Первая фатальная ошибка математики - неопределенный интеграл

[mishin05]

Ну прочел. Что за ахинею несет на том форуме автор mishin05 (тезка тутошнего)Уже детишки понимают, что угловой коэффициент касательной это Тангенс угла. Это dY/dX. Какая нахрен точка. Это прямая, направленная под углом к оси Х, тангенс которого dy/dx.
Опять я влип. Думал молодой, познать что хочет. Помочь хотел, а нарвался на палату №6. Во что лепит.

Слышь, дебилоид! (я Вас не оскорблял, но, после этого имею полное право ответить)
Тангенс - это прямая у тех, у кого в мозгу прямые вместо извилин. Почитай, придурок, книжки, которые называются учебники! Угловой коэффициент касательной - ЭТО ЗНАЧЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В ТОЧКЕ КАСАНИЯ. Если ты, недоумок, значение функции откладываешь в виде отрезка (ордината точки графика функции), то производная изображается в виде точки!

На, смотри мультик, пока твоя крыша не перестанет течь:

[Мастеров АВ]

ОБА варианта неверные. Потому, что Вы используете шарлатанскую, подогнанную под неопределенный интеграл формулу.
Теперь используем ИСТИННУЮ формулу:
\[ \int\limits_{-1}^{e}=ln\left(\frac{e}{-1}\right)=ln(-e)~~-~~\text{не существует} \]

Понимаете, такой определенный интеграл ПРОСТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ, независимо от ПУТИ!!!

Модуль куда подевал?

[mishin05]

Вы утверждаете, что функция \(F(x)=\ln|x|\) не будет первообразной функции \(f(x)=1/x\)? Обоснуйте!

Запросто! Первообразная функция - площадь под графиком. Покажите, что означает выражение: \[ \ln|1|=0 \]. Т. е. покажите геометрически, как при x=1 площадь под графиком функции \[ y=\frac{1}{x} \] равна нулю?

[yakiniku]

Первообразная функция - площадь под графиком.

Ничего подобного. Это определенный интеграл - площадь под графиком. А первообразная для функции f - это такая функция, производная которой равняется f.

[МаленькийГном]

Запросто! Первообразная функция - площадь под графиком. Покажите, что означает выражение: \[ \ln|1|=0 \]. Т. е. покажите геометрически, как при x=1 площадь под графиком функции \[ y=\frac{1}{x} \] равна нулю?

Не совсем так. Первообразная функции \(f:[a,b]\to {\mathbb R}\) допускает геометрическую интерпретацию  - это площадь криволинейной трапеции трапеции с переменным правым краем
\(\{(t,y): a \leq t \leq x, y \text{ лежит между } 0 \text{ и } f(x)\}\). Но эта площадь должна быть конечной.
Не надо отвечать вопросом на вопрос. Равенство \(\ln|1|=0\) означает только то, что  \(\ln|1|= \ln (1)=0\). Площадь любого отрезка в плоскости рана нулю.

Продолжаю ожидать ответ на свой вопрос

Вы утверждаете, что функция \(F(x)=\ln|x|\) не будет первообразной функции \(f(x)=1/x\)? Обоснуйте!

[Мастеров АВ]

покажите геометрически, как при x=1 площадь под графиком функции \[ y=\frac{1}{x} \] равна нулю?

Запросто.

Тебе твои учителя математики не обюъяснили видимо, что: если график лежит ниже оси ИКС, то ему соответствую отрицательные значения, интеграл тоже будет отрицательным и площадь под графиком отрицательная тоже.

Поэтому суммарная площадь под графиком может быть равной нулю, но это не значит, что под графиком ничего нет.
=================

Кто вас учит математике?...
В шею, в шею таких преподавателей!

[Вашкевич Виктор]

Запросто.

Тебе твои учителя математики не обюъяснили видимо, что: если график лежит ниже оси ИКС, то ему соответствую отрицательные значения, интеграл тоже будет отрицательным и площадь под графиком отрицательная тоже.

