В Генеральную Прокуратуру Российской Федерации (проект)

[Петров А. М.]

На этом в данной задаче можно было бы поставить точку, если бы авторы «Механики» не взялись показать, что они могут решить эту задачу другим путём, исходя из энергетических характеристик осциллятора, которые они якобы способны определить заранее, ещё не имея решения задачи. Применив лагранжево-гамильтонов формализм, они ввели в оборот величину «дополнительной потенциальной энергии системы -xF(t)», которую вычли из функции Лагранжа и, соответственно, прибавили к функции Гамильтона (представляющей полную энергию системы). Однако, оказалось, что при резонансе величина -xF(t) возрастает линейно во времени и поэтому не выражает ни работы внешней силы, ни энергии системы, которые, как было показано выше, изменяются во времени по квадратичному закону.
Несомненно, здесь налицо явная  ошибка авторов «Механики», превысивших пределы компетенции лагранжево-гамильтонова формализма. Однако, представители «научного официоза» признавать эту ошибку категорически отказываются. Мол, во-первых, нельзя «идти против всех». А, во-вторых, «Механика» Ландау-Лифшица уже стала «стандартным вводным учебником аналитической механики для физиков в большинстве университетов Запада».
На это мы ответим так. Во-первых, кроме Ландау-Лифшица, больше никто, как из отечественных, так и зарубежных авторов книг по теоретической механике, столь глупо «в лужу не сел»: все на словах отдают дань «научно-дипломатическому протоколу», т.е. простейшие разделы теории (относящиеся к замкнутым системам) излагают «птичьим языком» лагранжево-гамильтонова формализма, но, как только доходят до явления резонанса, либо переходят на нормальный язык науки-физики, либо дальше избегают обсуждать эту тему, так что никаких ошибок не допускают. Во-вторых, когда единственным распространителем откровенной лженауки в студенческих аудиториях не только в нашей стране (это ещё куда ни шло: «своя зараза»!), но и за рубежом, выступает «книга из России», тут уж надо изо всех сил постараться нам самим первыми исправить ошибку и, конечно, извиниться за неё, не дожидаясь, когда начнут произноситься  вслух соответствующие, не очень приятные, «эпитеты» в наш адрес.
В подтверждение того, что ни у кого из других авторов подобных ошибок нет, заглянем в названные оппонентом «стандартные несоветские курсы механики Голдстейна и Ланцоша» (фамилии Тейлора в числе авторов таких учебников мне не встретилось), затем ещё раз откроем учебник И.И.Ольховского, после чего прочитаем и то, что по данному вопросу пишут профессиональные математики – нынешний директор ведущего математического института РАН (и, по совместительству, вице-президент РАН) В.В.Козлов и (к сожалению, в 2010 году ушедший из жизни) академик РАН В.И.Арнольд, ученик А.Н.Колмогорова.

[Петров А. М.]

Итак, Г.Голдстейн. Классическая механика, 1957, с.361:
«§10.3. Вынужденные колебания и диссипативные силы.
Свободные колебания возникают в том случае, когда систему выводят из положения равновесия и затем предоставляют самой себе. Однако часто наблюдаются такие колебания, при которых внешние силы действуют на систему не только в момент t=0, но и в дальнейшем. Частота такого вынужденного колебания определяется тогда не собственными частотами системы, а частотой возмущающей силы. Что же касается вычисления амплитуд таких колебаний, то эта задача  сильно упрощается, если пользоваться главными координатами, полученными при исследовании свободных колебаний… В главных координатах  уравнения движения будут иметь вид
d²ξi /dt²+ω²ξi=Qi,                                                                       (10.58)
т.е. будут представлять систему, состоящую из n неоднородных дифференциальных уравнений. Зная функции Qi(t), мы можем решить её…
Изменение возмущающей силы со временем часто совершается по синусоидальному закону. Примером может служить возмущающая сила в виде звуковой волны, действующей на систему, т.к. Qi  будет иметь тогда ту же частоту, что и звуковая волна. Другой пример даёт нам многоатомная молекула, на которую падает пучок монохроматического света. В этом случае на каждый атом молекулы будет действовать возмущающая электрическая сила, изменяющаяся с частотой падающего света.
…Амплитуда каждого колебания определяется двумя факторами. Первый из них – это амплитуда возмущающей силы… Вторым фактором является близость частот возмущающей силы и свободного колебания… Формально мы получаем при ω=ωi даже бесконечно большую амплитуду, что представляет хорошо известное явление резонанса…».
Как видим, никакой «игры» терминами лагранжево-гамильтонова формализма здесь нет. Разговор строго по делу. А, между тем, сам автор в Предисловии отмечает:
«Большое место в книге отведено каноническим преобразованиям, скобкам Пуассона, теории Гамильтона-Якоби и переменным  действие-угол. Дано также введение в теорию вариационных  принципов для непрерывных систем и полей…».

