013.03.10 О равенстве сумм индивидуальных скоростей при упругом столкновении тел

[Гришин Станислав Григорьевич]

Интересный факт обнаружился при решении задач на упругое столкновение тел
с помощью закона сохранения количества движения и закона сохранения энергии.
mv_до+MV_до=mv_после+MV_после                            (1),
mv²_до+MV²_до=mv²_после+MV²_после                      (2),
где m и M - массы сталкивающихся тел,                               
v_до и V_до - скорости до столкновения первого и второго тела,
а v_после и V_после - их скорости после столкновения.
Оказывается, что уравнение ЗСЭ в системе можно заменить уравнением   
v_до+v_после=V_до+V_после                                      (3)
Это позволяет решать задачу (1)U(2) в виде (1)U(3), что в большие разы
упрощает и ускоряет её решение и его проверку...


Вот ещё кое-что по некоей "колыбели" из равномассивных шаров. Итак,
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D1%8B%D0%B1%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0

http://www.youtube.com/watch?v=GUGr2kaZdqA
Тут есть нюансик. Не ясно как воспринимать при расчётах касания шаров -
монолитно, каскадно или ещё как. И хотя правило, описывающее движение
в "колыбели" я всё же нащупал, оно не годится для случая с разномассивными шарами.

[Alexpo]

Закон звучит так:
При упругом столкновении двух тел суммы индивидуальных скоростей тел равны
вне зависимости от масс.
Использование его вместе с законом сохранения количества движения (законом сохранения импульса
силы) позволяет в два счёта с помощью детской математики получить закон сохранения мех.энергии

Гришин, вам же уже объясняли, что ничего нового вы не обнаружили. См. скан из учебника: формула М7.37 и текст под ней.



Эта формула всегда используется при решении задач на упругий удар двух тел. Это еще в школе объясняют.

Получение с ее помощью закона сохранения энергии - вещь бессмысленная, т.к. эта формула есть следствие ЗСЭ. По этой же причине бессмысленно объявлять ее самостоятельным законом. Еще раз повторю, если есть ЗСЭ и ЗСИ, то это следствие

Заменить ЗСЭ эта формула не может, поскольку ЗСЭ более универсален.

[Фёдоров В.В.]

Итак, уважаемые участники дискуссии!

Вы, наконец-то, поняли или нет, что доказательством математической несовместимости классических законов сохранения импульса и энергии является отсутствие экспериментального подтверждения абсурдного теоретического результата (u₂=v'₂=5м/сек при v₁=3м/сек) решения системы уравнений ЗСИ и ЗСЭ для рассмотренного в Школьный пример противоречия классических законов сохранения энергии и импульса случая упругого соударения шаров, так как ЭКСПЕРИМЕНТА, ПОДТВЕРЖДАЮЩЕГО ПРЕВЫШЕНИЕ СКОРОСТИ ВТОРОГО ШАРА МЕНЬШЕЙ МАССЫ, который покоился до упругого соударения, ЗНАЧЕНИЯ СКОРОСТИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ПЕРВОГО ШАРА БОЛЬШЕЙ МАССЫ ДО СТОЛКНОВЕНИЯ, НЕ СУЩЕСТВУЕТ?

[Grigoriy]

Решаю традиционным способом (через решение системки: закон сохранения импульса -
закон сохранения энергии) задачку о встречном столкновении mv=2*20 и MV=10*(-10)
и у меня масса М (=10) после столкновения останавливается.
Не могу в это поверить... Уж я и так, и этак - всё одно получается.  Видно, у меня где-то заклинило.
Други мОи, не сочтите за труд. укажите на хомут - задачка-то простенькая, много времени не отнимет.

А как вы решили, решение напечатайте.
Логически рассуждая, малый слева шар 2 кг, справа больший 10 кг.
До взаимодействия имеем:
Слева импульс 40 кг·м/с, справа 100 кг·м/с
Слева энергия 400 Дж, справа 500 Дж
Теперь ответь мне на такой вопрос: как может шар массой 10 кг остановиться, имея больший по модулю импульс и энергию, чем у шара массой 2 кг?

