Споры о математике

[Старик]

+@> +@> +@> <*^ <*^ <*^ +@> +@> +@> /%.& )@№
Увы мой друг случилось. После того как я на первом курсе узнал об интегральном и дифференциальном исчислении, то я был настолько восхищен этим, что через три года придумал свое совершенно новое - алгебру бесконечно малых, которая и есть кардинальное усовершенствование интегрального исчисления. Это была моя первая хорошая математическая идея.
Может я когда нибудь и соизволю открыть здесь по этому поводу форум, но там прорва математических формул и без латекса не обойтись, а мне лень.

Вы опоздали.
Дэвис. Анализ есть алгебра. 1962 год (если память не изменяет, русского перевода нет, но была брошюра Успенского)
Идея Лейбница доведена до конца. И названо это переоткрытие открытого Лейбницем - гипервещественные сила, нестандартный анализ.
В США в 1960х годах, как говорили у нас на конференциях, до трети колледжей перешли на новый способ изложения матанализа, по-видимости не содержавший вычисления пределов в обычном нашем понимании. Результат был плачевный.
Теперь таких авантюр в преподавании не делают, а нестандартным анализом продолжают заниматься. Немногие.

[Король Альтов]

Вы опоздали.
Дэвис. Анализ есть алгебра. 1962 год (если память не изменяет, русского перевода нет, но была брошюра Успенского)
Идея Лейбница доведена до конца. И названо это переоткрытие открытого Лейбницем - гипервещественные сила, нестандартный анализ.

Чепуха - я открыл совсем другое.
Вот вы не хотите читать моих работ, а сами говорите, что я бездельник - ну несерьезно право.
И какому же идиоту вы 4 часа доказывали, что интеграл от гаусовой шапочки имеет вот такую форму?
Написали бы ему интеграл и послали бы на 3 буквы. Можно было бы для развития послать его почитать теорему о больших числах - ведь фактически из нее это и следует.

[Старик]

Чепуха - я открыл совсем другое.

Иной алгебры вещственных бесконечно малых нет.

Вот вы не хотите читать моих работ, а сами говорите, что я бездельник - ну несерьезно право.

А кто тут мне книжку про запоры навязывал? Маленький неразумный мальчик?

И какому же идиоту вы 4 часа доказывали, что интеграл от гаусовой шапочки имеет вот такую форму?
Написали бы ему интеграл и послали бы на 3 буквы. Можно было бы для развития послать его почитать теорему о больших числах - ведь фактически из нее это и следует.

Он не был идиотом. Просто его учили теории вероятностей по учебнику Вентцель.
У него в результате обработки числовых данных вырисовалась ступенчатая функция распределения. ПО ФОРМЕ напоминающая гауссову функцию распределения.
Он только на основании этой похожести (на глаз) ФОРМЫ возрадовался, что распределение нормальное, что он открытие сделал.
То, что другие распределения тоже могут давать похожие кривые, до него не доходило. В упор не доходило!
Рисую ему арктангенс (одно из распределений Коши)- не доходит!
Причина?
- Она в том, что воспитанные в духе учебника Вентцель не понимают, что распределения они и сами могут задавать, а не только брать готовыми из наследства великих учёных. Для них все в мире распределения в справочниках описаны, а других в природе - якобы нет.

[Король Альтов]

Иной алгебры вещственных бесконечно малых нет.А кто тут мне книжку про запоры навязывал? Маленький неразумный мальчик?

Есть - я ее придумал.

[МаленькийГном]

Ну я и имел в виду, что вроде как для дельта-функции компактность носителя и бесконечная дифференцируемость не требуется.

Интересны не сами обобщённые функции, а возможность дальнейших манипуляций с ними (сложения, умножения на скаляр или на функцию, дифференцирование).

[Король Альтов]

Интересны не сами обобщённые функции, а возможность дальнейших манипуляций с ними (сложения, умножения на скаляр или на функцию, дифференцирование).

Это точно - там еще есть намеки на всякую условную сходимость за гранью фала. А сами дельта-функции, как правило, в окончательный результат никогда не входят и служат всего лишь удобным инструментом для того, чтобы обойти расходимость и правильно посчитать некорректные задачи.

[МаленькийГном]

Это точно - там еще есть намеки на всякую условную сходимость за гранью фала.