Поэтому суммарная площадь под графиком может быть равной нулю, но это не значит, что под графиком ничего нет.
=================

Кто вас учит математике?...
В шею, в шею таких преподавателей!

Белогвардейщина учит такой математике.
Одно время  враг народа антисоветчик Солженицын учил.

[mishin05]

Ничего подобного. Это определенный интеграл - площадь под графиком. А первообразная для функции f - это такая функция, производная которой равняется f.

Похоже, Вы не в курсе об основной теореме анализа. почитайте...

[mishin05]

Не совсем так. Первообразная функции \(f:[a,b]\to {\mathbb R}\) допускает геометрическую интерпретацию  - это площадь криволинейной трапеции трапеции с переменным правым краем
\(\{(t,y): a \leq t \leq x, y \text{ лежит между } 0 \text{ и } f(x)\}\). Но эта площадь должна быть конечной.
Не надо отвечать вопросом на вопрос. Равенство \(\ln|1|=0\) означает только то, что  \(\ln|1|= \ln (1)=0\). Площадь любого отрезка в плоскости рана нулю.

Продолжаю ожидать ответ на свой вопрос

Какого отрезка? Откуда при x=1 взялся ОТРЕЗОК? Покажите его!
Я Вам дал ответ. Вы не показали равенство нулю первообразной при x=1. Следовательно - это не функция, правая часть равенства не равна левой!

[mishin05]

Запросто.

Тебе твои учителя математики не обюъяснили видимо, что: если график лежит ниже оси ИКС, то ему соответствую отрицательные значения, интеграл тоже будет отрицательным и площадь под графиком отрицательная тоже.

Поэтому суммарная площадь под графиком может быть равной нулю, но это не значит, что под графиком ничего нет.
=================

Кто вас учит математике?...
В шею, в шею таких преподавателей!

 Дай мне ссылку, чтоб я увидел, где учат график функции y=1/x, чтоб при x=1 график лежал НИЖЕ ОСИ ИКС. Это п....

[МаленькийГном]

Какого отрезка? Откуда при x=1 взялся ОТРЕЗОК? Покажите его!
Я Вам дал ответ. Вы не показали равенство нулю первообразной при x=1. Следовательно - это не функция, правая часть равенства не равна левой!

Если \(f(1)>0\), то криволинейная трапеция \(\{(x,y):x=1, 0\leq y \leq f(x)\}\) есть отрезок (лежащий на прямой, перпендикулярной оси абцисс) и его площадь равна нулю.

[yakiniku]

Похоже, Вы не в курсе об основной теореме анализа. почитайте...

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определённого интеграла и вычислением первообразной.

В теореме речь идет не о вычислении первообразной, а здесь речь идет об определении первообразной от функции f, которая всегда и всюду определяется как функция, производная которой равна f. Пример: функция \(\ln(|x|)\) является первообразной для функции \(\frac1x\), потому что \(\ln(|x|)^\prime=\frac1x\).

А если Вы в определениях путаетесь, то рассуждения Ваши о теоремах неинтересны. К тому же умением вежливо разговаривать, я погляжу, господь Вас обделил - так что в игнор и точка.

[marcos]

\(\int_{-1}^e \frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(\int_{-1}^{-\delta}+\int_{\delta}^{e})\frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(ln(|\frac{-\delta}{-1}|)+ln(|\frac{e}{\delta}|))=1\)

Пусть предел (с права и слева) стремится к нулю с разной скоростью (Имеем право):

\(\int_{-1}^e \frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(\int_{-1}^{-\delta}+\int_{\delta^2}^{e})\frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(ln(|\frac{-\delta}{-1}|)+ln(|\frac{e}{\delta^2}|))=\infty\)

Т.е.: в случае разрывной и неограниченной функции резульат инегрирования зависит от пути, по которому происходи интегрирование.

Вы хотели написать - дельта стремится к 0?