[Гришин Станислав Григорьевич]

Обо всём мною сказано-пересказано везде, хоть в основном разделе.
И читайте, едрёна вошь, то, что написано. Сколько можно повторять?!
Или вы хотите мне просто вдолбить своё мнение о том, чего не читали?
Пустое, таких мнений я уже вагон начитался. Почти сплошь анонимных.
Указывайте на конкретные ошибки, если в состоянии.
Фёдоров, а Вы-то куда в открытую дверь ломитесь крупным шрифтом?
Дачник не может никак упруго успокоиться. В очередной раз говорю:
Речь идёт о разномассивных точках.
Долдонишь Вам, долдонишь, а Вы всё своё: "Спой, да спой"...
И про уравнения уже в зубах навязло. Ещё и вычислительный
пример приведен, показывающий несостоятельность подхода.
Вычисленный именно с помощью системы ЗСИ U ЗСЭ.
Нет: "У попа была собака, ...". И не один Дачник такой.
Для остальных ещё раз - всё разжёвано в основном разделе.

Теперь ответь мне на такой вопрос: как может шар массой 10 кг остановиться,
имея больший по модулю импульс и энергию, чем у шара массой 2 кг?

Этот вопрос не ко мне, а к Alexpo, Дачнику и ко всей прочей честнОй компании,
кроме Фёдорова. Это у них так происходит, начиная с Лейбница. У меня - нет.
Смотрите тему:"011.01.14 ... " в основном разделе. Потешитесь.

... доказательством математической несовместимости классических законов сохранения импульса и энергии...
является отсутствие экспериментального подтверждения абсурдного теоретического результата
(u₂=v'₂=5м/сек при v₁=3м/сек) решения системы уравнений ЗСИ и ЗСЭ ...

Через эксперимент попробуй докажи - вмешивается необходимость учёта влияния упругости.
Кроме того, у меня речь идёт не о несовместимости ЗСИ и ЗСЭ, а о несовместимости ЗСИ
и современной формализации ЗСЭ.
А несовместимость системы элементарно показывается применением этой самой системы
в каскадном столкновении шаров (как разномассивных точек), дающем невозможные
с более общих позиций результаты. И феноменологически невообразимые.
Нарушающие мой любимый принцип:
Нельзя отдать или взять больше, чем есть
Всё это показано в основном разделе в упомянутой выше теме.

[Фёдоров В.В.]

Дурачина ты, простофиля!

Ну что вы, дурачина - это некий оперирующий извращенной логикой простофиля, лгущий о том, что "закон инерции - это второй закон Ньютона"

никакого отношения к инерции первый в формулировке Ньютона не имеет.
Законом инерции является второй

и заявляющий о том, что ускоренное движение "по инерции" происходит благодаря свойству массы "противодействовать ускорению"

движение ПО ИНЕРЦИИ - это всегда движение ускоренное, ибо инерция - свойство массы противодействовать ускорению.

который, правда, до сих пор так и не сподобился привести в доказательство своих галлюцинаций экспериментальный пример существования в Природе движений, происходящих благодаря противодействию собственной причине.

Ступай к золотой рыбке и попроси её рассказать тебе про ударный трансформатор Гюйгенса.

После этих хамских выпадов разговор с лицемерм, хамящим под лозунгом "Хамству - бой!", окончен, так как если бы он знал, что ускоренное движение самого массивного бойка в трансформаторе Гюйгенса не соответствует рассматриваемым в теме начальным условиям движения участвующих в упругом соударении тел разной массы (напр.шаров), то не совался бы в дискуссию с не имеющим отношения к ее предмету "примером".

[Гришин Станислав Григорьевич]

В своём решении я не использую закона сохранения энэргии
(в любой формализации). Только в "колыбели" качаюсь..
Проверяю решение (ещё раз - проверяю) с помощью закона
сохранения количества движения (по-Вашему - импульса).

Потому как без второго уравнения по сохранению кин. энергии, решения получить нельзя.

