Первая фатальная ошибка математики - неопределенный интеграл

[Гришин Станислав Григорьевич]

Зачем нам нужен интеграл от первообразной?

Pardon, ошибка редактирования."от них" сейчас уберу.

[Alexpo]

Отвечаю на вопрос: интегралы на (-1,0),(0,1),(1,е).
Может прекратим, а то как бы дальше хуже не было?

А зачем?
Правильное рассмотрение, соответствующее общей теории - это разбиение на (-1;0) и (0;е), все остальное от лукавого. Для 2-х интервалов тоже все элементарно и тоже нет необходимости вычислять несобственные интегралы.
Ваш прием не общий, а попытка уклониться от вычисления несобственного интеграла для данного конкретного случая. А речь все же идет об общих вещах.

[МаленькийГном]

Уж больно Вы сабелькой размахались сегодня.
Вежливость на откровенность провоцируете.
А пошарить не хотите.
Отвечаю на вопрос: интегралы на (-1,0),(0,1),(1,е).
Может прекратим, а то как бы дальше хуже не было?

Первый и второй интегралы расходятся. Поэтому следует понимать интеграл в смысле главного значения:
\[
(p.v.)\int\limits_{-1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=(p.v.)\int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx+\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=\ln|x||_{1}^{e}=1
 \]
Но для вычисления несобственного интеграла в смысле главного значения нельзя без дополнительного обоснования применять формулу Н.-Л.

[Alexpo]

Они слово "повышается" (величина переменная), читают как "повышенная" (величина постоянная).

Я и говорю, что вы у нас филолог! 

[Гришин Станислав Григорьевич]

Первый и второй интегралы расходятся.

Да хрен с ними, пусть расходятся, пусть хоть напопа встанут - мне какое дело.
Они только знаком отличаются друг от друга и этого достаточно.

[МаленькийГном]

Да хрен с ними, пусть расходятся, пусть хоть напопа встанут - мне какое дело.
Они только знаком отличаются друг от друга.

Один равен \(-\infty\), другой - \(+\infty\). Тогда чему равна их сумма?

[Alexpo]

Первый и второй интегралы расходятся. Поэтому следует понимать интеграл в смысле главного значения:
\[
(p.v.)\int\limits_{-1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=(p.v.)\int\limits_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx+\int\limits_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx=\ln|x||_{1}^{e}=1
 \]
Но для вычисления несобственного интеграла в смысле главного значения нельзя без дополнительного обоснования применять формулу Н.-Л.

Описка! У вас промежуточный предел должен быть 0 (точка разрыва)

[Гришин Станислав Григорьевич]

Один равен \(-\infty\), другой - \(+\infty\). Тогда чему равна их сумма?

Обобщаете, чтобы решение потерять?
У них же конкретные выражения есть и они совпадают с точностью до знака.

[МаленькийГном]

Обобщаете, чтобы решение потерять?
У них же конкретные выражения есть и они совпадают с точностью до знака. Ошибся, поправил.
Мишин, это тот, который всю бучу затеял - дай Бог ему здоровья.

Он появляется позже, после 23.00

[Alexpo]

Обобщаете, чтобы решение потерять?

Обобщать нужно для получения ответа в общем случае.

В любом случае вы взялись спорить со мной и М. гномом, не посмотрев на что мы конкретно отвечаем. Поэтому получается некоторая невнятица. А суть дела в том, что Мишин совершил ошибку, применив формулу Ньютона-Лебница к несобственному интегралу. Вот и все. Ему именно на это указали, но он с этим не согласился.

Другую ошибку Мишина я вам объяснил в личку. Надеюсь, понятно?

[Alexpo]

Вы хотите сказать, как я понял, что если F(x) - первообразная, то и F(x)+С первообразная. Ну и что?
А интегралы, то будут разные (из-за разных С).
И только в случае С₁=С+С₂ они совпадут.
Такое у меня ощущение.

Ваш пост после исправления не стал лучше? Какие такие интегралы будут разными? Неопределенный интеграл здесь только один F(x)+С , а различаться могут только конкретные первообразные.

Например, для f(x)=2x неопределенный интеграл (можно еще сказать: совокупность всех первообразных, семейство) равен х²+С

Беря разные значения С мы будем получать разные конкретные первообразные из совокупности, например,  х²+5; х²-5; х² и т.д.

[МаленькийГном]

Описка! У вас промежуточный предел должен быть 0 (точка разрыва)

Нет, Точка \(0\) ушла в главное значение: по определению
\((p.v.)\int\limits_{-1}^{1}\frac{dx}{x}=\lim\limits_{\delta\to +0}\left(\int\limits_{-1}^{-\delta}\frac{dx}{x}+\int\limits_{\delta}^{1}\frac{dx}{x}\right)=0\).

[Гришин Станислав Григорьевич]

Обобщать нужно для получения ответа в общем случае.

Общие случаи рассматривать - учебники косноязычно пересказывать, внося свои ошибки.
Я рисунок посмотрел - мгновенно устно решил. При этом обошёл все трудности,
которые здесь долго обсуждались. Будет другая задача - будет другой разговор.

В любом случае вы взялись спорить со мной и М. гномом, не посмотрев на что мы конкретно отвечаем. Поэтому получается некоторая невнятица.

Где Вы спор по поводу задачи с рисунка видите?
Я что - возразил что-нибудь против несобственности? Ничуть не бывало.
Я просто моментальное и незатейливое решение привёл.

Другую ошибку Мишина я вам объяснил в личку. Надеюсь, понятно?

Понятно, что там понимать-то.