[Петров А. М.]

К.Ланцош. Вариационные принципы механики, 1965.
Автор строго придерживается заявленной темы книги, и это вынуждает его само понятие резонанса из рассмотрения исключить. Подступая же к границам  области применимости вариационных принципов, автор сам эти границы нигде не нарушает и предостерегает от этого опрометчивого шага других исследователей.
С.40: «С точки зрения вариационных принципов механики голономные и неголономные связи различаются очень сильно. Хотя уравнения механики и могут быть записаны в случае  неголономных связей, но эти  уравнения нельзя получить из общего принципа, приравнивая нулю вариацию от определённой величины».
Сс.55-56: «…Существенное различие между реономной и склерономной системами заключается в следующем: для склерономной системы имеется фундаментальная величина, интерпретируемая как “полная энергия” системы, которая сохраняется при движении… В общем случае, однако, приходится возвратиться к силовой функции U. И, более того, если U зависит от времени, то пропадает самый смысл определения “потенциальной энергии” как другой формы энергии, компенсирующей потерю или рост энергии кинетической. Действительно, фундаментальной величиной аналитической механики является не потенциальная энергия, а силовая функция, хотя физикам и инженерам более знакомо первое понятие… Для реономных систем не выполняются никакие законы сохранения…».
А вот выдержка специально для оппонента (обратите внимание на год 2-го издания книги –1965), сс.344-351:
«Хотя в то время, когда Гамильтон создавал свою теорию кватернионов, идея о четырёхмерной вселенной была ещё не известна, его кватернионы исключительно удобны для изучения общих свойств произвольного преобразования Лоренца… Кватернион может быть интерпретирован как вектор в пространстве четырёх измерений (4-вектор). На языке кватернионов может быть записан ряд свойств электромагнитного поля (например, уравнения Максвелла). Однако исчисление  кватернионов особенно удобно для изучения преобразований Лоренца… Произвольное (собственное) преобразование Лоренца, имеющее физический смысл, можно охарактеризовать произведением кватернионов… Представление произвольного поворота трёхмерного пространства с помощью действительного кватерниона единичной длины было известно и использовалось ещё Эйлером».
И.И.Ольховский. Курс теоретической механики для физиков, 1978, сс.300-302:
«§ 6.5. Вынужденные колебания.
…Сначала исследуем систему с одной степенью свободы, на которую действует вынуждающая сила, гармонически зависящая от времени. В этом случае уравнение движения имеет вид
аd²ξ/dt²+bdξ/dt+сξ=Qcos(ωt+β),                                                           (6.67)
где Q, ω и β – соответственно амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы.
…Частное решение уравнения (6.67)
ξ =а(ω)cos[ωt+β+Δβ(ω)].                                                                     (6.73)
…Если ω≈ω0, а затухание достаточно мало, то имеет место резонанс, т.е. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний… Резонансные свойства амплитудных характеристик лежат в основе устройства “усилителей” и “фильтров”».
Автор чётко объясняет, почему он, в отличие от Ландау-Лифшица, не применяет для решения задачи о вынужденных колебаниях аппарат лагранжианов-гамильтонианов (с.66):
«…Не зная закона движения точки, т.е. функции r(t), нельзя вычислить работу на конечном перемещении точки. Для вычисления конечного изменения кинетической энергии в общем случае надо знать решение уравнения движения».
В.В.Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. – Ижевск: изд-во Удм. гос. ун-та, 1995, 432 с.
Из Предисловия (с.7): «…Как показал ещё Пуанкаре, интегрируемости гамильтоновых систем препятствуют резонансные явления, связанные с разрушением инвариантных резонансных торов при добавлении возмущения… Другие известные в настоящее время препятствия к интегрируемости – расщепление асимптотических поверхностей и ветвление решений в плоскости комплексного времени – также тесно связаны с резонансами…
Обсуждение резонансных явлений в связи с проблемой интегрируемости содержится в главах IV-VIII. Изложенные методы позволяют дать строгие доказательства неинтегрируемости многих актуальных проблем динамики…
Книга предназначена в первую очередь для молодых механиков и математиков, которые имеют возможность попробовать свои силы в этой увлекательной области, где имеется ещё много важных нерешённых проблем. В.Козлов».
В свете вышесказанного, прошу считать меня «молодым механиком и математиком», откликнувшимся на этот призыв ведущего математика страны! И первое, что я обязан отметить: В.В.Козлов в исследовании резонансных явлений не допустил ни единой ошибки. Он строго доказал, что методология лагранжианов-гамильтонианов для исследования резонансных систем непригодна и, естественно, поэтому не стал этим заниматься, но, тем не менее, предложил молодым испытать себя в этом деле и, в порядке самообразования и привития вкуса к науке, «набить побольше шишек»…