Ещё как можно... Об этом в теме "016.05.15 ....".

Покажите ваше решение без использование решений, которые показал Алекспо.
Повторяю, не всем  можно верить.

Вы что в неадеквате? Я с Алекспо воевал по поводу представленного им "решения".
Моё решение обсуждавшегося примера (и алгоритм его получения) представлено
в основном разделе в теме "016.05.15 ..."

О каком равенстве сумм скоростей вы говорите, если речь ведете по сохранению суммы импульсов.

Говорю именно о том, о чём пишу. Всё разжёвано до тошноты.
Читать упрямо не хотите, а своё сказать хочется...

[Alexpo]

Когда это было - не было у него никакого решения...

Ай-ай-ай!
Мое решение на скане, приведенном выше

Моё решение обсуждавшегося примера (и алгоритм его получения) представлено
в основном разделе в теме "016.05.15 Неужели ларчик открылся?"Говорю именно о том, о чём пишу. Всё разжёвано до тошноты в основном разделе.

Там малограмотная чушь, связанная с непониманием физики процесса столкновения

[Гришин Станислав Григорьевич]

Там малограмотная чушь, связанная с непониманием физики процесса столкновения

Как всегда отвязно паразитируете на моём терпении...

Мое решение на скане, приведенном выше

"Там малограмотная чушь, связанная с непониманием физики процесса столкновения".
Нет, там не малограмотная, а бестолковая.

[Гришин Станислав Григорьевич]

Дачник молчит, потому решаю его задачку:
М1 = 5 кг     V1 =3 м/сек.
М2 = 2 кг     V2 = 5 м/сек.
в варианте, когда второе тело догоняет первое
(прямо так, как у него и написано).
2*5 + 5*3  ~   2*2 + 5*0
2*2 + 5*0 =>  2*0 + 5*4/5
2*0 + 5*4/5 ~ 2*3 + 5*19/5. Всё.
Проверка. 2*5 + 5*3 = 25 = 2*3 + 5*19/5.
Решение в официозе: 2*5 + 5*3 => 2*2.1428 + 5*4.1428.

[Фёдоров В.В.]

Ну и ладушки...

Дачник молчит, потому решаю его задачку:
М1 = 5 кг     V1 =3 м/сек.
М2 = 2 кг     V2 = 5 м/сек.
в варианте, когда второе тело догоняет первое
(прямо так, как у него и написано).
2*5 + 5*3  ~   2*2 + 5*0
2*2 + 5*0 =>  2*0 + 5*4/5
2*0 + 5*4/5 ~ 2*3 + 5*19/5. Всё.
Проверка. 2*5 + 5*3 = 25 = 2*3 + 5*19/5.
Решение в официозе: 2*5 + 5*3 => 2*2.1428 + 5*4.1428.

Вы так много раз повторяли

v_до + v_после = V_до + V_после  -

что забыли свое "решение" проверить на соответствие вашему "открытию"?

Ничего, бывает...

[Гришин Станислав Григорьевич]

