +φ₀],
где :
А = 2cos(Ωt +φ)  - трактуется как амплитудная компонента (модуляция)
Ω = (w₂ - w₁)/2 трактуется как частотная компонента (модуляция)
φ₀= φ₂ + φ₁
φ = φ₂ - φ₁

Это самый простейший случай когда амплитуды колебаний участвующих в биениях равны.

[Сергей Муратов]

То, что никакой частотной модуляции при биениях не будет строго доказывается математически,

Согласен, но что же происходит реально?

Но поскольку вы математике, видимо, не верите, то я вам тоже покажу рисунок

Я это тоже считал и измерял. Но в сложном звуке это так и происходит обычно.

Вам бы следовало подать биения на спектранализатор, посмотреть на результат, а потом подать на спектранализатор частотно-модулированный сигнал. И сравнить. Тогда вам все станет ясно.

Подавал. И вот результат:
Поработал с тонами 440 Гц и 450 Гц. Получились вот такие результаты, работая только в Sound Forge 4.5:

1 - создал синусоиду 440 Гц, проверил ее спектроанализом - он показывает 431 Гц.



2 - создал синусоиду 450 Гц, проверил спектроанализатором - он показывает 453 Гц.



3 - соединил их вместе - получились биения.

4 - проанализировал макс.амплитуду - 453 Гц



5 - мин.амплитуду - 431 Гц.



Почему я не анализировал 435 и с 440: в обоих случаях спектроанализатор показывал частоту 431 Гц на каждую синусоиду. Не было смысла делать биения для анализа в Sound Forge 4.5. Поэтому использовал тоны с большим разбросом в герцах.

[Сергей Муратов]

Теперь, о том, почему используемая вами программа выдает разный результат по частоте.

Я не разбирался в работе используемой вами программы, однако наверняка там используется спектральный анализ, в виде разложения фурье. А для того, чтобы получить правильный спектр надо задавать сигнал на интервале времени, равном его периоду. Т.е. надо брать интервал равный периоду биений. Вы же в разных случаях задаете сигнал на интервале значительно меньшем периода биений, а здесь спектр может различаться.  

Во время прослушивания сигнала я слышу частотную модуляцию внутри одного периода биений. Поэтому и нет смысла анализировать весь период биений, т.к. он просто покажет наличие двух пиков: высокого и более низкого тонов. Мне ведь нужно узнать тоны разных частей периода биений. Вот это я и делаю.

Что касается того, что конкретно вы слышите, то здесь "виноваты" особенности работы слуха. Это существенно нелинейная система, которая как и все нелинейные системы меняет спектр сигнала. Поэтому к тому, что вы слышите, надо относиться с осторожностью.

Психоакустика для меня не новая тема. Я здесь говорю о том, что фиксируется приборами, а не только моим ухом. Но к помощи прибора я стал прибегать именно для того, чтобы объяснить себе, что же происходит на самом деле.
Вот смотрите:
1 - расстояние между тонами большое и все слышат два разных тона. Пусть один будет 330, а другой 440 Гц
2 - уменьшаем интервал до 420-440 и мы уже слышим не просто два тона вместе, а биения, т.е. модуляции.
3 - еще больше сближаем тоны: 438-440, - модуляции очень медленные и мы что слышим? Конечно же опять два тона, а не один какой-то средний. Но эти два тона уже как бы не звучат одновременно, а переливаются один в другой. И происходит это потому, что МЕДЛЕННО. При быстрых модуляциях мы слышим как бы одновременно два звука. Ну не должна математика при больших интервалах описывать два разных тона, а при близких - некий средний тон. Это просто недоработка математиков или физиков. На какой границе этого сближения менять свой взгляд на процесс? Это как у философов: у волосатого человека постепенно выдергивать по волосинке до его лысого состояния. Но вот на каком этапе уже можно объявлять, что человек таки стал лысым?
Вот Вам цитата из Психоакустики:

Там в самом конце написано, что звук перемещается от одного уха к другому с частотой модуляции. А что слышать уши? Правильно: разные тоны. Одно повыше, а другое пониже. Так может слышать и одно ухо, если сигнал подавать в одно уха, а не в два.
Раз есть два тона, то они таки будут: два разных тона. И никакая математика не может превратить их в один средний тон. Но эти два разных тона всегда слышны почему-то по очереди. Просто при большом разбросе нам этого не понять и мы слышим их вместе. А вот при сближении эта очередность и замечается. И не только в ухе, но и реально, что и показывает программа.
И последнее: Да, нелинейные системы меняют что-то, например: слегка понижают или даже повышают входной сигнал. Видимо в компьютере тоже нелинейная система, раз она исказила значения частот. Но если есть два тона, то они и есть два тона определенной высоты. И никуда они не исчезают. Просто обнаружить их бывает трудновато. А вот чисто амплитудная модуляция, которую я привел, так и остается с одним тоном. И никакая система: линейная или нелинейная,- это положение не изменяет.

[Сергей Муратов]

17 БИЕНИЙ В СЕКУНДУ
(гимн настройщика)

Не думай о биеньях свысока,
Рояль настроишь и поймешь, наверное,
Свистят они, как пули у виска,
Биения, биения, биения.

У каждого биенья свой резон,
Свой розлив есть и даже темперация,
Биенья раздают кому - позор,
Кому — бесславье, а кому - овация.

Из крохотных биений соткан тембр,
Звучат басы как проводов гудения
И ты порой почти минуту ждешь,
Когда они придут, твои биения.