[Петров А. М.]

Арнольд В.И. Математические методы классической механики.- 3-е изд. – М.: Наука, 1989, 472 с.
Из аннотации: «…Центральное место в книге занимают не вычисления, а геометрические понятия (фазовые пространства и потоки, векторные поля, группы Ли) и их приложения в конкретных механических ситуациях (теория колебаний, механика твёрдого тела, гамильтонов формализм)».
Поскольку исследования автора относятся исключительно к гамильтоновым системам, он неоднократно, по мере изложения материала, даёт понять, что лагранжево-гамильтонов формализм резонансные явления не описывает и к ним никакого отношения не имеет.
С.96: «…В лагранжевой системе, в отличие от общей системы линейных дифференциальных уравнений, резонансные члены вида tsinωt и т.п. не возникают даже в случае кратных собственных чисел».
С.175: «Симплектическая структура на многообразии – это замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма на нём. Фазовые пространства механических систем имеют естественные симплектические структуры… Векторное поле на симплектическом многообразии, соответствующее дифференциалу функции, называется гамильтоновым векторным полем. Векторное поле на многообразии задаёт фазовый поток: однопараметрическую группу диффеоморфизмов. Фазовый поток гамильтонова векторного поля на симплектическом многообразии сохраняет симплектическую структуру фазового пространства».
С.179: «Теорема. Задающая симплектическую структуру форма ω² является интегральным инвариантом гамильтонова фазового потока».
С.181: «Закон сохранения энергии. Теорема. Функция Н является первым интегралом гамильтонова фазового потока с функцией Гамильтона Н».
С.188: «…Обобщение теоремы Э.Нётер. Теорема. Если функция Гамильтона Н, заданная на симплектическом многообразии (М²ⁿ, ω²), выдерживает однопараметрическую группу канонических преобразований, заданную гамильтонианом F, то F есть первый интеграл с функцией Гамильтона Н».
С.215: «Принцип наименьшего действия в форме Мопертюи-Эйлера-Лагранжа-Якоби.
Теорема. Если функция Гамильтона Н=Н(p,q) не зависит от времени, то фазовые траектории канонических уравнений, лежащие на поверхности М²ⁿ־¹: Н(p,q)=h, являются экстремалями интеграла ∫pdq в классе кривых, лежащих на М²ⁿ־¹ и соединяющих подпространства q=q0 и q=q1…
Следствие. Среди всех кривых q=γ(τ), соединяющих две точки q0 и q1 на плоскости q и параметризованных так, что функция Гамильтона имеет фиксированное значение
Н(∂L/∂(dq/dt),q)=h, траекторией уравнений динамики является экстремаль интеграла “укороченного действия”
∫pdq=∫p(dq/dt)dτ=∫[∂L/∂(dq/dt)])(τ) [dq/dt](τ) dτ.
Это и есть принцип наименьшего действия в форме Мопертюи (Эйлера-Лагранжа-Якоби)…
“Почти во всех учебниках, даже в лучших, этот  принцип представлен так, что его нельзя понять” (Якоби К. Лекции по динамике, 1842-1843. – М.; Л.: ОНТИ, 1936). Не решаюсь нарушить традицию».
После процитированного невольно хочется повторить восклицание сатирика-юмориста: «Столько образования на недожаренный бифштекс?!». Если вышеприведённые математические выкладки и имеют какое-то отношение к реальной механике, то только «в давно прошедшем времени», а, может быть, даже и «в ещё не начинавшемся» по причине полной оторванности от насущных проблем человечества. Сколько можно «теоретически мусолить» математический аппарат, адекватный замкнутым системам, игнорируя, в частности, постановку  исследований таких открытых систем, как резонансные? Ведь явление резонанса лежит в основе практически всех, пока ещё остающихся загадочными для науки, физических процессов, связанных с вращениями и колебаниями.
«Официальная» наука не в состоянии ничем ответить на вызовы времени, кроме повторения пришедших из науки XVIII-XIX веков «запретов» типа пресловутых «законов сохранения». Неужели и в XXI веке, по злой ли воле или невежеству и лени нынешних высших чиновников науки и образования, наука будет по-прежнему насильно удерживаться в «детской колыбели», правда, давно уже больше напоминающей «прокрустово ложе»?!