Как показывает опыт моего общения с местной (да и не местной) публикой,
люди читают только последнее сообщение и тут же бросаются в бой со своим мнением.
Причём читают кое-как, и отвечают не на то, что написано, а излагают своё мнение
по поводу того, что им прочиталось. Это относится в равной степени и к альтам, и к ортам.
На этом фоне я бы хотел дать некоторое разъяснение по поводу ереси, излагаемой мною
в своих физических темах.
Все мои содержательные сообщения касающиеся механики в эквипотэнциальном поле
можно разделить на
- подрывающие физическую содержательность выражений mv²/2 и FS;
- подрывающие существующую формализацию закона сохранения механической энергии;
- относящиеся к попытке создания содержательного алгоритма определения скоростей   разномассивных точек после их столкновения.
 Вся суть понятна из истории. Сначала я понял физическую бессмысленность выражения mv²/2,
которое есть интеграл от количества движения по скорости при изменении её от нуля до V.
Потом доказательно подтвердил её геометрически, арифметически, с различных
позиций феноменологически (включая наглядные примеры) и вычислительно (через
решения задач на столкновения разномассивных точек).
Потом, на автомате, показал феноменологически афизичность FS.
При определении скоростей разномассивных точек после их соударения обнаружилось,
что существующая не менее 320 лет стандартная процедура даёт невообразимые результаты,
противоречащие не только здравому смыслу, но и второму закону Дэкарта о передаче движения.
Процедура эта состоит в совместном использовании закона сохранения количества движения (ЗСКД)
[вульгарно - закона сохранения импульса (ЗСИ)] и закона сохранения энергии (ЗСЭ)
[в виде закона сохранения энергии (ЗСЭ)]. Ковыряясь в вычислениях,
разбираясь в результатах пассивных экспериментов (в частности в известной "колыбели")
я пришёл к выводу, что решение известной системы может быть получено без использования
квадратного уравнения закона сохранения энергии, путём замены его простейшим
линейным уравнением без масс и коэффициентов. Это было уравнение, которое я назвал
законом равенства сумм индивидуальных скоростей (ЗаРСИС) при столкновенниях
разномассивных точек. Конечно, это - скандал! Замена в вычислениях такой
квадратичной глыбы каким-то эмпирическим простейшим линейным уравнением
впечатлит кого угодно.
Но юмор в том, что скорости эти, как и равные им скорости из решения системы
ЗСИ U ЗСЭ - не правильные, так как нарушают по отношению к количеству
движения мой любимый общий принцип:
"Нельзя отдать или взять больше, чем есть"
Анализируя поведение шаров в известной колыбели, я нашёл простую содержательную
процэдурку решения задачи, которая пока никем не опровергнута.

[Гришин Станислав Григорьевич]

Вы так много раз повторяли
что забыли свое "решение" проверить на соответствие вашему "открытию"?
Ничего, бывает...

Миленький, это проверка не для моего решения, а для решения в официозе...
В моём решении суммы индивидуальных скоростей не должны совпадать.
Как и есть в примере. А если, не дай Бог, совпадут, то моё "решение" тоже
не будет корректным.

[Гришин Станислав Григорьевич]

Многие на разных форумах доказывали мне, что закон равенства сумм индивидуальных
скоростей (для краткости - ЗаРСИС) является следствием закона сохранения энергии.
Дескать, ЗаРСИС получен из ЗСЭ, и никак иначе. С пеной у рта со всей эмоцианальность.
А орты - так те чуть из штанов не выскакивали. Сканы учебников приводили раз за разом,
Однако, я нашёл опровержение всем этим голякам, обнаружив доказательный факт
из истории физики.
Подробнее. В своё время я обнаружил равенство v₁+v₂ = V₁+V₂ при традиционном решении
задач на столкновении тел как разномассивных точек. Дал ему рабочее название -
закон равенства сумм индивидуальных скоростей (ЗаРСИС). Получил я его из анализа
решений ряда соответствующих задач.
О приоритете, конечно же, и речи не могло быть - уж больно он оказался прост.
Хоть о нём нигде никто никогда не заикался, и он валялся в пыли на обочине дороги
никому не нужный, но вероятность того, что он уже давно известен как проходной
результат, я оценивал очень высоко. Но такое невнимание к нему меня очень удивило.
Ещё бы, у квадратного уравнения ЗСЭ - такой простой конкурент (линейный, без квадратов,
без масс и коэффициентов), позволяющий решать задачи в разы проще и быстрее!
А проверка решения - так просто два сложения и одно сравнение...
Естественно, я с ним вылез на форумные просторы.
Тут поднялся галдёж и лай, что это лишь следствие закона сохранения энергии
энергии (ЗСЭ). Мои заявления по поводу того, что сам ЗСЭ на раз-два
из системы ЗСИ U ЗаРСИС получается, остались без внимания.
Но "битому-то не ймётся", и я добавил в спор тождественную ЗаРСИС по смыслу
формулировку: "Скорость разлёта двух тел (после столкновения) по величине
равна скорости их слёта до столкновения".
И вот тут-то я и обнаружил, что Гюйгенс ещё в 1673 сформулировал своё

предложение IV: "Если два тела сталкиваются, то их относительная скорость удаления
после удара та же, что и относительная скорость сближения до удара".

