Теорема, которую Кантор никогда не доказывал.

[Константин Давидюк]

Кантор в своей знаменитой теореме о несчетности действительных чисел R доказал свойство несчетности. Про мощность континуума в теореме Кантора нет ни слова. Так кто же доказал мощность континуума действительных чисел? Никто...


№ 1. Определение счетности.

Множество А называется счетным, если существует функция g, отображающая взаимно однозначно множество А на множество натуральных чисел N.


№ 2. Определение мощности (количества).

а). Когда речь идет о небольшом конечном множестве, то все просто: пересчитываем элементы этого множества. Число, выражающее количество элементов этого множества, будет называться мощностью (количеством). В данном случае это будет конечная мощность.

б). Когда рассматривается множество большого количества элементов, пересчитать его элементы трудно. Вот тут наши предки и придумали сравнивать множества методом образования пар, где пара образована из двух элементов сравниваемых множеств (одно из множеств зафиксировано и взято за эталон сравнения). Т. е. речь идет о существовании  технологии, образующей пары до тех пор, пока не закончится одно из двух множеств. То, которое закончилось раньше, будет объявлено как меньшей мощности. Возможен вариант, когда элементы закончились одновременно - множества одинаковы по количеству (мощности).

с). Если речь идет о бесконечных множествах, то поступают по аналогии с большими конечными множествами, пытаются подобрать взаимно однозначную функцию для образования пар. Если удалось подобрать такую функцию, что каждому элементу одного из множеств соответствует элемент другого множества и - наоборот, причем нет ни одного элемента, который не вошел  в одну из пар, то множества объявляются одинаковыми по количеству (мощности).
   Этот вариант "с" аналогичен определению из пункта № 1.

А если множество достаточно сложное, как угадать нужную функцию? Математика - это  не технология угадывания, а точная наука, которая движется от причины к следствию и - наоборот. Поэтому, если не удается подобрать нужную функцию (функцию с нужными свойствами), то для установления мощности изучают метод построения исследуемого множества.

Пример.
Множество натуральных чисел N счетно. Это значит, что любое множество, полученное рекурсивным способом (с базой рекурсии в виде конечного множества, в частности, состоящего из одного элемента), будет счетным по построению: элементы нумеруются в процессе их получения рекурсивным методом

Как видим, установление мощности множества может происходить несколькими методами: с помощью функции или по построению. Таким образом, "счетность" это один из способов установления мощности, а именно функциональный.

   А если доказано, что невозможно подобрать нужную функцию g? (Например, Кантор доказал, что какую бы мы функцию не брали, всегда можно построить такое действительное число, которое не войдет в пару  (не будет занумеровано)). Что делать в этом случае?
   Естественно, надо обратиться к другому способу, а именно, исследовать метод построения.

3. Снова возвращаемся к определениям.

Определение.
   Множество С называется континуальным (имеющим мощность континуума), если оно несчетно, т. е. если не удается построить взаимно однозначную функцию, отображающую это множество на множество натуральных чисел N.
       Будем обозначать это так N < C

Итак, Кантор доказал несчетность действительных чисел R. А кто установил мощность этого множества? Ни в одной книге нет теоремы, устанавливающей количество (мощности) множества R. Еще раз подчеркну, что Кантор доказал отсутствие функции, а не свойство мощности.

4. А теперь главный вопрос:
  

На каком основании введено неравенство: N < R ?

Все скажут: "Да это же очевидно - по определению!"

Мощность - это свойство, которое надо УСТАНАВЛИВАТЬ, а не ОПРЕДЕЛЯТЬ.

В моей работе УСТАНОВЛЕНО, что по построению мощность (количество) действительных чисел не превосходит количества натуральных чисел.

Таким образом, моя работа дополняет теорему Кантора: Кантор доказал несчетность, а я исследовал мощность.

[Herodotus]

Мощность множества всех действительных чисел есть мощность континуумa (или просто континуум) по определению. Иначе говоря, "континуум" - это такое слово, которым математики договорились обозначать мощность любого множествa той же мощности, что и множество всех действительных чисел. 

Кантор доказал, что мощность континуумa строго превосходит мощность счётного множества. Любое утверждение о "счётности" множества всех действительных чисел поэтому является результатом либо ошибки в рассуждениях, либо неграмотного использования терминов.

[Константин Давидюк]

Кантор доказал, что мощность континуумa строго превосходит мощность счётного множества.

Нет. Кантор доказал несчетность. Но если ты настаиваешь, то доказательство в студию попрошу.

