Первая фатальная ошибка математики - неопределенный интеграл

[Мастеров АВ]

Ошибиться может каждый. Но разумный человек способен признать свою ошибку и извиниться. А чмо ЭТОГО НЕ МОЖЕТ СЕБЕ ПОЗВОЛИТЬ!

Я б извинился, еслиб понял - в чём моя ошибка.
Но я не понимаю той проблемы, с которой ты солкнулся.
Мне думается, что ты просто чего-то не понимаешь.
Учили тебя плохо.
Или сам учился плохо.

[МаленькийГном]

ОШИБКА N1Интеграл, у которого отсутствуют верхний и нижний пределы СОГЛАСНО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ АНАЛИЗА - есть предельный вид определенного интеграла, нижний предел которого - значение аргумента, при котором первообразная равна нулю, верхний предел - переменный. Это вариант, который позволяет приращение первообразной записать в виде: F(x)-0.

Вы хотели сказать - частный случай.

Интеграл - это не ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ. В отличие от функции, которая показывает связь между двумя значениями двух переменных, производная этой функции показывает зависимость между двумя приращениями этих же переменных. ЭТОГО НЕТ В УЧЕБНИКАХ, но ИМЕННО ЭТО И ЕСТЬ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ!!!

Не совсем так. Вводится понятие дифференцируемости  функции, связывающее между собой производную функции, приращение аргумента функции и приращение значения функции: \(\Delta\, f(x)=f(x+\Delta\,x)-f(x)=f'(x)\Delta\,x+o(\Delta\,x)\),  где \( o(\Delta\,x)\) - функция, стремящаяся к \(0\) быстрее, чем \(\Delta\,x\).
Разумеется, приращение функции \(\Delta\, f(x)\) зависит не только от \(x\), но и от приращения аргумента функции \(\Delta\,x\).

Интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Дифференцирование производится не над функцией, а над ее приращением. Приращение функции - математический объект, существующий независимо от операции дифференцирования, ОН СУЩЕСТВУЕТ ДО НАЧАЛА ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ!!! Опрация дифференцирования производится в два этапа: отношение приращения функции к приращению аргумента, предел этого отношения. Поэтому интегрирование тоже заканчивается ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ - формула Ньютона-Лейбница.

\[ F'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x};~~~~\Delta F(x)=\int\limits_{x_1}^{x_2} F'(x)dx,~~x_2-x_1=\Delta x.  \]

Единственный вариант получить функцию при интегрировании: нижний предел равен такому значению аргумента, при котором первообразная равна нулю. А верхний - переменный предел. Это то, что показывает ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА МАТАНАЛИЗА!!!

\[ F(x)=F(x)-0=\int\limits_{x_0}^xF'(t)dt,~~F(x_0)=0.(1) \]

Остальное - ошибка!!! Я пока закончу. Оставлю остальные пункты на "потом". Обсудим пока это!

Что делать, если функция \(F\) нигде не обращается в \(0\)?
Вы требуете слишком многого. Операция дифференцирования однозначно обратима в достаточно узком классе функций и с этим необходимо смириться.
И не забывайте, что равенство (1) выполняется при достаточно сильных ограничениях на функцию \(F\). Она должна быть непрерывно дифференцируемой.

[Alexpo]

Мишин, вы не получили ничего нового и, разумеется никаких ошибок в матанализе не нашли. Вы просто его не до конца поняли и пишете никому не нужную отсебятину. Я уже объяснил в чем ваше непонимание, а теперь укажу на некоторые конкретные ошибки

\[ \text{Появлением неопределенного интеграла:}\int f(x)=F(x)+C~\text{ начинается ошибочная часть теории.} \] Этот интеграл взят ниоткуда, его появление ничем не оправдано и не доказано.