Оп-ля !! То-есть, Гюйгенс более чем за 20 лет до изобретения Лейбницем
mv² мог без всяких "живых сил" в два счёта получить ЗСЭ (из ЗСИ и своего предложения IV) .
{Преобразовал бы своё предложение IV в ЗаРСИС и помножил бы обе части
полученного равенства, соответственно, на обе части равенства в выражении ЗСИ}
Так что оказалось и исторически подтвердилось, что
ЗСЭ не является отцом предложения IV Гюйгенса и, соответственно, ЗаРСИС тоже...
Печально, но, как я показал в своих темах в этом разделе и во многих других местах,
все они (трое) оказались несостоятельными...
Но на своём приоритете применения моей системы:


для решении задач на столкновение, так как это принято сейчас
в официозе, я настаиваю. С паршивой овцы хоть шерсти клок...

[Гришин Станислав Григорьевич]

Похоже, в системе уравнений лучше не использовать в одном уравнении функции,
а в другом - их первообразные. Может чепуха получится как в системе - закон сохранения импульса
U закон сохранения энергии - при определении скоростей разномассивных точек после их столкновения.

[Владимир Савельев]

Может кому будет интересно, если я выложу здесь вывод с помощью элементарных средств формулы силы удара при упругих соударениях, которую считаю основой основ для теории удара, но которой почему нигде нет. Кстати эта формула была получена мной эмпирически (опытным путем), а потом уже выведена, так что в ее справедливости можете быть уверены. Все писалось для спортсменов, так что будьте снисходительны).
Вы все, наверное знаете, что при абсолютно упругом соударении сначала происходит деформация соударяющихся тел (одного или обоих) и кинетическая энергия тел переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а потом происходит обратный процесс перехода энергии деформации в кинетическую без потерь. При этом ударный импульс имеет симметричную колоколообразную форму. В реальности же при соударениях, при которых даже ничего вроде не ломается и не перемешивается, обратный переход потенциальной энергии в кинетическую происходит лишь частично и при абсолютно неупругом ударе не происходит совсем (в этом случае тела после соударения движутся как одно целое). В случае неупругого соударения спад импульса после максимума происходит более быстро и чем соударение менее упруго тем быстрее. Уже давно, еще Ньютоном было предложено неупругость соударений оценивать по коэффициенту восстановления. Он равен отношению скоростей после и до удара и характеризует упругие свойства тел. Пусть тело падает вниз на поверхность из этого же материала и отскакивает до высоты h. Знаем со школы, из закона сохранения энергии, что если тело вылетит вертикально вверх со скоростью v до высоты h, то  (mv^2)/2=mgh  и  v^2=2gh. Нетрудно понять, что квадрат коэффициента восстановления будет равен отношению высоты на которую поднялось тело после удара к высоте, с которой оно упало. Таким образом квадрат коэффициента восстановления определяет коэффициент восстановления энергии при ударе. Вот для лучшего понимания коэффициенты восстановления некоторых материалов алюминий–0,23 дерево–0,5 сталь–0,6 слоновая кость–0,89 стекло-0,94. То есть при соударении алюминиевых объектов «теряется» 95% энергии движения, у деревянных- 75%, стальных –64%, изделий из слоновой кости – только 21%, поэтому и наиболее подходящий материал для бильярда, а стеклянных (если не разобьются конечно) - всего лишь менее 12%. Из всего этого главное понять, что упругий удар от неупругого больше отличается лишь искажением второй половины импульса. Естественно мы не рассматриваем здесь такие удары, при которых мишень ломается, это происходит, как правило если энергия удара превышает некий уровень, определенный для конкретной мишени ее хрупкостью или если в мишени что-то перемешивается (песок или жидкость), то есть структура мишени меняться не должна. Таким образом занимаясь теорией как бы не существующих абсолютно упругих соударений мы можем получить формулу максимального значения силы удара (формулу удара) вполне применимую и для реальных (неупругих) соударений и пользоваться ею для практики.
В качестве лирического отступления, хочу сказать, что по большому счету весь окружающий нас мир состоит в общем то из частиц-атомов ведущих себя как абсолютно упругие объекты, так что и мы живем практически в абсолютно упругом мире и неупругость мира проявляется только при больших энергиях, скоростях(температурах) и давлениях превышающих некие прочностные характеристики.
В нашем мире, при малых скоростях любое соударение тел (движущихся навстречу, либо догоняющих один другое), можно рассматривать как соударение движущегося с неподвижным. Также естественно, что сила удара будет одинакова вне зависимости от того большое ли тело врезается в маленькое или наоборот маленькое в большое, главное, чтобы относительная скорость объектов была бы одинаковая. Когда задача решается первый раз (задача нетривиальная), то правильное решение невозможно без правильного понимания.