[Herodotus]

К.Ланцош. Вариационные принципы механики, 1965.
Автор строго придерживается заявленной темы книги, и это вынуждает его само понятие резонанса из рассмотрения исключить. Подступая же к границам  области применимости вариационных принципов, автор сам эти границы нигде не нарушает и предостерегает от этого опрометчивого шага других исследователей.
С.40: «С точки зрения вариационных принципов механики голономные и неголономные связи различаются очень сильно. Хотя уравнения механики и могут быть записаны в случае  неголономных связей, но эти  уравнения нельзя получить из общего принципа, приравнивая нулю вариацию от определённой величины».
Сс.55-56: «…Существенное различие между реономной и склерономной системами заключается в следующем: для склерономной системы имеется фундаментальная величина, интерпретируемая как “полная энергия” системы, которая сохраняется при движении… В общем случае, однако, приходится возвратиться к силовой функции U. И, более того, если U зависит от времени, то пропадает самый смысл определения “потенциальной энергии” как другой формы энергии, компенсирующей потерю или рост энергии кинетической. Действительно, фундаментальной величиной аналитической механики является не потенциальная энергия, а силовая функция, хотя физикам и инженерам более знакомо первое понятие… Для реономных систем не выполняются никакие законы сохранения…».

В.В.Козлов в исследовании резонансных явлений не допустил ни единой ошибки. Он строго доказал, что методология лагранжианов-гамильтонианов для исследования резонансных систем непригодна и, естественно, поэтому не стал этим заниматься, но, тем не менее, предложил молодым испытать себя в этом деле и, в порядке самообразования и привития вкуса к науке, «набить побольше шишек»…

Итак, А.М.Петров решил продолжить самообразование ещё дальше за пределы своих способностей к абстрактному мышлению путём чтения дополнительной литературы по механике. Шишек он себе, несомненно, набил ещё больше. Увы, к результатам этого упражнения A.M.П. с полным основанием применимы слова В.И. Ульянова (Ленина): "Читать - читали и переписать - переписали, а что к чему, не поняли".


