Вы делаете одну и ту же грубую ошибку, хотя Вам уже вроде как дали понять, что сделать публично это будет трудно. Вы ранее ОПРЕДЕЛИЛИ циклическую частоту как \(\omega=2\pi/T\), где T - период вращения. Для такого определения, если только вдруг Вы не решили от него отказаться, ОШИБОЧНО использовать соотношение \(\omega=V_\varphi/R\), что является выражением не для циклической частоты, а для угловой скорости. При движении по эллиптической траектории циклическая частота и угловая скорость это РАЗНЫЕ понятия. То есть строго как сказал Алекспо - Ваши соотношения математически правильны, но Вы в них ошибочно путаете и смешиваете физические понятия.
Так что "это выражение" представляет собой функциональная зависимость частной кинетической энергии от угловой скорости а не от частоты.
С Вашим указанием согласен. Но, это не грубая ошибка, а умолчание.
Для начала определим различия между угловой скоростью и угловой (циклической)
Угловая скорость
\[\omega= \frac {d \phi}{dt} \]
Угол поворота за время dt
Угловая (циклическая ) частота
\[\omega= \frac {2 \pi}{Т} \]
Частота с которой совершается один оборот.
Соотношение между ними такое же, как и между мгновенной скоростью и средней скоростью.
Теперь по существу предъявленной претензии. При выводе частной кинетической энергии я использую, в самом деле, понятие угловой частоты \(\omega= d\phi/dt\), для которого применение \(\omega=V_\varphi/R\) легитимно. Т.к. операции с угловой (мгновенной) скоростью предполагают подобную связь в каждый момент времени.
Но для перехода к зависимости от частоты (не циклической, а обычной) я вынужден перейти от угловой скорости (мгновенной) к средним значениям (циклической частоте). При этом не оговариваю явно такой переход.
Подобная замена не является ошибкой, т.к. если заменить мгновенные значения угловой скорости на среднее значение скорости за период, и при этом значение кинетической энергии в каждый момент времени, также заменить на среднее значение энергии за тот же самый период времени, то указанное соотношение не изменится.
Т.о. если мгновенное значение частной кинетической энергии прямо пропорциональна мгновенному значению угловой скорости, то среднее значение частной кинетической энергии будет прямо пропорционально угловой (циклической) частоте.
Обратная замена не всегда допустима.
Т.о. подмена мгновенных значений средними за период, не является ошибкой. Ошибкой является не оговаривать подобные замены в явном виде.
При этом, Вы совершенно справедливо говорите, что для эллиптического движения угловая скорость и угловая частота разные понятия. Угловая скорость за период меняет свое значение от минимума до максимума, т.е. является функцией. А угловая частота - имеет одно значение среднее за весь период. Не равное ни максимуму, ни минимуму угловой скорости, а имеет значение между максимумом и минимумом. Это я также не оговариваю явно.
Строго наоборот - я подчеркиваю эту еще одну Вашу ошибку, поскольку что-то в этом духе Вы уже несколько раз высказывали. Чисто круговые квазиклассические траектории статистически пренебрежимы (то есть имеют относительно малый статистический вес) по сравнению с эллиптическими.
Это не ошибка, а забегание вперед.
Для механических планетарных систем (типа Солнечной), в самом деле, чисто круговые орбиты практически не встречаются.
