Вы меня просто убиваете своей логикой
Применив раздельно эти соображения к Земле вращающейся вокруг Солнца и к электрону в атоме водорода, увидим, что соображения не верны ни в том ни в другом случае. Для Земли в лоб произведем численные оценки в окончательной формуле:
\[ E=\frac{\hbar\omega}2\approx\frac{10^{-27}{\rm erg\cdot s}\,2\pi}{2{\rm year[s]}}\approx10^{-34}{\rm erg} \]
Это порядков на пятьдесят меньше чем одна только энергия пресловутого кирпича комукака, который обладает кинетической энергией за счет участия в орбитальном движении вокруг Солнца вместе с Землей. Ошибка возникает за счет того, что момент импульса неквантовой системы не имеет ничего общего с постоянной Планка (или Дирака).
Применить постоянную Планка для Земли - это круто. Но, Вы забыли, что массу Земли надо приравнять массе электрона. Вот тогда будет порядок полный.
Теперь применим эти соображения к квазиклассическому движению электрона вокруг протона в атоме водорода. Для простоты будем характеризовать систему только одним квантовым числом, n (что почти верно для круговой орбиты, поскольку для такой орбиты главное квантовое число отличается от орбитального всего лишь на единицу и оба эти числа велики). В этом случае момент импульса не РАВЕН постоянной Дирака (она же редуцированная постоянная Планка, она же аш с чертой), а КРАТЕН ей, причем коэффициент пропорциональности и есть (орбитальное) квантовое число:
\[ m\omega r^2=n\hbar \]
так что формула "связывающая" кинетическую энергию с частотой принимает вид:
\[ E=n\hbar\omega/2. \]
только не фига эта формула (хотя с коррекцией в виде квантового числа она и правильна) не выражает "пропорциональность энергии частоте", поскольку как та, так и другая зависит от квантового числа. Чтобы найти эти зависимости дополним выражение кинетической энергии через момент импульса:
\[ E=\frac{(mr^2\omega)^2}{2mr^2}=\frac{(n\hbar)^2}{2mr^2} \]
теоремой вириала, согласно которой средняя кинетическая энергия равна взятой с обратным знаком половине средней потенциальной энергии, \(E=e^2/(2r)\). Отсюда получаем формулу Бора для энергии уровней атомов водорода (отметим что вычисление кинетической энергии вместо полной дает обратный по сравнению с обычным знак)
\[ E=\frac{(n\hbar)^2}{2mr^2}=\frac{(2En\hbar)^2}{2me^4}=\frac{{\rm Ry}}{2n^2},\qquad Ry=\frac{me^4}{\hbar^2}\approx27,3{\rm eV} \]
а вычисление частоты
\[ \hbar\omega=2E/n=\frac{{\rm Ry}}{n^3} \]
в несколько необычном виде дает закон Кеплера:
\[ \omega\propto n^{-3}\propto E^{3/2}\propto r^{-3/2} \]
"квадраты периодов обращения планет соотносятся как кубы больших полуосей их орбит". Уже хотя бы отсюда следует, что о пропорциональности между энергией и частотой не может быть и речи.
Так и знал, что к приведенному выводу формулы претензий не будет. Все претензии только к окончательному результату, уж больно он "неправильный". Не укладывается в голове.
Более того квантовое соотношение для энергии
фотона \(\hbar\omega\) применимо не к энергии уровня, а к РАЗНОСТИ энергии двух последовательных уровней:
\[ \hbar\omega=-(E(n+1)-E(n))=-\frac{dE}{dn} \]
то есть частота излучаемого фотона равна частоте вращение а его энергия равна разности двух последовательных энергетических уровней.
Вопрос первый. "Частота фотона равна частоте вращения", а на какой орбите верхней или нижней?
Вопрос второй. Кинетическая энергия (в обычном виде) определяется для одной скорости или для перехода от одной скорости до другой?
Вывод: ошибка в рассуждениях вызвана тем, что для классического объекта его момент импульса НЕ ИМЕЕТ ОТНОШЕНИЯ к постоянной Планка (Дирака). Для квазиклассического (но квантового) объекта же момент импульса не РАВЕН, а целочисленно КРАТЕН постоянной Планка.
А энергия при этом равна или целочисленно кратная?
Это я к тому, что если обе части равенства умножить на одно и то же число, то равенство сохраняется. Помните из арифметики?
Касательно статиcтических рассуждений, они грубо ошибочны уже в ЗНАКАХ показателей экспонент: статистические распределения связанных ("вращающихся") частиц характеризуются их полной энергией, которая отличается ЗНАКОМ от некорректно используемой кинетической энергии.
А распределение Максвелла не посмотрите? Там тоже кинетическая энергия и со знаком минус, а еще и распределение Больцмана, в нем как назло потенциальная энергия тоже со знаком минус. Это что такая ошибка, что всегда во всех распределениях знак
всегда минус, не зависимо от знака энергии?
