Споры о математике

[МаленькийГном]

a_n - координата в пространстве функций.

Каждой функции соответствует точка в этом пространстве: (a₁,a₂,a₃,...,a_n,...)

Не совсем так. Если Вы говорите о базисе в пространстве функций, то надо говорить, в каком пространстве. Тригонометрическая система, насколько я помню, будет базисом только в пространстве функций, интегрируемых с квадратом.

Т.е., в точках разрыва все координаты конечны, за исключением одной.

Если все координаты  (a₁,a₂,a₃,...,a_n,...), кроме одной равны нулю, то получается функция
\[ f(x)=\sin(a_{k_0}x) \]
И где у этой функции точки разрыва? Кроме того, коэффициенты в тригонометрическом ряду - это числа, не зависящие от аргумента

Не всякой функции соответствует такая последовательность. Функция, как минимум, должна быть интегрируемой.
Если ряд
\[ \sum\limits_{k=1}^{+\infty}a_k\sin(kx) \]
сходится, то
\[ \lim\limits_{k\to +\infty}a_k\sin(kx)=0 \]
(необходимое условие сходимости ряда)

[yakiniku]

Речь шла о доказательстве положительной определенности функционала
\[ \int_{x_1}^{x_2}{\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\omega^2y^2\right]dx} \]
где омега - постоянная частота осциллятора, а y(x) сколь угодно гладкая функция, обращающаяся в ноль на концах интервала интегрирования, при условии на длину интервала интегрирования
\[ (x_2-x_1)<\pi/\omega \]. Доказать это можно массой способов (через задачу Штурма-Лиувилля для самосопряженного дифференциального оператора, например), проще всего через разложение в ряд Фурье по синусам, поскольку условия гладкости гарантируют спадание амплитуд Фурье-гармоник с их номером n не хуже, чем 1/n³:

Обращающуюся в ноль на границах вариацию координаты без ограничения общности можно разложить в ряд Фурье по синусоидальным функциям:
\(y(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{y_n\sin\left(\frac{\pi n  (t-t_1)}{t_2-t_1} \right) }\)
Если интервал интегрирования не слишком длительный, а именно, \( (t_2-t_1)<\pi\sqrt{m/k} \), то положительный вклад в интеграл от квадрата производной для каждой из быстро осциллирующей Фурье-гармоник превосходит по величине отрицательный вклад от квадрата амплитуды гармоники:

А запрета дифференцировать ряд Фурье для достаточно гладкой функции я что-то не слыхал.

Алекспо, в самом деле, ему дали контрпример, а вы его стёрли вместе с цитатой неверных но высокомерных слов yakiniku.
Какой тогда смысл участвовать в этом форуме, если огрехи одной стороны выпячиваются и осмеиваются, а огрехи другой стороны - подтираются модератором аж до ликвидации ЦИТАТ?

Вранье. В его контрпримере функция не обращалась в ноль на концах отрезка. И на эту ошибку в его контрпримере ему было указано.

[Мастеров АВ]

Если все координаты  (a₁,a₂,a₃,...,a_n,...), кроме одной равны нулю, то получается функция
\[ f(x)=\sin(a_{k_0}x) \]
И где у этой функции точки разрыва?

А я обещал, что ОНА (точка разрыва) непременно будет?

Когда?
Где?
В котором месте?
________________________

Я лишь привёл пример пространства функций, принимающих нулевые значения на концах отрезка.
Только это.

Таких пространств можно привести в качестве примера бесконечно много.
Их число пропорционально числу ортогональных базисов, по которым можно раскладывать функции.

[Король Альтов]

Речь шла о доказательстве положительной определенности функционала
\[ \int_{x_1}^{x_2}{\left[\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\omega^2y^2\right]dx} \]
где омега - постоянная частота осциллятора, а y(x) сколь угодно гладкая функция, обращающаяся в ноль на концах интервала интегрирования, при условии на длину интервала интегрирования
\[ (x_2-x_1)<\pi/\omega \]. Доказать это можно массой способов (через задачу Штурма-Лиувилля для самосопряженного дифференциального оператора, например), проще всего через разложение в ряд Фурье по синусам, поскольку условия гладкости гарантируют спадание амплитуд Фурье-гармоник с их номером n не хуже, чем 1/n³. А запрета дифференцировать ряд Фурье для достаточно гладкой функции я что-то не слыхал.
Вранье. В его контрпримере функция не обращалась в ноль на концах отрезка. И на эту ошибку в его контрпримере ему было указано.

