Вместо одной формулы, мспользуемой в матанализе:
\[ \int f'(x)dx=f(x) \]
Необходимы две:
\[ \int f'(x)dx=f(x);~~~\int f'(x)\partial x=f(x)+C. \]
\[ \text{Функция}~~f(x)~~\text{не является частным случаем}~~(f(x)+0)~~\text{СЕМЕЙСТВА}~~f(x)+C \]
Для доказательства я привожу две формулы матанализа
http://www.mathforum.ru/forum/read/1/56337/, применяя их к функции
\[ f(x) \]
и показываю ошибку. Эта ошибка ДОКАЗЫВАЕТ, что эти две формулы применимы только к функции вида
\[ f(x)+C \]
и не применимы к функции
\[ f(x) \].
Для чего это нужно? чтобы интегральными формулами описывать геометрические объекты, например...
Вот Вам пример: конус, вписанный в полусферу. Его объем:
\[ V(r)=\int \pi r^2dr=\frac{1}{3} \pi r^3 \]
самодостаточен и примененение постоянной интегрирования здесь - бессмыслица.
Это только один пример.
Тут основная мысль вот в чем:
Для постоянной интегрирования частным случаем является не ноль в выражении:
\[ f(x)+0 \]
а независимые переменные при взятии частной производной. Частной производной функции нескольких переменных, дифференцируемой по одной из них является производная функции одной переменной, по которой происходит дифференцирование. Вернее: ОНИ РАВНЫ. Тогда остальные переменные, при таком дифференцировании, рассматриваются, как константы. При интегрировании константа интегрирования показывает, что необходимо восстановить оставшиеся элементы первообразной, число ли это или выражения с другими независимыми переменными, уже не важно. Важна фрмула этого процесса в общем виде!!! Поэтому в интеграле используется "партиал".
Поэтому постоянная интегрирования заключена не в знаке неопределенного интеграла, а в знаке "партиала".
