Теория Григория Перельмана.

[Алексей Алмазов]

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное (0,1)\times S^2), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S^3/\Gamma_i, соединённых друг с другом трубками [0,1]\times S^2. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S^3/\Gamma_i и более того все \Gamma_i тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

[Алексей Алмазов]

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n ⩾ 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в 2002 году Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных.[1] Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

[Болгарин]

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к...

Еще одна гермафродитская головоломка.

Физика надо очистится от семя Gрааля. 

[Михаил Гонца]

Автор этой темы бессовестным образом пытается навязать нам нового "гения" известного народа.
Эта "задача Пуанкаре" не стоит и выеденного яйца - ибо каждому здравомыслящему человеку очевидно, что любой мякиш (из хлеба ли, из влажной глины  или из пластилина и т.д.) легко превратить в шарик своими руками.
Кроме того известно, что эта задача раньше Перельмана была решена одной женщиной-математиком из России (поищите по Интернету).
Так что лучше эту тему удалить восвояси...

[Михаил Гонца]

То же касается и мировой шахматной короны.
Ну-ка скажите КТО сегодня Чемпион мира по шахматам?
Только быстро!

[Phil]

1. Мне кажется, что излишняя шумиха вокруг Григория Перельмана связана всё же с некоторой экстравагантностью его натуры:

"Великий французский математик Анри Пуанкаре в 1904 году сформулировал свою знаменитую гипотезу таким образом: всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере...

Для n более 4 гипотеза уже была доказана к 1982 году. Но в виде обобщения (гипотезы Тёрстона) и собственно гипотезы Пуанкаре это удалось сделать в 2002 году питерскому математику Григорию Перельману...

Так вот гипотеза Пуанкаре утверждает, что всегда найдется способ любое трехмерное тело без разрезания и склеивания превратить в шар. Казалось бы, это очевидно, но вот доказать оказалось чрезвычайно трудно...

Владимир Губайловский считает, что важно не само доказательство, которое, можно сказать, было вполне предсказуемым, — никто из математиков и не сомневался, что гипотеза Пуанкаре верна. Но техника, которая была использована Перельманом, представляется чрезвычайно продуктивной и наверняка послужит основой для разработки новых отделов этой великой науки."

http://thatif.ru/chem-cenna-rabota-grigoriya-perelmana/

2. Теория категорий тоже когда-то представлялась чрезвычайно продуктивной:

http://www.mathforum.ru/forum/read/1/6043/

3. На мой взгляд, Ю. В. Матиясевич, "которому в 1970 году удалось сделать завершающий шаг в решении одной из знаменитых проблем Гильберта, поставленных в 1900 году", должен быть не менее известен, чем Перельман. Но кто его теперь помнит?

[Болгарин]

То же касается и мировой шахматной короны.
Ну-ка скажите КТО сегодня Чемпион мира по шахматам?
Только быстро!

Наверно некий компьютеризированный гермафродит.

[Михаил Гонца]

Ну вот, видите. Не знаете Чемпиона мира по шахматам.

Это индиец Вишванатан Ананд - на днях он одержал победу и отстоял свой титул в матче за шахматную корону у Бориса Гельфанда из Израиля.

Но ему в Европе (не знаю как в самой Индии) не делают такую же рекламу как когда-то еврейским чемпионам...

[ielkin]

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное (0,1)\times S^2), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S^3/\Gamma_i, соединённых друг с другом трубками [0,1]\times S^2. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S^3/\Gamma_i и более того все \Gamma_i тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

Будет более понятно, если поясните: "Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме."

Как классификация может повлиять на диффеоморфизм?

[МаленькийГном]

Автор этой темы бессовестным образом пытается навязать нам нового "гения" известного народа.
Эта "задача Пуанкаре" не стоит и выеденного яйца - ибо каждому здравомыслящему человеку очевидно, что любой мякиш (из хлеба ли, из влажной глины  или из пластилина и т.д.) легко превратить в шарик своими руками.
Кроме того известно, что эта задача раньше Перельмана была решена одной женщиной-математиком из России (поищите по Интернету).
Так что лучше эту тему удалить восвояси...

Более информативного запроса для поиска не знаете? Уточните.

[МаленькийГном]

2. Теория категорий тоже когда-то представлялась чрезвычайно продуктивной:

http://www.mathforum.ru/forum/read/1/6043/

3. На мой взгляд, Ю. В. Матиясевич, "которому в 1970 году удалось сделать завершающий шаг в решении одной из знаменитых проблем Гильберта, поставленных в 1900 году", должен быть не менее известен, чем Перельман. Но кто его теперь помнит?

2. Другие (включая её автора) называли её абстрактной ерундой. Ну и что? Ошиблись все. Теория категорий - не универсальный метод, но удобный язык.

[Гришин Станислав Григорьевич]

Эх, есть у меня достаточный тестик на "математичность" мышления.
Трёхвопросный. Два вопроса по существу, один - сервисный.
Продолжительность по времени - не более двух минут.
Занятно было бы проверить: от Бога он такой или
просто сам молодец. Да и сам тест откалибровать ещё разик...

[Король Альтов]

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное (0,1)\times S^2), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

Простите, но с точки зрения математика - прикладника вот такое решение диффура это полная бессмыслица, поскольку заведомо понятно, что результат решения не имеет не только практического смысла, но он вообще нечто бессмысленное даже с математической точки зрения.

[ielkin]

Простите, но с точки зрения математика - прикладника вот такое решение диффура это полная бессмыслица, поскольку заведомо понятно, что результат решения не имеет не только практического смысла, но он вообще нечто бессмысленное даже с математической точки зрения.

Там не решается диффура, а показывается возможность задать гладкое многообразие без особых точек диффеоморфное гладкому многообразию с особыми точками.

[Phil]

2. Другие (включая её автора) называли её абстрактной ерундой. Ну и что? Ошиблись все. Теория категорий - не универсальный метод, но удобный язык.

Согласен. Но что толку? Что нового, интересного?

[Король Альтов]

Там не решается диффура, а показывается возможность задать гладкое многообразие без особых точек диффеоморфное гладкому многообразию с особыми точками.

Простите великодушно - я привык решать задачи, а не заниматься всякой хе--й.

[МаленькийГном]

Согласен. Но что толку? Что нового, интересного?

Универсальный язык - это мало?

[Phil]

Универсальный язык - это мало?

Не знаю, я физик, а не математик. Мне вполне хватает теории множеств. Хотел было почитать что-нибудь по теории категорий, но вот когда в своё время разбирал эту замечательную книжку, наткнулся на такую фразу:

"Начало изучения теории категорий как таковой (являющееся, согласитесь, одним из наиболее бесплодных интеллектуальных занятий) также относится к этому периоду. Впрочем, не следует сваливать всю вину на Гротендика, так как сам он применял теорию категорий к решению задач вполне успешно"

М Рид "Алгебраическая геометрия для всех" стр 127