[Владимир Савельев]

Поговорим о законе сохранения импульса (количества движения). Пусть материальная точка массой m1 и скоростью v1 сталкивается с телом m2,v2. А полученные в результате удара скорости v3 и v4 соответственно. Согласно третьему закону Ньютона – в процессе соударения сила, действующая на каждое из соударяющихся тел в любой момент контакта будет одинакова, а согласно второму закону тел сила будет пропорциональна массе этого тела и ускорению, которое это тело будет испытывать. То есть F1=F2=m1 a1=m2 a2 в любой момент всего времени контакта. Проинтегрировав это соотношение по времени контакта как раз и получим закон сохранения импульса  m1(v3-v1)=m2(v4-v2) При абсолютно упругом соударении изменение импульса каждого из тел одинаково. Вот как раз такую трактовку закона сохранения импульса я считаю основной, так как в более глубокомысленной трактовке теряется понимание. Например, в такой формулировке – «В замкнутой системе тел, где возможны только абсолютно упругие соударения, сумма импульсов является величиной постоянной». Если мы добавим к этому уравнению, выражающему закон сохранения импульса уравнение закона сохранения кинетической энергии (m1 (v1)^2)/2+(m2 (v2)^ 2)/2=(m1 (v3)^2)/2+(m2 (v4)^ 2)/2      то, получим систему двух уравнений, с помощью которой можно решать задачи о столкновении тел. Эта система имеет решение даже для случая неупругих столкновений (с коэффициентами восстановления), но для понимания и вывода формулы удара нам достаточно знать решение для абсолютно упругого соударения и случая, когда второе тело неподвижно. Чтобы не путаться в дальнейшем пусть тело массой m врезается со скоростью v в тело большей массой М, которое приобретает скорость V. Тело же m отлетает назад со скоростью v1. То есть происходит столкновение тела m с мишенью M. Наша система уравнений приобретет вид m(v-v1)=MV  и  (mv^2)/2=(m(v1)^2)/2+ (MV^2  )/2   Решая ее получаем, что после удара ударная конечность отлетит со скоростью
v1=(v(M-m))/((M+m)) , а скорость мишени будет V=2mv/((M+m)) . К реальности эти рассчитанные значения конечно же отношению не имеют, так как абсолютно упругие столкновения возможны только в мире элементарных частиц, но это нам поможет рассчитать максимальное значение силы удара, которое будет уже близко к реальному. Хочу заметить также, что если объекты равны по массе m=M, то v1=0 – первый объект остановится, а второй приобретет скорость первого V=v. Такой удар можно наблюдать в бильярде и называется он клапштос. Так что теория удара вполне рабочая для реальных объектов, обладающих высоким коэффициентом восстановления. А чем большая разница в массе, тем меньше меняется скорость легкого объекта, то есть тяжелому объекту передается все меньше и меньше энергии и в конце концов, когда M устремляется к бесконечности, как в столкновении со стеной энергия вообще не передается – легкий объект отскакивает с той же скоростью. В реальности конечно отскок определяется коэффициентом восстановления, но если сама стена достаточно жесткая-прочная (а значит, как раз упругая), то энергии стене точно не достанется. Поэтому, когда вы наносите удар в железобетонную стену вся энергия удара, полностью отразится в вашу руку и если удар будет достаточно сильным, то энергии как правило окажется достаточно чтобы получить травмы. Вообще надо понимать, что когда вы давите на стенку (а удар - это лишь кратковременное давление), то никакой энергии вы не передаете, а поставив в это место распорку (обеспечивающую такое же давление) и не тратите.
Из решения системы также следует, что если легкое тело врезается в гораздо более тяжелое, то отскакивает практически с той же скоростью. А если тяжелое врезается в легкое, то легкое тело отлетает со скоростью почти в два раза большей. Причем сила удара в обоих случаях будет одинакова. Надо понять, что такое происходит потому, что в первом случае легкое тело сначала тормозится, потом отскакивая разгоняется. Во втором же случае легкое тело начинает разгоняться в самом начале контакта.