Знак интеграла \[ \int \] - это просто обозначение операции нахождения первообразной и ничего более. Вот захотели математики так обозначить нахождение первообразной и обозначили. Захотели назвать операцию нахождения первообразной неопределенным интегралом - и назвали. Право выбора названий и обозначений за автором. Требование доказывать вам, почему выбрано такое обозначение - бессмысленно. Оспаривать это так же бессмысленно, как и утверждать, что ошибочно называть вас Мишин, а надо называть вас Васин.

Вас путает используемое здесь слово "интеграл", то же самое, что и в понятии определенный интеграл, ну, придется вам с этим смириться. Математически это разные вещи, что понимает каждый разобравшийся в вопросе.

Название "неопределенный интеграл" связано исторически с тем, что В формулу Ньютона -Лейбница для определенного интеграла входят определенные значения первообразной, соответственно все возможные первообразные назвали неопределенным интегралом.

\[ F(x)=\int \limits_{x_0}^x f(t)~dt,~~F(x_0)=0;~~~~~C=\int\limits_0^C~dt.[ \]

А вот здесь уже имеются логические ошибки.
Вы определяете F(x) через х₀ , которое можно найти только после нахождения F(x). Это недопустимо!

Возьмем, например, функцию y = 1/t, приведенную вами в качестве примера
\[ \text {Если}~~f(t)=\frac{1}{t}:~~~F(x)=\int\limits_1^x f(t)dt=ln(x)=ln\left(\frac{x}{1}\right); \]
скажите, на каком основании вы взяли нижний предел 1? Таблицей интегралов пользоваться нельзя, ведь вам еще только предстоит получить первообразную в первый раз по определению.

Аналогичная логическая ошибка и в
\[ C=\int\limits_0^C~dt.[ \]

С определяется через саму себя. Это так же недопустимо.

сама же формула  
\[ F(x)-F(x_0)=\int \limits_{x_0}^x f(t)~dt \]
Очевидна, хорошо известна, и ничего нового не несет.

Первообразная функция - площадь под графиком.

Это в таком виде неверное утверждение.
Во-первых, не определено что такое площадь под графиком.
Во-вторых, функция может быть отрицательной, а площадь обязательно положительна
В третьих, это не соответствует определению первообразной. Первообразная - любая функция, производная которой равна данной.
Вот , например, функции y = x², y = x² +5, y = x² - все являются первообразной функции y = 2x. О какой из этих фунций говорится у вас?

Ну, пока хватит.

[Мастеров АВ]

Мишин, вы не получили ничего нового и, разумеется никаких ошибок в матанализе не нашли.

У него венигрет в голове из отрывочных знаний, поэтому он и пишет, словно бредит.

Он не понимает, неопределённый интеграл никакого отношения к площади под кривой не имеет.
Неопределённый интеграл обозначает функцию, которую принято называть первообразной, и производная которой равна исходной функции.

Определённый интеграл не является функцией, а  является числом, значение которого совпадает со значением площади под кривой.

[Alexpo]

Придется отвечать на твоем языке. Ты не просто глуп - ты законченый ДЕБИЛ!!! Ты вообще не понимаешь, что такое математика. Ты обезьяна, которая повторяет чужие мысли из учебников и не способна сама даже к мало-мальскому рассуждению.

Понимаещь, идиот, есть такой вариант, при котором функция равна нулю! Этот вариант возможен, если аргумент равен нулю. На графике аналогом является ТОЧКА - начало системы координат. Графически эта точка - ЕСТЬ ПЛОЩАДЬ, РАВНАЯ НУЛЮ!

Если вы продолжите общаться в том же стиле, я буду вынужден вас наказать. 

Я во многом не согласен с Мастеровым (слово "не люблю" здесь не подходит), но здесь я согласен с ним. Вы не правы.

[Alexpo]

Он не понимает, неопределённый интеграл никакого отношения к площади под кривой не имеет.
Определённый интеграл не является функцией, а  является числов, значение которого совпадает со значением площади под кривой.