Ну сынок вылез и получишь по полной программе неуч.
Вот пример функции обращающейся в нуль на концах отрезка Y=x(2pi-x)
Ее разложение в ряд Фурье F=pi^2*2/3 - 4sum[sin(kx)/k^2].
первые производные dY/dx=2*pi-2x  => dF/dx = - 4sum[cos(kx)/k]
вторые производные d^2Y/dx^2=- 2 => d^2F/dx^2=  4sum[sin(kx)] - этот ряд расходится, поэтому разложение в ряд Фурье не может быть решением уравнения.
Так что не ври сынок, а иди учи дифференциальные уравнения.

[yakiniku]

Ну сынок вылез и получишь по полной программе неуч.
Вот пример функции обращающейся в нуль на концах отрезка Y=x(2pi-x)
Ее разложение в ряд Фурье F=pi^2*2/3 - 4sum[sin(kx)/k^2].
первые производные dY/dx=2*pi-2x  => dF/dx = - 4sum[cos(kx)/k]
вторые производные d^2Y/dx^2=- 2 => d^2F/dx^2=  4sum[sin(kx)] - этот ряд расходится, поэтому разложение в ряд Фурье не может быть решением уравнения.
Так что не ври сынок, а иди учи дифференциальные уравнения.

Откуда такие неучи на научных форумах берутся - не перестаю удивляться. Какого дифференциального уравнения, математик ты наш? В оцениваемом функционале, положительность которого доказывается,  y(x) это вариация координаты в теоретической механике, которая никакому дифференциальному уравнению не удовлетворяет.

К тому я же написал, что гармоники в разложении по синусам гладкой функции, обращающейся в ноль на концах отрезка убывают как 1/к³! А у того, что ты навалял, гармоники убывают медленнее  - да и вообще это дурь. Правильный ряд:
\[ x(2\pi-x)=\frac4\pi\sum_{k=1}^\infty{\frac{\sin[(k-1/2)x]}{(k-1/2)^3}}\qquad 0\le x\le 2\pi \]
И вообще это не столько ряд Фурье, сколько разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля для положительно определенного самосопряженного дифференциального оператора второго порядка \(Ay=(-\frac{d^2}{dt^2}-\omega^2)y\) на пространстве функций, обращающихся в ноль на концах отрезка. А с Фурье-разложением оно тесно связано, но отличие в том, что при Фурье-разложении разлагаемая функция продолжается периодически на всю действительную ось. А в задаче Штурма-Лиувилля, у которой собственные функции только нечетные синусы (но не четные косинусы) разлагаемая функция сначала нечетным образом (то есть непрерывно дифференцируемым образом) продолжается за левую границу интервала, а уж затем продолженная функция периодически продолжается на всю действительную ось и разлагается в ряд Фурье. В котором автоматически оказывается вовлеченными только синусы, но не косинусы.  

К тому же если ты всерьез считаешь, что я тебе по возрасту в сыновья гожусь, так сиди, старый пердун, на завалинке и не лезь туда, где мозги незаплесневелые нужны.  

[yakiniku]

Плод ландавшизации физики в РоссииЕсли не слыхал, то и нет в природе?  - Я смотрю, от орта до альта один шаг.
Как только чуть-чуть вышел за узкие рамки своей профессии - сразу альтом оказался.
Типа Петрова.
Даже контрпример простейший осознать не в силах третьи сутки.

Я уже много раз писал, что использовать эту ветку для личных счетов глупо. Сейчас добавлю -  и подленько: ясно же, что либо я Вам не буду отвечать, либо, разумеется, мой ответ сотрут.

А мысль Вам моя гениальной показалась исключительно из-за Вашей, Старик, безграмотности: просто ни Вы, ни Назаров, не знаете, что в ряд Фурье разлагаются периодические функции, и если эти периодические функции достаточно гладкие, то дифференцировать ряды Фурье можно.

А вот если речь идет о разложении Фурье для функции, заданной на конечном отрезке, то свойство гладкости последней может нарушаться при периодическом продолжении этой функции с конечного отрезка на всю действительную ось. На чем Вы на пару с Назаровым и навернулись: в его "контрпримере" после периодического продолжения функция даже не является непрерывной.

И, еще раз, я очень хочу и надеюсь, чтобы Ваши студенты имели возможность полюбоваться на Вас во всей красе на этом сайте. Чтобы они видели, как Вы относитесь к молодёжи, к науке и какие у Вас оригинальные взгляды на русскую культуру, на математику и на ее преподавание.

[yakiniku]

Ну, вопросов, я вижу, ни у Короля Альтов, ни у Старика больше нет. А посему возвращаю Вас обоих в игнор и покорнейше прошу с Вашими математически невежественными закидонами ко мне больше не приближаться: мне Вы как математики и как субъекты для дискуссии ни секунды не интересны.

[Мастеров АВ]

Откуда такие неучи на научных форумах берутся...

Мало того - сами себя коронуют.