[Alexpo]

Я всё подробно расписал.
Один интеграл с первообразной из определения, а другой с первообразной F(x)+C

Так ведь неправильно 
нет тут двух интегралов....

А для f(x)=2x+С₂?

А здесь будет совершенно другой неопределенный интеграл  x²+С₂x+C.
Какое отношение это имеет к предыдущему? Вы не путайте константу в первобразной (неопределенном интеграле) и в исходной функции.

[mishin05]

Я не нашел ваших вопросов.

Я Вам помогу:
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=302995.0

[mishin05]

Понятно, т.е. ответить вы не в состоянии. Я вам напомню, что вы не смогли ответить даже на простые вопросы, откуда взялся нижний предел в интеграле для F(x)  и уверены ли вы, что для для  значения производной равного 2 выполняется f(x)=2x?
Я прекрасно понимаю, почему вы не хотите отвечать на эти вопросы. Ведь правильный ответ покажет неправильность ваших утверждений.

Нижний предел "взялся" из основной теоремы матанализа.

Равенство выполняется для значения производной из "Теоремы о среднем".

Я никогда не сравниваю интеллекты. Но могу сравнивать знания. Я преподаю математику и использую ее много лет, поэтому считаю, что ее азы я знаю.

Я не нашел ваших вопросов. Поэтому соответственно нельзя и найти ответов. У вас есть только несколько утверждений, которые я считаю либо бессмысленными либо неверными. Ваши формулировки не выдерживают критики.

Приведу пример. Вы написали
Но ведь 1) в математике нет понятия просто интеграл. Соответственно нет утверждения "Интеграл - это ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ." Поэтому ваша претензия бессмысленна 2)  ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ просто названа "неопределенным интегралом". Говорить, что имя выбрано неправильно опять таки бессмысленно. Можно говорить только о том, что вам не нравится это название. Возможно, оно и неудачное, вот только к ошибкам в матанализе это не имеет никакого отношения. Это аналогично рассуждениям о неудачности названий ЭДС или сила тока в физике, поскольку это вовсе не силы. Но это вовсе не приводит к ошибками в физике. И устоявшиеся названия вряд ли кто-то будет менять.Лично я в этом нужды не вижу.  И так всем все понятно. 3) Отрицать вы отрицаете, а вот собственного определения так и не дали, что также лишает вашу претензию смысла.

Зачем Вы постоянно лжете? Это не делает Вам чести. Вы привели выдержку из моего поста, находящуюся сразу после определения:

[mishin05]

Единственное ЛИЧНОЕ мнение высказали Вы, что знак интеграла, символизирующий первую букву в слове "sum" нарисовали "от балды".

Я не высказывал того мнения, что вы мне здесь приписали. Я повторю то, что писал: Операции нахождения первообразных дано название "неопределенный интеграл", а название опровергать бессмысленно, поскольку оно не может быть правильным или неправильным.

Опять Вы лжете!

[mishin05]

Эх Алексей. Неблагодарное это дело, автора просвещать. Я попытался, да сразу понял с кем имею дело. Да он и сам представился в своей ссылке на себя любимого.

Что понял? С кем?

[mishin05]

Дальше не вникал.

Анаксагор, не смешите! Я видел, как Вы на других научных форумах задаете вопросы и ответы вписывете тут. Как та мошенница, что заставила играть двух гроссмейстеров друг с другом, хотя посторонние считали, что она играет с ними обоими. Вы не способны ВНИКАТЬ! Могу скрины выложить, если Вы будете утверждать, что я вру. Вы там тоже как Анаксагор регились и вопросы задавали из моей ветки. Ответы тоже совпадают. Не смешите и не позорьтесь...

[mishin05]

Это используется. Но вы ошиблись в том, что здесь слово интеграл без "приставок" на самом деле здесь термин состоящий аж из трех слов!
"Интеграл дифференциального уравнения"
и все три слова надо употреблять вместе!

Так действительно именуют решение ДУ.

То, как вы написали, "интеграл уравнения" в общем-то неверно, но может использоваться как сокращение, когда известно, что речь идет именно о ДУ.


А вот одно слово "интеграл" по прежнему не используется.

По моему, мы находимся в состоянии маразматического шоу! "Интеграл" - это знак, который обозначает некую операцию, которая обозначается неким символом:



Знак с пределами называется "определенный интеграл". Знак интеграла без пределов называют "неопределенный интеграл". Это неверное название. Необходимо название: "интеграл с неопределенными пределами интегрирования". Он имеет такое же значение, как знак "плюс" или "минус". Одно слово "плюс" не используется по той же причине, по которой не используется слово "интеграл". Это полнейшая деградация человечества, когда люди с такими убеждениями УЧАТ других людей. Не бывает двух различных интегралов, бывают два его вида. Это показывает основная теорема матанализа:

\[  \frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(t)~dt = f(x) \]

\[ dx \cdot\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)~dt = f(x)\cdot dx; \]

\[ \int d \int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx; \]

\[ \int_a^x f(t)~dt =\int f(x)~dx; \]





Чтобы понять, что скрывается за словами "неопределенный интеграл", можно просто перевести с философского на математический язык это выражение:

"Если эф малое от икс является производной эф большого от икс, то выражение эф большое от икс плюс цэ называется неопределенным интегралом эф малого от икс."

Подставляйте вместо слов математические значки и все станет на свои места!

Более точным будет являться следующее определение, но его нет в учебниках:

"Если эф малое от икс является производной эф большого от икс по икс, то выражение эф большое от икс плюс цэ называется неопределенным интегралом эф малого от икс дэ икс."