[Lons]

Нет. Кантор доказал несчетность. Но если ты настаиваешь, то доказательство в студию попрошу.

      Если вы доказали, что мощность действительных чисел не превосходит таковую натуральных, то отсюда следует, что мощность натуральных в свою очередь не превосходит мощности действительных. Таким образом, эти множества равномощны, те есть между ними устанавливается одно-однозначное соответствие. Тогда в силу определения счётности вы обязаны признать множество действительных чисел счётным.
     

[Scyther]

Если вы доказали, что мощность действительных чисел не превосходит таковую натуральных, то отсюда следует, что мощность натуральных в свою очередь не превосходит мощности действительных. Таким образом, эти множества равномощны, те есть между ними устанавливается одно-однозначное соответствие. Тогда в силу определения счётности вы обязаны признать множество действительных чисел счётным.

Тут как на все это посмотреть. В смысле на запись чисел и в смысле какими глазами.
Scyther вообще может предложить алгоритм сопоставления (соответствия) любого действительного числа единице.
Берем конкретное рациональное число - m/n. Scyther сопоставляет ему вот так записанное число (m/n)/(m/n),
которое конечно равно 1.
Берем иррациональное число - Q. Scyther сопоставляет ему число (Q)/(Q), которое тоже равно 1.
Отсюда мощность единицы равна мощности любого действительного числа.

[МаленькийГном]

Тут как на все это посмотреть. В смысле на запись чисел и в смысле какими глазами.
Scyther вообще может предложить алгоритм сопоставления (соответствия) любого действительного числа единице.
Берем конкретное рациональное число - m/n. Scyther сопоставляет ему вот так записанное число (m/n)/(m/n),
которое конечно равно 1.
Берем иррациональное число - Q. Scyther сопоставляет ему число (Q)/(Q), которое тоже равно 1.
Отсюда мощность единицы равна мощности любого действительного числа.

Вы знаете, что такое взаимно однозначное соответствие? У чисел мощности нет, она есть только у множеств

[Scyther]

Вы знаете, что такое взаимно однозначное соответствие? У чисел мощности нет, она есть только у множеств

Да ладно... Scyther может и переписать вполне понятное утверждение
Отсюда мощность единицы равна мощности любого действительного числа.
и вот так
Отсюда мощность предлагаемого множества, состоящего из подмножеств - (m/n)/(m/n) и (Q)/(Q), равна мощности множества действительных чисел.

Иными словами между этими множествами существует биекция (следует из описанного выше способа записи), что означает их равномощность.

[МаленькийГном]

Да ладно... Scyther может и переписать вполне понятное утверждение
Отсюда мощность единицы равна мощности любого действительного числа.
и вот так
Отсюда мощность предлагаемого множества, состоящего из подмножеств - (m/n)/(m/n) и (Q)/(Q), равна мощности множества действительных чисел.

Иными словами между этими множествами существует биекция (следует из описанного выше способа записи), что означает их равномощность.

Как только Вы сформулируете определение биекции, так сразу поймёте где ошиблись. Конечно если Вы хотите это понимать

[Константин Давидюк]

Как только Вы сформулируете определение биекции, так сразу поймёте где ошиблись. Конечно если Вы хотите это понимать

Херодотом доказано, что континуум введен по определению:

(http://mathworld.wolfram.com/Equipollent.html) Two sets A and B are said to be equipollent iff there is a one-to-one correspondence (i.e., a bijection) from A onto B (Moore 1982, p. 10; Rubin 1967, p. 67; Suppes 1972, p. 91).

The term equipotent is sometimes used instead of equipollent.

"Множества А и В называются равномощными, если и только если существует взаимно однозначное соответствие (т.е., биекция) из А в В." Ссылки на стандартные учебники.

REFERENCES:

Moore, G. H. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origin, Development, and Influence. New York: Springer-Verlag, 1982.

Rubin, J. E. Set Theory for the Mathematician. New York: Holden-Day, 1967.

Suppes, P. Axiomatic Set Theory. New York: Dover, 1972.

 

[Константин Давидюк]

Да ладно... Scyther может и переписать вполне понятное утверждение
Отсюда мощность единицы равна мощности любого действительного числа.
и вот так
Отсюда мощность предлагаемого множества, состоящего из подмножеств - (m/n)/(m/n) и (Q)/(Q), равна мощности множества действительных чисел.

Иными словами между этими множествами существует биекция (следует из описанного выше способа записи), что означает их равномощность.

+

[МаленькийГном]

Херодотом доказано, что континуум введен по определению:

Я спрашивал не Вас.