Это не совсем так. Существует определенный интеграл как функция верхнего предела. Вот он связан с первообразной. Собственно это Мишин и пытается использовать.

Вот только определенный интеграл как функцию верхнего предела нельзя положить в основу анализа, он не первичен. Вот это и есть ошибка Мишина, помимо прочего.

[Alexpo]

ОШИБКА N1 Интеграл, у которого отсутствуют верхний и нижний пределы СОГЛАСНО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ АНАЛИЗА - есть предельный вид определенного интеграла

Да, это ваша ОШИБКА N1. Интеграл, у которого отсутствуют верхний и нижний пределы вообще не является определенным интегралом по определению оного.

Интеграл - это не ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Понятие просто интеграл отсутствует в математике. Поэтому ваша фраза просто бессмысленна. Есть определенный и неопределенный интегралы.

В отличие от функции, которая показывает связь между двумя значениями двух переменных, производная этой функции показывает зависимость между двумя приращениями этих же переменных. ЭТОГО НЕТ В УЧЕБНИКАХ, но ИМЕННО ЭТО И ЕСТЬ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ!!!

Это грубейшая ошибка и непонимание определения и смысла производной

Я полностью согласен с Маленьким гномом, но он не совсем четко ответил. Поэтому я хотел бы просто немного перефразировать его ответ
Δf(x)=f(x+Δ,x)−f(x)=f ′ (x)Δx+o(Δx) , поэтому значение производной связывает приращения  Δf(x) и  Δx , только если функцией o(Δx)  можно пренебречь, строго говоря, когда она тождественно равна нулю. Но поскольку для произвольного Δx функция o(Δx) не равна тождественно нулю, то вы не правы.

Мишин, чтобы вам стало понятнее, ответьте на вопрос:
Пусть  значение производной равно 2. Вы полагаете, что Δf(x)=2Δx?

[МаленькийГном]

Я полностью согласен с Маленьким гномом, но он не совсем четко ответил. Поэтому я хотел бы просто немного перефразировать его ответ
Δf(x)=f(x+Δ,x)−f(x)=f ′ (x)Δx+o(Δx) , поэтому значение производной связывает приращения  Δf(x) и  Δx , только если функцией o(Δx)  можно пренебречь, строго говоря, когда она тождественно равна нулю. Но поскольку для произвольного Δx функция o(Δx) не равна тождественно нулю, то вы не правы.

Мишин, чтобы вам стало понятнее, ответьте на вопрос:
Пусть  значение производной равно 2. Вы полагаете, что Δf(x)=2Δx?

Всё правильно - я привёл определение дифферецируемости функции. Если в выражении Δf(x)=f(x+Δ,x)−f(x)=f ′ (x)Δx+o(Δx) отбросить малые слагаемые, то получится определение дифференциала функции \(df(x)=f'(x)dx\). Возможно я не совсем чётко выразился - свойство дифференцируемости связывает производную функци, приращение аргумента и приращение функции с точностью до малых слагаемых. Малость означает, что \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0\).
Если обобщать эту формулу, то получатся формулы Тейлора.

Для функций одной переменной свойство дифференцируемости функции равносильно существованию производной. Для функций многих переменных это не так.

[mishin05]

Все ясно. Бессмысленно показывать людям, не имеющим способности мыслить, а только повторять чужие мысли, выдавая их за свои, что-либо, противоречащее этим чужим мыслям. С этим, в свое время, столкнулся и Галилей, и многие другие. То же охаивание, непонимание, и т.д. Просто Б Е С С М Ы С Л Е Н Н О !!!

[МаленькийГном]

Все ясно. Бессмысленно показывать людям, не имеющим способности мыслить, а только повторять чужие мысли, выдавая их за свои, что-либо, противоречащее этим чужим мыслям. С этим, в свое время, столкнулся и Галилей, и многие другие. То же охаивание, непонимание, и т.д. Просто Б Е С С М Ы С Л Е Н Н О !!!