[Владимир Савельев]

Связь между силой упругости и деформацией была экспериментально установлена современником Ньютона Гуком и выражается соотношением F=kx, где к- жесткость, а х - деформация. Любую упругую поверхность можно представить, как состоящую из множества плотно расположенных пружинок жесткостью Ко. Тогда закон Гука при площади ударной поверхности S примет вид: F=nK0X=SXK0/S0=SXK=KSX. Здесь n – количество пружинок на площади S; So – площадь, занимаемая одной пружинкой; X – величина деформации; K = Ko/So – жесткость на единицу площади (удельная жесткость поверхности). Если сталкивающиеся тела имеют различную жесткость К1 и К2 например, то жесткость K при столкновении рассчитывается по формуле 1/К=1/К1 + 1/К2, отсюда К=К1 К2/(К1+К2) Получается что если одно тело существенно жестче другого К2>>К1, то жесткость удара определяется жесткостью более мягкого тела К=К1 Ну, а как вообще-то определить силу удара при столкновении. Самое простое например, измерить изменение скорости мишени под воздействием силы и «засечь» время ее действия Т. Тогда можно вычислить силу по ее определению по следующей формуле F=ma=m(v2-v1)/Т=Fср Но в этом случае надо понимать, что здесь мы определили лишь среднее значение силы воздействия, а не ее максимальное значение, которое нам надо чаще всего и нужно измерить при ударе. Но формулу эту запомните она одна из основных FсрT=mv.
Понятно, что надежнее всего измерять максимальные значения силы воздействия измеряя непосредственно ускорения мишени или ударной конечности в процессе ударного воздействия с помощью акселерометра. Но интересно и посмотреть отчего зависит и в какой степени сила удара в теории. Большинство людей даже с высшим техническим образованием даже не представляют с какого бока подойти при решении подобных задач на силу удара и совсем уже плохо, когда с силой удара начинают отождествлять импульс mv или кинетическую энергию mv^2/2. Попробую научить и даже вывести формулу силы удара при упругом соударении пользуясь только элементарными способами. Например, пусть объект массой m, врезается в стену со скоростью v, если коэффициент упругости соударения будет составлять k. Формулу энергии пружины хоть вывести не трудно, но лучше ее просто запомнить, тем более что она похожа на формулу кинетической энергии E=kX^2/2, k–жесткость пружины, а Х – ее деформация. При ударе вся кинетическая энергия ударяющего тела переходит в энергию деформации. Отсюда вычисляется максимальное значение деформации, а отсюда максимальное(пиковое) значение силы удара. k(Хmax)^2/2=mv^2/2 Отсюда Хmax=v√(m/k) и Fmax=kXmax=v√mk. Надо учесть только, что k=KS и получаем окончательно Fmax=v√mKS. Видите, как просто.
Гораздо сложнее вывести формулу удара при столкновении не со стенкой, а с другим объектом, имеющим определенную массу M.

