- Функции синуса и косинуса векторов Е и Н в одной точке ЭМ волны по ЗФ - это функции времени, а не длины пути. Сто раз повторять?
- В окрестности каждой точки фазы по всему периметру стремятся к одной величине, да они и не учитываются в ЗФ, поле в ЗФ считается мгновенным по скорости. Это обстоятельство ЗФ Менде хорошо описывает и решает.
Дмитрий Николаевич,
Сугубо из уважения к Вашему болезненному состоянию изложу общеизвестною процедуру вычисления ротора поля. Кстати, я опять-таки из уважения к Вам, как к узкому специалисту по интегральному исчилению, укажу, что ротор - это оператор дифференциальный (а не интегральный), поэтому в круг Вашей компетенции он, очевидно, не входит и Вам придется полагаться в этом вопросе на мнение других специалистов.
------------------------
Итак, рассматривается плоская линейно поляризованная электромагнитная волна, распротраняющуся вдоль оси x. Все величины в такой волне есть фунции фазы, \[ \phi=kx-\omega t. \] Без ограничения общности плоскость поляризации волна считаем направленной по координатной оси y, так что вектор электрического поля имеет только одну отличную от нуля компоненту \[ E_y, \] при этом магнитное поле, очевидно, имеет только одну отличную от нуля компоненту \[ H_z. \].
Обсудим применение уравнения индукции \[ rot\,\overrightarrow{E}=-\frac1c\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}\qquad(1) \]в выбранной за начало координат точке (0,0,0) и для момента времени t=0. Очевидно, только z-компонента векторного уравнения (1) отлична от нуля. В правой части (1) частную производную по времени от Н(ф) вычислим через предел:
\[ \left(-\frac1c\frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}\right)_z=-\frac1c\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{H_z(k\cdot0-\omega\Delta t)-H_z(k\cdot0-\omega\cdot0)}{\Delta t}=\frac{\omega}c\frac{dH_z}{d\phi}=k\frac{dH_z}{d\phi} \]
В левой же части (1) не прибегая к общеизвестному покомпонентному выражению для ротора вектора, вычислим его через предел отношения циркуляции от электрического поля по контуру в плоскости x,y к площади этого контура:
\[ \left(rot\,\overrightarrow{E}\right)_z=\lim_{\Delta x\rightarrow0,\,\Delta y\rightarrow0}\frac{\int{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}}{\Delta x\Delta y}. \]
Выбирая в малой окрестности точки (0,0,0) прямоугольный контур интегрирования в плоскости x,y получаем следующие выражения для вкладов в интеграл циркуляции от отдельных отрезков:
\[ [(0,0);(\Delta x,0)]:\int{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}=0 \]
\[ [(\Delta x,0);(\Delta x,\Delta y)]:\int{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}=E_y(k\cdot\Delta x -\omega\cdot 0)\Delta y \]
\[ [(\Delta x,\Delta y);(0,\Delta y)]:\int{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}=0 \]
\[ [(0,\Delta y);(0,0)]:\int{\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}}=-E_y(k\cdot0 -\omega\cdot 0)\Delta y \]
Отсюда
\[ \left(rot\,\overrightarrow{E}\right)_z=\lim_{\Delta x\rightarrow0 }\frac{E_y(k\cdot\Delta x -\omega\cdot 0)-E_y(k\cdot0 -\omega\cdot 0)}{\Delta x}=k\frac{dE_y}{d\phi}. \]
Таким образом, доказано, что в плоской волне уравнение индукции сводится к уравнению
\[ \frac{dH_z}{d\phi}=\frac{dE_y}{d\phi}\qquad=>\qquad E_y(\phi)=H_z(\phi). \]