Под бездиссипативными проводящими средами будем понимать такие, в которых заряды могут двигаться без потерь. К таким средам в первом приближении могут быть отнесены сверхпроводники, свободные электроны или ионы в вакууме (в дальнейшем проводники). Для электронов в указанных средах в отсутствии магнитного поля уравнение движения имеет вид:
\[
m\frac{{d\vec v}}
{{dt}} = e\vec E
\]
(1)
В данном уравнении считается, что заряд электрона отрицательный. В работе [1] показано, что это уравнение может быть использовано и для описания движения электронов в горячей плазме. Поэтому оно может быть распространено и на этот случай.
Используя выражение для плотности тока
\[
\vec j = ne\vec v
\]
(2)
из (1) получаем ток проводимости
\[
\vec j_L = \frac{{ne^2 }}
{m}\int {\vec E_{} dt}
\]
(3)
В соотношении (2) и (3) величина \[ n
\] представляет плотность электронов. Введя обозначение
\[
L_k = \frac{m}
{{ne^2 }}
\]
(4)
находим
\[
\vec j_L = \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt}
\]
(5)
В данном случае величина \[ L_k
\] представляет удельную кинетическую индуктивность носителей заряда [2,3]. Ее существование связано с тем, что заряд, имея массу, обладает инерционными свойствами. Для случая гармонических полей \[ \vec E = \vec E_0 \sin \omega t
\] соотношение (5) запишется:
\[
\vec j_L = - \frac{1}
{{\omega L_k }}\vec E_0 \cos \omega t
\]
(6)
Здесь и далее для математического описания электродинамических процессов будут в большинстве случаев, вместо комплексных величин, использоваться тригонометрические функции с тем, чтобы были хорошо видны фазовые соотношения между векторами, представляющими электрические поля и токи.
Из соотношения (5) и (6) видно, что \[ \vec j_L
\] представляет индуктивный ток, т.к. его фаза запаздывает по отношению к напряжённости электрического поля на угол 90 градусов .
Если рассматриваемые электроны находятся в вакууме, то при нахождении суммарного тока нужно учитывать и ток смещения
\[
\vec j_\varepsilon = \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} = \varepsilon _0 \vec E_0 \cos \omega t
\]
Видно, что этот ток носит ёмкостной характер, т.к. его фаза на 90 градусов опережает фазу напряжённости электрического поля. Таким образом, суммарная плотность тока составит [2-4]:
\[
\vec j_\sum = \varepsilon _0 \frac{{\partial _{} \vec E}}
{{\partial _{} t}} + \frac{1}
{{L_k }}\int {\vec E_{} dt}
\]
или
\[
\vec j_\Sigma = \left( {\omega \varepsilon _0 - \frac{1}
{{\omega L_k }}} \right)_{} \vec E_0 \cos \omega t
\]
(7)
Если электроны находятся в материальной среде, то следует ещё учитывать и наличие положительно заряженных ионов. Однако при рассмотрении свойств таких сред в переменных полях, в связи с тем, что масса ионов значительно больше массы электронов, их наличие обычно не учитывается.
В соотношении (7) величина, стоящая в скобках, представляет суммарную реактивную проводимость данной среды и состоит, в свою очередь, из емкостной и индуктивной проводимости
\[
\sigma _\Sigma = \sigma _C + \sigma _L = \omega \varepsilon _0 - \frac{1}
{{\omega L_k }}
\]
Соотношение (7) можно переписать и по-другому:
\[
\vec j_\Sigma = \omega \varepsilon _0 \left( {1 - \frac{{\omega _0^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right)_{} \vec E_0 \cos \omega t
\]
где \[ \omega _0 = \sqrt {\frac{1}
{{L_k \varepsilon _0 }}}
\] плазменная частота плазменных (ленгмюровских) колебаний.
И здесь возникает большой соблазн назвать величину
\[
\varepsilon *(\omega ) = \varepsilon _0 \left( {1 - \frac{{\omega _0^2 }}
{{\omega ^2 }}} \right) = \varepsilon _0 - \frac{1}
{{\omega ^2 L_k }}
\]
зависящей от частоты диэлектрической проницаемостью плазмы, что и сделано во всех существующих работах по физике плазмы, в том числе и в курсе Ландау. Но это грубая ошибка, т.к. данный математический символ является сборным параметром, в который одновременно входит диэлектрическая проницаемость вакуума и удельная кинетическая индуктивность зарядов.
