Я-то считаю, что мы здесь имеем дело с неконсервативной системой (ведь мы управляем натяжением нити извне, хотя поначалу было намерение каким-то образом использовать потенциальную энергию пружины, что, конечно, невозможно).
Предложение конкретного вида траектории для перехода с одного энергетического уровня на другой (а попросту говоря - укорочения или удлинения нити) достойно задачи об управлении космическим кораблём, где уж никакой ниточки не привяжешь и за неё не потянешь. Там надо подчиняться законам гравитации, что и делает задачу перехода с орбиты на орбиту как математически, так и технически непростой.
Но здесь-то чего мудрить? Укоротил или, наоборот, "стравил" (освободил на определённую длину) нить в том режиме, в каком "терпит рука" или позволяет механизм типа ворота, и всё решение проблемы!
Можете осуществить этот процесс при (теоретически и практически) нулевом радиальном ускорении, а можете - "рывком" (т.е. теоретически как бы в виде дельта-функции Дирака). Конечный эффект всё равно будет один и тот же: закон сохранения импульса сам "позаботится" о том, чтобы при определённой длине нити была не какая-то, а строго определённая величина линейной скорости вращающейся массы.
