Из всех формул СТО, у Векслера - в новом методе ускорения релятивистских частиц - только первая, которая не пронумерована и это значит что она даже не используется в дальнейшем.
Да, логика настоящего математика - раз нет номера, то формула не используется

А Вы не пробовали не только на номера формул смотреть, но и анализировать?
Потом он рассматривает простейший случай, когда множителем Лоренца можно пренебречь
Просто Вы читаете не все подряд, а выборочно. Видимо Вы прочли только "До тех пор пока enV << mc^2, можно считать T=const. Это и есть тот случай, который использован в циклотроне при ускорении протонов.
А вот следующее предложение: "Очевидно, что в случае электронов,даже при небольших энергиях,
нельзя считать Tn постоянным" А нельзя считать постоянным период обращения именно потому, что, как видно изф(1) вследствие малой энергии покоя электронов при том же заряде, что у протонов, Т существенно зависит от пройденной разности потенциалов и приобретенной энергии, даже при небольшой энергии.
Далее, ф.1 как раз выводится из непронумерованной формулы. Объясню - enU - работа электрического поля по ускорению электрона - равна приобретенной кинетической энергии. enU+m0c^2=mc^2/G - полная энергия электрона. Деля ее на с Векслер получает период из непронумерованной формулы.
и - вместо точного расчёта по СТО - Векслер предлагает не заморачиваться этим - а просто подбирать "строго определённое по абсолютной величине значение разности потенциалов ускоряющей частицы". Проще говоря, не расчитывать по СТО, а подбирать нужное значение экспериментально.
И где здесь СТО?
Если бы он не учитывал СТО, то никакой зависимости периода от энергии у него не получилось бы. А он вывел рост периода с каждым оборотом именно из ф-лы СТО. ф(2) следует из (1), а (1) из ненумерованной формулы СТО. А разность потенциалов и магнитное поле он расчитывает как раз из СТО - исходя из условия, чтобы с каждым оборотом период возрастал на период колебаний поля, и чтобы период был кратен периоду колебаний ускоряющего поля. См. ф(3). Средняя часть из ф(2), а без учета СТО, повторюсь, вообще нет зависимости периода обращения частицы в магнитном поле от энергии частицы.
Понимаете - ф-лы надо не только считать, но и вникать в них. Чай не филолог?