Например, цитируя Ланцоша, А.М.П. так и не осознал, что фраза "в реономных системах пропадает самый смысл определения “потенциальной энергии” как другой формы энергии, компенсирующей потерю или рост энергии кинетической" относится непосредственно к его, А.М.П.-вским, неправильным попыткам отождествить правильно введённую в ЛЛ1 функцию с работой внешних сил.

А.М.П., как и все альты, "филолог", и лично для него было бы удобнее, если бы потенциальную энергию называли "минус силовой функцией" (как это делает Ланцош) в том случае, когда она явно зависит от времени. Однако для физика в таких лингвистических различиях нет особого смысла. Например, если тело скользит по наклонной плоскости с углом наклона a, его потенциальная энергия равна U(x) = mgx tg a. Довольно нелепо было бы тут же "переназывать" её минус силовой функцией, если угол окажется зависящим от времени: U(x,t) = mgx tg a(t). Главное - не забывать, что связь бесконечно малой работы системы с дифференциалом потенциальной энергии сохраняется "только если  при нахождении дифференциала dU время t считать константой" (Ланцош, стр. 52). Но именно это А.М.П. не то что забывает, а упорно отказывается понимать. (Как, впрочем, и то, что для справедливости вариационного принципа никакие законы сохранения и не требуются, и что неголономные связи прекраснейшим образом рассматриваются в рамках ненавистной лагранжевой динамики.) Следует отметить откровенное враньё А.М.П., что Ланцош якобы не рассматривает резонанc, потому что к нему неприменимы вариационные принципы, "и предостерегает от этого опрометчивого шага других исследователей".  

О детсадовских попытках А.М.П. поиздеваться над книгой Арнольда - в которых А.М.П. в очередной раз продемонстрировал своё интеллектуальное убожество и ничтожество - стоит упомянуть исключительно для полноты картины.  

Кстати, А.М.П совершенно не понимает, о каких резонансных явлениях идёт речь в цитируемой работе Козлова, радостно хватаясь за знакомое слово ("филолог"!) (никакими "загадками вращений и колебаний" там и не пахнет, за полным их (загадок) отсутствием). Он не знает и того, какую выдающуюся роль сыграл в их исследовании "оторванный от жизни" Арнольд,   используя именно лагранжианы и гамильтонианы.  

[Петров А. М.]

Давайте не уходить от того, из-за чего "сыр бор загорелся".
Всё довольно прозрачно: "энергия" -xF(t) появляется вместо интеграла работы внешней силы. Поскольку найти этот интеграл заранее, не имея решения задачи, невозможно, то заменяется этот интеграл "прикидочным расчётом", правильность которого тоже заранее проверить невозможно. Зато аппарат частных производных подтверждает: всё верно, поскольку частная производная от этой "энергии" равняется внешней силе.
А вот когда задача решена, и приходит время составить не "прикидочный", а точный энергетический баланс, тут и выяснятся, что, во-первых, эту "энергию" некуда пристроить (закон её изменения - линейный во времени, как у координаты х, поскольку внешняя сила имеет постоянную амплитуду, а обе части энергетического баланса изменяются по квадратичному закону!), а, во-вторых, откуда теперь взять вторую часть энергетического баланса, т.е. работу внешней силы? Интегрировать по Ньютону - значит, признать ошибочность прежнего "прикидочного" расчёта. В общем, надо признавать ошибку. Другого выхода нет!
Ну, а по поводу других авторов приводите свои цитаты. Сравним.

[aid]

Если Вы хотите найти здесь ошибку, то Вы должны прибавить, как это и делается в теормеханике, -xF(t) в функцию Гамильтона и доказать, что полученная сумма не равна интегралу от частной производной от -xF(t) по времени:
\[ E-xF(t)\ne-\int{x\frac{dF}{dt}dt} \]

Петров, Вы это видели?

[Herodotus]

Петров, Вы это видели?