[Владимир Савельев]

. При таком ударе мишень начинает разгоняться в самом начале контакта-столкновения, а ударная масса m при этом тормозится. Интересно то, что максимальное значение деформации будет не в тот момент, когда ударяющее тело остановилось, а чуть раньше. Это как раз следует из симметричности ударного импульса при абсолютно упругих соударениях. Следует прямо запомнить этот закон, позволяющий решать подобного рода задачи. Изменение скорости тел до максимального значения деформации (силы) при абсолютно упругих соударениях равно изменению скорости после максимального значения деформации (силы). Найдем значения скоростей тел в момент максимального значения деформации. Для первого тела, это будет v2=(v-v1)/2=(v-(v(M-m))/((M+m)))/2=mv/(M+m), а для мишени v3=V/2=mv/(M+m) То есть скорости соударяющихся тел в момент максимального значения деформации оказываются к тому же равны, что вообще говоря естественно. Составим уравнение сохранения энергии                                             (mv^2)/2= (kXmax^2)/2 + (m(v2)^2)/2 + (M(v3)^2)/2 Подставим сюда значения v2 и v3 и найдем максимальное значение деформации Xmax=v√(Mm/(k(M+m))) , а отсюда и силу удара Fmax=kXmax=v√(Mmk/((M+m))) и окончательно Fmax=v√(MmKS/((M+m)))
Среднее значение силы удара элементарными способами мы найти не сможем, так что поверьте на слово Fср=2Fmax/(пи). Из уравнения FсрT=MV (или FсрT=mv_2) мы найдем и время контакта-соударения T=(пи)√(Mm/(KS(M+m))) . Как видим время соударения уже не зависит от скорости, а только от масс тел, жесткости и площади контакта.
В случаях столкновения жестких тел типа бильярдных шаров либо при ударах твердых тел с небольшим радиусом закругления зависимость силы от деформации перестает быть линейной, так как от величины деформации будет зависеть и площадь контакта, а значит его жесткость и в этом случае связь между силой и деформацией становится сильнее и описывается законом Герца  F=KX^(3/2) .

[Владимир Савельев]

Для более продвинутых слушателей, которые знакомы с дифференциальными уравнениями выведем те же формулы другим способом.
Известно, что столкновение тела массой «m» с упругой стенкой можно описать дифференциальным уравнением гармонических колебаний X ̈+ (1/m)kX=0. В случае столкновения двух тел массами «m» и «M» уравнение примет вид:
X ̈ + (1/m+1/M)kX=0 или в общем виде X ̈+w^2X=0, где    w= √((1/m+1/M)k ). Решение этого уравнения при заданных начальных условиях (при t=0, X ̇=v) известно:
X=(v/w)sin(wt). Тогда Xmax=v/w. А максимальное значение силы F (сила удара) в этом случае будет равна Fmax=kXmax=KSv/w, а время соударения T=(пи)/w. Получаем две важнейшие искомые формулы:
 Fmax=v√(MmKS/((M+m)))           (1)               T=(пи)√(Mm/(KS(M+m)))         (2)
Разделив друг на друга эти формулы , получим еще одно интересное соотношение:           Fmax=KSTv/(пи)    (3)
А перемножая формулы,  получаем четвертое соотношение                                         
FmaxT=(пи)vMm/(M+m)           (4)      но знаем, что  импульс мешка при упругом столкновении равен P=MV= 2Mmv/(M+m)=FсрT.                                  Отсюда P= 2FmaxT/(пи)  =FсрT          и   Fср=2Fmax/(пи)       (5)
Теперь с этими формулами вы сможете решать задачи, к которым раньше даже подход не могли найти. Например, как изменяется сила удара, если вы бросаете из окна на упругий газон 1) гирю в 16кг           2) Такого же размера гирю 32кг. Оказывается, разница в силе удара будет равна √2. А вот когда бросаете две гири по 16 кг то получаем увеличение силы удара в 2 раза, что логично. Также вы, например, можете посчитать на сколько различается сила удара двух людей весом 50кг и 100кг, если скорость прихода ударной конечности на мишень одинаковая (Подсказка – кроме разницы в массах ударной конечности нужно учесть разницу в площади контакта, то есть размер кулака).