Два мелких жулика задались целью «всех обскакать на кривой кобыле»…
Самое время напомнить историю возникновения вариационного исчисления и объяснить, при каких обстоятельствах появилась функция Лагранжа в виде разности кинетической и потенциальной энергии L=T–U.
В задаче о брахистохроне, поставленной в 1696 году Иоганном Бернулли, требовалось, для движения тела в вертикальной плоскости из точки А в точку В под действием силы тяжести (свободное падение – с ускорением g), найти форму кривой, обеспечивающей перемещение за кратчайшее время.
Понятно, что в любой точке траектории и при любом её виде должен был выполняться закон сохранения энергии:
mv²/2=mgу или T+U=mv²/2+mg(h–у)=соnst,
где v – линейная скорость движения (при t=0, v=0),
у – текущее смещение по вертикали от исходного положения,
h – максимальный перепад высот при движении по траектории.
Но принявшие участие в решении этой задачи крупнейшие математики (Исаак Ньютон, Леонард Эйлер, братья Якоб и Иоганн Бернулли, Готфрид Лебниц, Лопиталь и другие), идя каждый своим путём, заметили ещё одну важную закономерность, связанную не с суммой, а именно с разностью кинетической и потенциальной энергии тела:
T–U=mgу–mg(h–у)=–(2mg/r)(1–у/r), где r=h/2.
Оказалось, что решение задачи даёт движение точечной массы m по циклоиде, т.е. при нахождении её на ободе равномерно вращающегося и катящегося без скольжения колеса радиуса r. Причём у/r=соsφ и, соответственно, 1–у/r=1–соsφ=sin²α, где φ – угол поворота «производящего круга» (колеса), а α=φ/2 – угол наклона касательной к траектории.
Таким образом, разность L=T–U оказалась пропорциональной как вертикальному смещению, так и скорости горизонтального перемещения тела.
Такова специфика данной экстремальной вариационной задачи, где функция Лагранжа имеет чёткий физический смысл. Там же, где задача не формулируется как экстремальная вариационная, а внешние силы либо отсутствуют, либо приводятся к внутренним (заменяются неким эквивалентом в виде «дополнительной потенциальной энергии системы»), равенство нулю вариации действия эквивалентно уравнению ньютонова силового баланса (естественно, выбор того или иного математического аппарата требует обоснования, например, соображениями удобства вычислений).
Однако, посмотрим, подходит ли под этот случай задача об осцилляторе в режиме резонанса. Здесь нет необходимости прибегать к сложным, «непрозрачным» для уяснения математического и физического смысла производимых действий, выкладкам, поскольку задача чётко и строго решена на основе ньютонова силового баланса в виде дифференциального уравнения движения. Напомним результат решения задачи (воспользуемся символьными обозначениями Ландау-Лифшица; при этом начальную фазу колебаний примем равной нулю, а исчезающе малые составляюшие колебаний координаты и скорости с постоянной амплитудой опустим).
Входное воздействие F(t)=fcosωt, координата х=(ft/2mω)sinωt, скорость v=(ft/2m)cosωt, кинетическая энергия Т=(f²t²/8m)cos²ωt, потенциальная энергия U=(f²t²/8m)sin²ωt, энергия системы Е=Т+U=f²t²/8m, функция Лагранжа L=T–U=(f²t²/8m)(1–2sin²ωt)=(f²t²/8m)cos2ωt, действие (определённый интеграл берём от нуля до переменного верхнего предела t)
S=∫f²t²/8m)(cos2ωt)dt=(f²t/16mω²)sin2ωt–f²t²/16mω)cos2ωt+f²/32mω³)cos2ωt≈
≈–f²t²/16mω)cos2ωt.
Что показывают эти выкладки? То, что для осциллятора в режиме резонанса функция Лагранжа, как и интеграл от неё по времени («действие»), вырождается в функцию времени, не имеющую реального физического смысла. Вид «действия» S строго определяется согласно условиям задачи, а ввиду отсутствия в нём необходимых для варьирования параметров, при всём желании, варьировать здесь уже просто нечем!
Но эта задача изначально и ставилась как не экстремальная и не вариационная. А упорство, с каким борются за своё право, на основе совершенно абсурдных математических абстракций, безнаказанно продолжать паразитировать на теле науки нынешние руководители академической и вузовской нвуки (на Форуме – в лице их представителей), только показывает, насколько «высоки для них ставки в этой игре в науку» и как велика их боязнь ответственности за уже содеянные преступления перед наукой, страной и обществом!