За гранью чего? Фала?

[Король Альтов]

За гранью чего? Фала?

Ну это например - знаете же представление разложения дельта функции в ряд Фурье  Delta(x) = sum[exp(jkx)] с точностью до множителя, хотя очевидно, что этот ряд не сходится и тд.

[yakiniku]

Интересны не сами обобщённые функции, а возможность дальнейших манипуляций с ними (сложения, умножения на скаляр или на функцию, дифференцирование).

Насколько я понимаю, то определение (разумеется, стандартное), которое дает МаленькийГном, подчеркивает главное свойство обобщенных функций: возможность посчитать их скалярное произведение с пробной функцией - то есть интеграл вида \(\int_a^b{\delta(x-x_0)f(x)dx} = f(x_0)\). То есть при таком определении дельта-функции учитывается, что иначе как под знаком интеграла она смысла не имеет.

И, да, возможность ввести, скажем, производную сто тридцатого порядка для дельта-функции означает, что интеграл с ней может быть сто тридцать раз взят по частям, для чего пробная функция должна быть и финитной, и сто тридцать раз дифференцируемой.

Но в том контексте, который исходно был затронут в этой ветке, речь шла о вычислении коэффициентов ряда Фурье (то есть интегралов) для производной от разрывной функции. В таком контексте утверждение, что производная разрывной функции включает дельта-функцию, было вполне уместно и вполне в духе приведенного МаленькимГномом определения

[МаленькийГном]

Насколько я понимаю, то определение (разумеется, стандартное), которое дает МаленькийГном, подчеркивает главное свойство обобщенных функций: возможность посчитать их скалярное произведение с пробной функцией - то есть интеграл вида \(\int_a^b{\delta(x-x_0)f(x)dx} = f(x_0). То есть при таком определении дельта-функции учитывается, что иначе как под знаком интеграла она смысла не имеет.

И, да, возможность ввести, скажем, производную сто тридцатого порядка для дельта-функции означает, что интеграл с ней может быть сто тридцать раз взят по частям, для чего пробная функция должна быть и финитной, и сто тридцать раз дифференцируемой.

Но в том контексте, который исходно был затронут в этой ветке, речь шла о вычислении коэффициентов ряда Фурье (то есть интегралов) для производной от разрывной функции. В таком контексте утверждение, что производная разрывной функции включает дельта-функцию, было вполне уместно и вполне в духе приведенного МаленькимГномом определения

Не совсем так. Я писал - если рассматривать \(\delta\)-функцию как обычную функцию, то можно писать равенство \(\int_a^b{\delta(x-x_0)f(x)dx} = f(x_0)\). Но это не так:
следует рассматривать не скалярное произведение, а действие \(\delta(f)\) функционала \(\delta\) на пробную функцию \(f)\). Иногда это действие записывают как скалярное произведение \((\delta,f)\). Но это не скалярное произведение (множители берутся из разных пространств), а билинейная форма.

[МаленькийГном]

Ну это например - знаете же представление разложения дельта функции в ряд Фурье  Delta(x) = sum[exp(jkx)] с точностью до множителя, хотя очевидно, что этот ряд не сходится и тд.

Опять вопрос - каком смысле Вы рассматриваете сходимость. Он прекрасно сходится, если его  рассматривать как сумму регулярных функционалов над пространством функций с компактным носителем:
\[
\delta(f) = \sum\limits_{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}[exp(ikx)]f(x)\, dx=
-\sum\limits_{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{exp(ikx)}{ik}f'(x)\, dx=
\sum\limits_{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{exp(ikx)}{(ik)^2}f''(x)\, dx
 \]
для любой гладкой функции с компактным носителем. Получившийся ряд сходится абсолютно:
\[
\sum\limits_{k\neq 0}|\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{exp(ikx)}{(ik)^2}f''(x)\, dx|<
\sum\limits_{k\neq 0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\frac{exp(ikx)}{(ik)^2}||f''(x)|\, dx<
R\sum\limits_{k\neq 0}\frac{1}{k^2}
 \]
где \(R\) определяется условием \(R=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f''(x)|\, dx\). Это число конечно, т.к. функция \(f''\) непрерывна и имеет компактный носитель.

[МаленькийГном]

Зачем же из разных? Оба сомножителя - обобщённые функции.
Тот же синус или полином - тоже ведь являются частным случаем обобщённых функций.