Риторический вопрос. Надо спрашивать:"Петров, вы это поняли?" Хотя это тоже вопрос риторический.  

[Дмитрий Мотовилов]

В прокуратуру - это перебор. Однако альтернативный взгляд имеет право на сосуществование. Просто потому, что в нём есть посыл чему-то новому для других, ещё непонятному и непринятому.

[Петров А. М.]

"Вы должны прибавить, как это и делается в теормеханике, -xF(t) в функцию Гамильтона".

Я показал, что этого не делает ни один из авторов, на которых ссылается оппонент. Приведите хотя бы один пример подобного тому, что совершили Ландау-Лифшиц. Вы мне предлагаете "сыграть по шулерским правилам": поскольку аппарат частных производных не адекватен данной задаче, то почему я должен его применять?
Давайте идти от физики резонансного процесса: входная функция имеет постоянную амплитуду, колебания в системе имеют амплитуду, растущую во времени линейно, энергия системы растёт по квадратичному закону. Растёт за счёт чего? За счёт работы внешней силы. Значит, величина этой работы тоже должна во времени возрастать по квадратичному закону, иначе энергетический баланс "не сойдётся". Где в этой логической цепочке событий место "энергии" -хF(t)?  

[aid]

"Вы должны прибавить, как это и делается в теормеханике, -xF(t) в функцию Гамильтона".

Я показал, что этого не делает ни один из авторов, на которых ссылается оппонент. Приведите хотя бы один пример подобного тому, что совершили Ландау-Лифшиц. Вы мне предлагаете "сыграть по шулерским правилам": поскольку аппарат частных производных не адекватен данной задаче, то почему я должен его применять?

Т.е. теперь адекватность или неадекватность аппарата задаче доказывается тем, использовали ли его авторитеты?
А я наивно полагал, что неадекватность доказывается путем решения задачи и демонстрации, что аппарат приводит к неверным результатам.

[Петров А. М.]

Это вы апеллируете к авторитетам и вынуждаете меня их цитировать. Впрочем, и это вас не убеждает.
Я-то как раз даю точное решение задачи (не мною выполненное и всеми признанное!) и предлагаю всего лишь найти в нём место надуманной, не имеющей никакого физического смысла и противоречащей точным математическим выкладкам "дополнительной потенциальной энергии системы -хF(t)". Ответа нет, одни "стенания".

[Herodotus]

Т.е. теперь адекватность или неадекватность аппарата задаче доказывается тем, использовали ли его авторитеты?
А я наивно полагал, что неадекватность доказывается путем решения задачи и демонстрации, что аппарат приводит к неверным результатам.

Это вы апеллируете к авторитетам и вынуждаете меня их цитировать. Впрочем, и это вас не убеждает.
Я-то как раз даю точное решение задачи (не мною выполненное и всеми признанное!) и предлагаю всего лишь найти в нём место надуманной, не имеющей никакого физического смысла и противоречащей точным математическим выкладкам "дополнительной потенциальной энергии системы -хF(t)". Ответа нет, одни "стенания".

Положение ещё забавнее. А.М.П. привычно либо врёт, либо не в состоянии понять прочитанного. В том самом разделе книги Ланцоша, который он цитировал, указывается, как связана внешняя сила с силовой функцией (уравнения (1.7.8) и (1.7.13)). В частности, из уравнения (1.7.8) в одно действие следует появление вклада -xF(t). Конечно, Ланцош рассчитан на читателей, способных проделать такое действие...  

[aid]

Это вы апеллируете к авторитетам и вынуждаете меня их цитировать. Впрочем, и это вас не убеждает.
Я-то как раз даю точное решение задачи (не мною выполненное и всеми признанное!) и предлагаю всего лишь найти в нём место надуманной, не имеющей никакого физического смысла и противоречащей точным математическим выкладкам "дополнительной потенциальной энергии системы -хF(t)". Ответа нет, одни "стенания".