[Король Альтов]

Откуда такие неучи на научных форумах берутся - не перестаю удивляться. Какого дифференциального уравнения, математик ты наш? В оцениваемом функционале, положительность которого доказывается,  y(x) это вариация координаты в теоретической механике, которая никакому дифференциальному уравнению не удовлетворяет.

Во-первых, неуч вы, а не я.
Во-вторых, вы попытались разложить вариацию решения в ряд Фурье и вам было показано на примере, что такое решение может расходиться. Вместо того чтобы признать, что вы ошиблись, вы просто изменили задачу и привели новое решение для разложения в ряд Фурье, хотя это решение никакому дифференциальному уравнению не удовлетовряет. Ваше новое разложение в ряд Фурье допускает повторное дифференицрование, но это еще не факт, что оно будет соответствовать исходному решению для второй производной - это все необходимо доказывать. В математике вы еще слабы, как ребенок, и вам поэтому надо ее долго и основательно изучать, чтобы вы смогли ее применять для прикладных задач. Повторяю вам, что ваш способ обоснования минимальности вариации для решения осцилятора это детский сад, и так никто никогда этого не делает - учите как следует математику, и тогда может быть поймете, как такие задачи решаются.
В-треьих поскольку вы постоянно грубите и позволяете себе нецензурные выражения, демонстрируя при этом дилетантизм, то у меня нет никакого желания обсуждать с вами ваши детские задачи про осцилятор, поскольку они примитины и не представляют никакого интереса, кроме как для студентов пытающихся разобраться в сложностях механики. Если вам не с кем поспорить, то попытайтесь найти себе кого нибудь другого, кого интересуют ваши несерьезные научные проблемы.

[Мастеров АВ]

А кароновал тебя кто?

И: тебе не кажется нескромным использовать фото Маршала Жукова в качестве аватарки?

[Король Альтов]

А кароновал тебя кто?
И: тебе не кажется нескромным использовать фото Маршала Жукова в качестве аватарки?

Ну чего советуешь мне свое фото поставить? Если да, то так и сделаю - твой совет для меня будет решающим. Просто по началу я не увидел возможности, как впаривать свои фотки, а потом лень стало. Но если вопрос ребром, то как скажешь - желание хорошего человека законно.
Насчет коронации - ну рискнул.  A там сам знаешь - если признают, то стало быть так тому и быть, а если нет - ну на нет и суда нет.
Однако в данном случае я уверен, что поступил правильно.
1). Когда я себе этот титул присвоил, никто этот титул в серьез не воспринимал. А теперь, когда я доказал, кто есть кто, то сразу появилась куча претендентов и завистников и амбициозных самозванцев.
2). Я этот  титул заслуживаю, как никто другой, и никогда никому не удастся меня в этом превзойти. Только доказывать я это буду уже на другом сайте - здесь как то не очень.

[Мастеров АВ]

Рискнул? Сам себя в короли записать?
Правилно сделал?

Ты от скромности не умрёшь.

[Alex-M]

Рискнул? Сам себя в короли записать?
Правилно сделал?

Ты от скромности не умрёшь.

 "=? "Но почему?  Отчего? Кто  смеет  обижать  нашего  славного, нашего рубаху - парня, как я его называю, нашего королька?"

[Alex-M]

...я себе этот титул присвоил...

 "=? Королёк... хочешь быть королём - будь им... но и не забывай, что... "Тяжела ты, шапка Мономаха"...

[Король Альтов]

"=? Королёк... хочешь быть королём - будь им... но и не забывай, что... "Тяжела ты, шапка Мономаха"...

Я так себя назвал, потому что я сокрушу всю теорию относительности и СТО и ОТО - так что шапочка будь здоров.

[Alex-M]

Я так себя назвал, потому что я сокрушу всю теорию относительности и СТО и ОТО - так что шапочка будь здоров.

 "=? ну... валяй-валяй... сокрушай... мы их... мы их шапками закидаем... шапками мономаха...

[Мастеров АВ]

Я так себя назвал, потому что я сокрушу всю теорию относительности и СТО и ОТО...

Поздно, батенька, ты собрался хоронить СТО.
Я уже это сделал.

[Alex-M]

Поздно, батенька, ты собрался хоронить СТО.
Я уже это сделал.

 "=? Искандер... мало "схоронить СТО"... необходимо ещё и колесовать всю лжефизику...

[Король Альтов]

Поздно, батенька, ты собрался хоронить СТО.
Я уже это сделал.

Санек при всем уважении к тебе как к математику прости, но истина дороже - твое опровержение СТО это несерьезно.

[Мастеров АВ]

твое опровержение СТО это несерьезно.

Не серьёзно?
Да что ты?....
Ты меня расстроил.

Что ж ты аргументов-то не привёл, чтоб опровергнуть моё опровержение?