[mishin05]

Если \(f(1)>0\), то криволинейная трапеция \(\{(x,y):x=1, 0\leq y \leq f(x)\}\) есть отрезок (лежащий на прямой, перпендикулярной оси абцисс) и его площадь равна нулю.

Почему вы разместили и правую и левую cтороны трапеции в одном и том же месте?

[mishin05]

В теореме речь идет не о вычислении первообразной, а здесь речь идет об определении первообразной от функции f, которая всегда и всюду определяется как функция, производная которой равна f. Пример: функция \(\ln(|x|)\) является первообразной для функции \(\frac1x\), потому что \(\ln(|x|)^\prime=\frac1x\).

А если Вы в определениях путаетесь, то рассуждения Ваши о теоремах неинтересны. К тому же умением вежливо разговаривать, я погляжу, господь Вас обделил - так что в игнор и точка.

А что, если убрать модуль, то все? Уже не является первообразной? Я не путаюсь нигде.

[Мастеров АВ]

Вы хотели написать - дельта стремится к 0?

Да.

[МаленькийГном]

Почему вы разместили и правую и левую cтороны трапеции в одном и том же месте?

Вопрос звучал так

Запросто! Первообразная функция - площадь под графиком. Покажите, что означает выражение: \[ \ln|1|=0 \]. Т. е. покажите геометрически, как при x=1 площадь под графиком функции \[ y=\frac{1}{x} \] равна нулю?

Уточните, площадь чего Вы имели в виду.
Обычно слова "площадь под графиком" для неотрицательной функции означает площадь криволинейной трапеции, которая сверху ограничена графиком этой функции, а снизу - отрезком, на котором задан аргумент функции. Но в рассматриваемом случае отрезок изменения аргумента функции сводится к одной точке (сами пишите " при \(x=1\) ").

[МаленькийГном]

ОБА варианта неверные. Потому, что Вы используете шарлатанскую, подогнанную под неопределенный интеграл формулу.
Теперь используем ИСТИННУЮ формулу:
\[ \int\limits_{-1}^{e}=ln\left(\frac{e}{-1}\right)=ln(-e)~~-~~\text{не существует} \]

Понимаете, такой определенный интеграл ПРОСТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ, независимо от ПУТИ!!!

Но  проблемы в Ваших рассуждениях  состоят в том, что
1. Вы не совсем понятным способом вычислили расходящийся несобственный интеграл.
2. на всём отрезке \([-1,e]\) функция \(F(x)=\ln|x|\) не будет первообразной для функции \(f(x)=1/x\). По очень простой причине -  функция \(F\) не определена во всех точках этого отрезка и тем более не дифференцируема, что противоречит определению первообразной.
3. если функция, определенная и ограниченная на конечном отрезке, может быть не интегрируемой. Просто у неё может быть слишком много точек разрыва. Например, как у функции Дирихле.

[mishin05]

Вопрос звучал такУточните, площадь чего Вы имели в виду.
Обычно слова "площадь под графиком" для неотрицательной функции означает площадь криволинейной трапеции, которая сверху ограничена графиком этой функции, а снизу - отрезком, на котором задан аргумент функции. Но в рассматриваемом случае отрезок изменения аргумента функции сводится к одной точке (сами пишите " при \(x=1\) ").

Это не отрезок изменения. Это левая сторона трапеции, а не площадь трапеции. Трапеция возникнет тогда, когда появится приращение аргумента. У Вас левая сторона трапеции все время будет иметь значение аргумента x=1, я правильно понял?

[МаленькийГном]

Это не отрезок изменения. Это левая сторона трапеции, а не площадь трапеции. Трапеция возникнет тогда, когда появится приращение аргумента. У Вас левая сторона трапеции все время будет иметь значение аргумента x=1, я правильно понял?

нет. если \(f:[a,b]\to {\mathbb R}\) непрерывная неотрицательная функция, то ей соответствует криволинейная трапеция
\(\{(x,y): a\leq x\leq b, 0\leq y \leq f(x)\}\). Нет никаких  приращений.