Неверно. Именно Вы должны доказать, что метод ЛЛ не дает правильного результата. Доказать математически, а не тем, что "авторитеты этот метод не используют" ?
Казалось бы, чего проще - решение есть. Посчитать полную производную по времени от энергии, посчитать частную производную по времени от нестационарной потенциальной энергии, сравнить. Но Вы этого не сделаете никогда, т.к. при этом Вам придется признать себя ослом.

[В.И.Костицын]

"Вы должны прибавить, как это и делается в теормеханике, -xF(t) в функцию Гамильтона".

Я показал, что этого не делает ни один из авторов, на которых ссылается оппонент. Приведите хотя бы один пример подобного тому, что совершили Ландау-Лифшиц. Вы мне предлагаете "сыграть по шулерским правилам": поскольку аппарат частных производных не адекватен данной задаче, то почему я должен его применять?
Давайте идти от физики резонансного процесса: входная функция имеет постоянную амплитуду, колебания в системе имеют амплитуду, растущую во времени линейно, энергия системы растёт по квадратичному закону. Растёт за счёт чего? За счёт работы внешней силы. Значит, величина этой работы тоже должна во времени возрастать по квадратичному закону, иначе энергетический баланс "не сойдётся". Где в этой логической цепочке событий место "энергии" -хF(t)?  

Так держать, Петров!
Не давай ортам спуску. Ты прав в любом случае, потому что закрытых систем в природе не существует.
Конечно, проще написать уравнение с неправильной силой, чем искать физический смысл дополнительной берущейся "из ничего" энергии.

[aid]

Так держать, Петров!
Не давай ортам спуску. Ты прав в любом случае, потому что закрытых систем в природе не существует.

Тогда надо писать: ты не прав в любом случае.

[aid]

Геродот верно отметил. Цитирую Ланцоша: Определение силовой функции на основе выражения (1.7.5) слишком ограничено. В природе имеются силы, определяемые силовой функцией, зависящей от времени: U = = V(ql, q2, ..., qn, t). Уравнение (1.7.5) при этом остается
справедливым, только если при нахождении дифференциала dU время t считать константой. Уравнения (1.7.7) и (1.7.8)
остаются справедливыми, но свойство сохранения энергии системы уже теряется. Обобщенная сила, не будучи консервативной, имеет силовую функцию.

То же самое цитировали из Ольховского.
Но Петров с упорством, достойным лучшего применения, продолжает твердить, что авторитеты не подтверждают ЛЛ потому, что не применяют этого метода в конкретном примере  ?

[Петров А. М.]

Herodotus:
Положение ещё забавнее. А.М.П. привычно либо врёт, либо не в состоянии понять прочитанного.  В том самом разделе книги Ланцоша, который он цитировал, указывается, как связана внешняя сила с силовой функцией уравнения (1.7.8) и (1.7.13)). В частности, из уравнения (1.7.8) в одно действие следует появление вклада –xF(t). Конечно, Ланцош рассчитан на читателей, способных проделать такое действие...
aid:
Казалось бы, чего проще –  решение есть. Посчитать полную производную по времени от энергии, посчитать частную производную по времени от нестационарной потенциальной энергии, сравнить. Но Вы этого не сделаете никогда, т.к. при этом Вам придётся признать себя ослом.