В данном контексте нет - выражение \((\delta, f)\) есть действие функционала \(\delta\) на функцию. Поэтому  первый множитель в билинейной форме - элемент сопряжённого функционального пространства, а второй - элемент этого функционального пространства.

[yakiniku]

Не совсем так. Я писал - если рассматривать \(\delta\)-функцию как обычную функцию, то можно писать равенство \(\int_a^b{\delta(x-x_0)f(x)dx} = f(x_0)\). Но это не так:
следует рассматривать не скалярное произведение, а действие \(\delta(f)\) функционала \(\delta\) на пробную функцию \(f)\). Иногда это действие записывают как скалярное произведение \((\delta,f)\). Но это не скалярное произведение (множители берутся из разных пространств), а билинейная форма.

Согласен - все упомянутые мною интегралы следует рассматривать не  как скалярные произведения, а как функционалы. Спасибо.

[Мастеров АВ]

У Лейбница и Ньютона производные и интегралы целого порядка.

Ещё студентом я игрался с идеей того, чтобы сделать производные произвольного (рационального или - комплексного порядка). Можно стало брать производную по порядку производной и - интегрировать. Ну и т.д.

Там всё просто, но практического применения я не нашел тогда этому инструменту.

Что нибудь нынче известно в этом направлении?

[Король Альтов]

Опять вопрос - каком смысле Вы рассматриваете сходимость. Он прекрасно сходится, если его  рассматривать как сумму регулярных функционалов над пространством функций с компактным носителем:
\[
\delta(f) = \sum\limits_{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}[exp(ikx)]f(x)\, dx=
-\sum\limits_{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{exp(ikx)}{ik}f'(x)\, dx=
\sum\limits_{k}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{exp(ikx)}{(ik)^2}f''(x)\, dx
 \]
для любой гладкой функции с компактным носителем. Получившийся ряд сходится абсолютно:
\[
\sum\limits_{k\neq 0}|\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{exp(ikx)}{(ik)^2}f''(x)\, dx|<
\sum\limits_{k\neq 0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\frac{exp(ikx)}{(ik)^2}||f''(x)|\, dx<
R\sum\limits_{k\neq 0}\frac{1}{k^2}
 \]
где \(R\) определяется условием \(R=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|f''(x)|\, dx\). Это число конечно, т.к. функция \(f''\) непрерывна и имеет компактный носитель.

В данном случае я имел в виду классику жанра - разложение в ряд Фурье самой дельта - функции.

[Старик]

У Лейбница и Ньютона производные и интегралы целого порядка.

Ещё студентом я игрался с идеей того, чтобы сделать производные произвольного (рационального или - комплексного порядка). Можно стало брать производную по порядку производной и - интегрировать. Ну и т.д.

Там всё просто, но практического применения я не нашел тогда этому инструменту.

Что нибудь нынче известно в этом направлении?

Производная комплексного порядка, кажется, есть в математической энциклопедии. Задаётся интегралом.
Каких-либо физических приложений лично я не видел.

[Король Альтов]

Ещё студентом я игрался с идеей того,

А бачил, что в институте не учился - давай колись, что кончал врунишка хитренький.

[Старик]

А бачил, что в институте не учился <...>

"Бачить" = видеть (украинский язык)

[Мастеров АВ]

Производная комплексного порядка, кажется, есть в математической энциклопедии. Задаётся интегралом.
Каких-либо физических приложений лично я не видел.

Кто-то тут показывал определение производной произвольного порядка через некий интеграл.
Я определял проще.
Через Фурь-образы.

Если: \(f(x)\longmapsto F(j\omega)\)

Тогда: \(f^{(\xi)}(x)\longmapsto (j\omega)^{\xi}F(j\omega)\)

[Старик]

Кто-то сдесь показывал определение производной произвольного порядка через некий интеграл.
Я определял проще.
Через Фурь-образы.
Если: \(f(x)\longmapsto F(j\omega)\)
Тогда: \(f^{(\xi)}(x)\longmapsto (j\omega)^{\xi}F(j\omega)\)

Я не вижу ваших формул. А интеграл, естественно, должен быть по комплексной плоскости.
Собственно, это должно быть расширение области действия формулы Коши.