Придут они, как Божья благодать,
Расцветив тембр до качества заветного.
А в общем, надо просто сосчитать
От первого биенья до последнего.

Биенья спрессовал я без труда,
Биенья спрессовал во что-то среднее.
И я не понимаю иногда,
Где первое биенье, где последнее.

Не думай о биеньях свысока,
Рояль настроишь и поймешь, наверное,
Свистят они, как пули у виска,
Биения, биения, биения... ...

[Сергей Муратов]

Итак, подведу итог своих заблуждений и идей:
1 - не правильно понял термин "модуляция" из-за чего и весь сыр-бор разгорелся. Поэтому и сказал, что хочу понять, почему происходят частотные модуляции. Частотных модуляций нет, т.к. расстояние между всеми пиками постоянное на всем протяжении звучания.
2 - следовательно, остается для меня пока не выясненным вопрос: что же на самом деле происходит?
3 - попытка ответить на вопрос:  возможно, что при амплитудной модуляции два тона, входящие в сложный звук, в разное время имеют разную амплитуду. Поэтому  компьютерные программы вылавливают самый громкий тон в различное время амплитудных модуляций.
4 - остается понять механику всех этих изменений по амплитуде двух тонов.
Кто еще рискнет объяснить мне последний вопрос и оценить моё резюме?

[комукак]

Итак, подведу итог своих заблуждений и идей:
1 - не правильно понял термин "модуляция" из-за чего и весь сыр-бор разгорелся. Поэтому и сказал, что хочу понять, почему происходят частотные модуляции. Частотных модуляций нет, т.к. расстояние между всеми пиками постоянное на всем протяжении звучания.
2 - следовательно, остается для меня пока не выясненным вопрос: что же на самом деле происходит?
3 - попытка ответить на вопрос:  возможно, что при амплитудной модуляции два тона, входящие в сложный звук, в разное время имеют разную амплитуду. Поэтому  компьютерные программы вылавливают самый громкий тон в различное время амплитудных модуляций.
4 - остается понять механику всех этих изменений по амплитуде двух тонов.
Кто еще рискнет объяснить мне последний вопрос и оценить моё резюме?

берёшь один синус 435 грц и накладываешь на другой синус 440 грц (одоновременный дуэт двух нот) и в некоторых местах некоторые вершинки этих 2-х синусов  -   совпадают (резонанс) и  периодика этих совпадений и создаёт третью ноту  -  п о н я т н о ?


(крайние близлежащие к совпадениям вершинки тоже чуток не сопавшие дрг с другом подтягиваются вверх по амплитуде (по законам развития резонанса), а их крайние  - тоже чуть-чуть, но меньше  -  отсюда и "волновик" грушевидный модуляционный)

[sergey_g]

Кто еще рискнет объяснить мне последний вопрос и оценить моё резюме?

http://conference.kemsu.ru/GetDocsFile?id=9844&table=papers_file&type=1&conn=confDB

[Сергей Муратов]

берёшь один синус 435 грц и накладываешь на другой синус 440 грц (одоновременный дуэт двух нот) и в некоторых местах некоторые вершинки этих 2-х синусов  -   совпадают (резонанс) и  периодика этих совпадений и создаёт третью ноту  -  п о н я т н о ?

Это разностная нота, я о ней знаю. Но биение - это еще не разностная нота, т.к. имеет очень малую частоту. Вот при наложении 330 и 440 получается разностная нота в 110 Гц.

[Сергей Муратов]

http://conference.kemsu.ru/GetDocsFile?id=9844&table=papers_file&type=1&conn=confDB

Тёзка, большое спасибо за текст!  )< Именно это я и ищу уже долгое время! И хоть мне пока много там не понятно, но буду разбираться, вникать.  "=? Чувствую, что они там ответили на все мои вопросы. &/

[комукак]

Это разностная нота, я о ней знаю. Но биение - это еще не разностная нота, т.к. имеет очень малую частоту. Вот при наложении 330 и 440 получается разностная нота в 110 Гц.

"имеет очень малую частоту"   -  Это уже из области инфрарезонации  -  т.е. : гудит один линейный звук (любой) и зыгудел другой линейный звук любой вместе с первым и наблюдается этакое качание в громкости этого дуэта, т.к. вокруг в природе мого природных "невдимых" разных резонансов (натяжение в бетоне стены  -  к примеру) , а резонансы очень чутко реагируют друг на друга по причине из другой темы (тема резонансов) и из-за этой обоюдной реакции появляется новая "результирующая", которая и устраивает это "раскачивание" звука.

[sergey_g]

)<

[Сергей Муратов]

"имеет очень малую частоту"   -  Это уже из области инфрарезонации  -  т.е. : гудит один линейный звук (любой) и зыгудел другой линейный звук любой вместе с первым и наблюдается этакое качание в громкости этого дуэта, т.к. вокруг в природе много природных "невидимых" разных резонансов (натяжение в бетоне стены  -  к примеру) , а резонансы очень чутко реагируют друг на друга по причине из другой темы (тема резонансов) и из-за этой обоюдной реакции появляется новая "результирующая", которая и устраивает это "раскачивание" звука.

Мне кажется, что ключевым является ваша фраза: качание в громкости этого дуэта. Это то, что мне нужно. А можно поподробнее об этом качании, ну, чтобы по научному выглядело и мне было понятно?

[Сергей Муратов]

)<

Сергей, там в тексте есть число 264 и две непонятные буквы после него, которые почему-то не правильно расшифровались. Мне кажется, что это две русские буквы Гц. Я прав?