В моих цитатах из книги Ланцоша есть искажения? Или я утверждал, что в книге о вариационных методах автор этих методов не применяет? Я констатировал, что он не применяет эти методы, включая формулы (1.7.8) и (1.7.13), там, где этот аппарат не работает, а, именно, для анализа резонансных систем, которых он даже не касается. Попутно мы выяснили, что для анализа резонансных систем этот аппарат не применяет никто, … кроме Ландау-Лифшица! К чему бы это?
Можно (в каких угодно интересах, но только не в научных!) утверждать, что Ландау-Лифшица правы в некой «виртуальной реальности» и признать их заигравшимися по правилам лагранжево-гамильтонова формализма «сорванцами», сгоряча (не оценивши всех последствий) «залезшими в чужой огород». Давайте, мол, посмотрим на ситуацию их «виртуальными» глазами: возьмём частную производную … и т.д. И, в итоге, окажется, что жулик тот, кто их в этом «чужом огороде» схватил за руку…
Итак, всё, что касается ньютонова баланса сил (или баланса мощностей: кстати, его тоже невозможно вычислить без решения задачи), давайте не подвергать сомнению и не проверять, какими способами можно «подогнать» к ним любую «виртуальную реальность». Сейчас нас интересует только единственное и физически реальное расхождение между двумя методами решения задачи об осцилляторе в режиме резонанса: на уровне итогового энергетического баланса, констатирующего тождественное равенство величины работы внешней силы и суммы кинетической и потенциальной энергии в любой момент времени. Мы показали, как выглядит это баланс при строгом решении задачи. Просим преъявить свой, указав место введённой ЛЛ «дополнительной потенциальной энергии –хF(t)». В любой «виртуальной реальности» (верим вам на слово!) у вас всё сойдётся. Покажите в физической реальности свой вариант энергетического баланса (тождества работы и энергии) с участием  «энергии –хF(t)» или … признайте ошибку.

[aid]

В моих цитатах из книги Ланцоша есть искажения? Или я утверждал, что в книге о вариационных методах автор этих методов не применяет? Я констатировал, что он не применяет эти методы, включая формулы (1.7.8) и (1.7.13), там, где этот аппарат не работает, а, именно, для анализа резонансных систем, которых он даже не касается. Попутно мы выяснили, что для анализа резонансных систем этот аппарат не применяет никто, … кроме Ландау-Лифшица!

Еще раз -заявление, что авторитеты не применяют к резонансным системам некоторый аппарат, не является доказательством того, что этот аппарат не работает.
  Как доказать, что он не работает, Вам написали. Другого пути в теор-физике нет.

Сейчас нас интересует только единственное и физически реальное расхождение между двумя методами решения задачи об осцилляторе в режиме резонанса: на уровне итогового энергетического баланса, констатирующего тождественное равенство величины работы внешней силы и суммы кинетической и потенциальной энергии в любой момент времени. Мы показали, как выглядит это баланс при строгом решении задачи. Просим преъявить свой, указав место введённой ЛЛ «дополнительной потенциальной энергии –хF(t)». В любой «виртуальной реальности» (верим вам на слово!) у вас всё сойдётся. Покажите в физической реальности свой вариант энергетического баланса (тождества работы и энергии) с участием  «энергии –хF(t)» или … признайте ошибку.

[/quote]

Петров, Вам это уже сто раз показывали.
dE/dt-d(xF)/dt=D(-xF)/Dt
dE/dt-vF-xdF/dt=-xdF/dt
dE/dt=vF
D - частная производная.
Жирным выделено место «дополнительной потенциальной энергии –хF(t)»

[Вашкевич Виктор]

"Вы должны прибавить, как это и делается в теормеханике, -xF(t) в функцию Гамильтона".

Я показал, что этого не делает ни один из авторов, на которых ссылается оппонент. Приведите хотя бы один пример подобного тому, что совершили Ландау-Лифшиц. Вы мне предлагаете "сыграть по шулерским правилам": поскольку аппарат частных производных не адекватен данной задаче, то почему я должен его применять?
Давайте идти от физики резонансного процесса: входная функция имеет постоянную амплитуду, колебания в системе имеют амплитуду, растущую во времени линейно, энергия системы растёт по квадратичному закону. Растёт за счёт чего? За счёт работы внешней силы. Значит, величина этой работы тоже должна во времени возрастать по квадратичному закону, иначе энергетический баланс "не сойдётся". Где в этой логической цепочке событий место "энергии" -хF(t)?  

Так энергетический баланс и не сходится.
Почему Вы обязательно хотите добиться, чтоб он сошелся?
Ну нету, нету баланса энергий при резонансе!
Почему Вы тупо требуете того, чего в резонансе нет?
Нету в резонансе баланса энергий, энергия в балансе возникает.