Если Вы будите формулировать свои утверждения в более общепринятых терминах, то Вас, возможно, поймут.

А Вы думали, что посетители БФ сразу начнут повторять Ваши мысли?

Прочитайте ещё раз свой лозунг и поймите, что необходимо доказывать свои утверждения.

[marcos]

Вот , например, функции y = x², y = x² +5, y = x² - все являются первообразной функции y = x.
Ну, пока хватит.

1/2 потеряли у квадрата икса.

[mishin05]

Если Вы будите формулировать свои утверждения в более общепринятых терминах, то Вас, возможно, поймут.

А Вы думали, что посетители БФ сразу начнут повторять Ваши мысли?

Прочитайте ещё раз свой лозунг и поймите, что необходимо доказывать свои утверждения.

Что Вы пишете? Если человек оспаривает термины и определения, а ему ставят "в пику", что он противоречит терминам и определениям, неужели Вы не понимаете, что эти претензии абсурдны. Другой вопрос: найти слова ПОМИМО ТЕРМИНОВ, чтоб понять суть вопроса. Но слов никто не понимает: ВСЕ ЗАУЧИЛИ НАИЗУСТЬ ТЕРМИНЫ! Поэтому, чтобы общаться и обсуждать ПОНЯТИЯ И  ТЕРМИНЫ, необходим еще и ИНОЙ СЛОВАРНЫЙ ЗАПАС и СПОСОБНОСТЬ МЫСЛИТЬ ТВОРЧЕСКИ, но я этого не вижу. Ни один человек не объяснил термин из учебника СВОИМИ СЛОВАМИ. Потому, что ИХ НЕТ!!!

[mishin05]

1/2 потеряли у квадрата икса.

Зря Вы это...Мы все взрослые люди и понимаем, что это описка. Здесь решаются идеи, а не правильность их записи.

[Alexpo]

1/2 потеряли у квадрата икса.

Конечно, спасибо. Я потерял 2 в записи функции. Исправил.

[Alexpo]

Если человек оспаривает термины и определения,

В том виде, как это делаете вы, это бесмысленно.

Обратите внимание, что вы не ответили ни на одно высказанное вам возражение и ни на один заданный вам вопрос. Это показатель....

Сравнение себя с Галилеем аргументом не является.

[mishin05]

В том виде, как это делаете вы, это бесмысленно.

Обратите внимание, что вы не ответили ни на одно высказанное вам возражение и ни на один заданный вам вопрос. Это показатель....

Сравнение себя с Галилеем аргументом не является.

Мне не задали ни одного вопроса, на который в ветке не было бы ответа. Повторять уже сказанное каждому в отдельности я не вижу смысла. Возражений ни одного не было. Я показывал, что считаю неверным в теории матанализа, мне утверждали, что оно верно. Без аргументов. Просто цитировали выдержки из учебников. Единственное ЛИЧНОЕ мнение высказали Вы, что знак интеграла, символизирующий первую букву в слове "sum" нарисовали "от балды". Но я позволю себе воздержаться от комментариев...
А вот на мои вопросы ответов действительно, за исключением: "площадь отрезка равна нулю", не было НИ ОДНОГО!

Судя по Вашему апломбу, Вы интеллектуально превосходите меня, по меньшей мере, раз в 600. Я хочу обнаружить ошибки, которые совершает, при анализе, мой мыслительный аппарат. Поэтому предложил Вам в этой ветке тему, в которой хочу узнать Ваше мнение по некоторым ключевым, для себя, моментам. Будьте добры, поделитесь плодами своего разума, потому, что ответов на эти вопросы в учебниках нет. Их придется давать самому, в соответствии со своим образом мышления....

[Вашкевич Виктор]

Мне не задали ни одного вопроса, на который в ветке не было бы ответа. Повторять уже сказанное каждому в отдельности я не вижу смысла. Возражений ни одного не было. Я показывал, что считаю неверным в теории матанализа, мне утверждали, что оно верно. Без аргументов. Просто цитировали выдержки из учебников. Единственное ЛИЧНОЕ мнение высказали Вы, что знак интеграла, символизирующий первую букву в слове "sum" нарисовали "от балды". Но я позволю себе воздержаться от комментариев...
А вот на мои вопросы ответов действительно, за исключением: "площадь отрезка равна нулю", не было НИ ОДНОГО!

Судя по Вашему апломбу, Вы интеллектуально превосходите меня, по меньшей мере, раз в 600. Я хочу обнаружить ошибки, которые совершает, при анализе, мой мыслительный аппарат. Поэтому предложил Вам в этой ветке тему, в которой хочу узнать Ваше мнение по некоторым ключевым, для себя, моментам. Будьте добры, поделитесь плодами своего разума, потому, что ответов на эти вопросы в учебниках нет. Их придется давать самому, в соответствии со своим образом мышления....

По-моему, Вы забрались в такие эмпиреи математики, в которых никто уже ничего не понимает.
В этих высших сферах  для Вас нет ни собеседника, ни оппонента.

Допустим, Вы действительно, как Галилей.
Но если Галилей, то Вас не отправят на костер, если только Вы откажетесь от своих утверждений.

[Alexpo]

Мне не задали ни одного вопроса, на который в ветке не было бы ответа.

Понятно, т.е. ответить вы не в состоянии. Я вам напомню, что вы не смогли ответить даже на простые вопросы, откуда взялся нижний предел в интеграле для F(x)  и уверены ли вы, что для для  значения производной равного 2 выполняется Δf(x)=2Δx?
Я прекрасно понимаю, почему вы не хотите отвечать на эти вопросы. Ведь правильный ответ покажет неправильность ваших утверждений.

Судя по Вашему апломбу, Вы интеллектуально превосходите меня, по меньшей мере, раз в 600. Я хочу обнаружить ошибки, которые совершает, при анализе, мой мыслительный аппарат. Поэтому предложил Вам в этой ветке тему, в которой хочу узнать Ваше мнение по некоторым ключевым, для себя, моментам.

Я никогда не сравниваю интеллекты. Но могу сравнивать знания. Я преподаю математику и использую ее много лет, поэтому считаю, что ее азы я знаю.

ответов на эти вопросы в учебниках нет.

Я не нашел ваших вопросов. Поэтому соответственно нельзя и найти ответов. У вас есть только несколько утверждений, которые я считаю либо бессмысленными либо неверными. Ваши формулировки не выдерживают критики.

Приведу пример. Вы написали

Интеграл - это не ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ.

Но ведь 1) в математике нет понятия просто интеграл. Соответственно нет утверждения "Интеграл - это ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ." Поэтому ваша претензия бессмысленна 2)  ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ просто названа "неопределенным интегралом". Говорить, что имя выбрано неправильно опять таки бессмысленно. Можно говорить только о том, что вам не нравится это название. Возможно, оно и неудачное, вот только к ошибкам в матанализе это не имеет никакого отношения. Это аналогично рассуждениям о неудачности названий ЭДС или сила тока в физике, поскольку это вовсе не силы. Но это вовсе не приводит к ошибками в физике. И устоявшиеся названия вряд ли кто-то будет менять.Лично я в этом нужды не вижу.  И так всем все понятно. 3) Отрицать вы отрицаете, а вот собственного определения так и не дали, что также лишает вашу претензию смысла.

[МаленькийГном]

По-моему, Вы забрались в такие эмпиреи математики, в которых никто уже ничего не понимает.
В этих высших сферах  для Вас нет ни собеседника, ни оппонента.

Допустим, Вы действительно, как Галилей.
Но если Галилей, то Вас не отправят на костер, если только Вы откажетесь от своих утверждений.

А Галилея отправили на костёр?

[Вашкевич Виктор]

А Галилея отправили на костёр?

Нет, он же отказался от коперниковской ереси.