Где это у Лагранжа

[Ser100]

У меня вопрос – откуда взялась вот эта формула для получения дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, где Лагранжиан L=T-U и T это кинетическая энергия, а U потенциальная. Только не надо ссылаться на Ландау, т.к. это уравнение было и до него.
\[ \frac{d}{dt} \frac{dL}{d\dot{x}}-\frac{dL}{dx}=0 \]
Я сейчас просмотрел два тома Аналитической механики Лагранжа и не нашел этого выражения. Только в дополнениях к 1-у тому нашел статью Вертрана, где он предлагает использовать выражение
\[ \frac{d}{dt} \frac{dT}{d\dot{x}}-\frac{dT}{dx}-\frac{dU}{dx}=0 \]
И иногда во 2-м томе у Лагранжа появляется вот это выражение (здесь только знак другой перед dU).
\[ \frac{d}{dt} \frac{dT}{d\dot{x}}-\frac{dT}{dx}+\frac{dU}{dx}=0 \]
И еще, я в литературе нашел вот такое выражение для силы от потенциала поля V, где не понятно почему допускается, что потенциал может зависеть от производных по координатам.
\[ F=\frac{dV}{dx}- \frac{d}{dt} \frac{dV}{d\dot{x}} \]
Но, насколько я помню, потенциал это потенциальная энергия деленная на радиус, а потенциальная энергия может зависеть только от координат и по этому не понятно зачем брать производную по скорости. По этому, буду признателен, если поможете разобраться и с этим выражением.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Herodotus]

У меня вопрос – откуда взялась вот эта формула для получения дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, где Лагранжиан L=T-U и T это кинетическая энергия, а U потенциальная. Только не надо ссылаться на Ландау, т.к. это уравнение было и до него.
\[ \frac{d}{dt} \frac{dL}{d\dot{x}}-\frac{dL}{dx}=0 \]
Я сейчас просмотрел два тома Аналитической механики Лагранжа и не нашел этого выражения. Только в дополнениях к 1-у тому нашел статью Вертрана, где он предлагает использовать выражение
\[ \frac{d}{dt} \frac{dT}{d\dot{x}}-\frac{dT}{dx}-\frac{dU}{dx}=0 \]
И иногда во 2-м томе у Лагранжа появляется вот это выражение (здесь только знак другой перед dU).
\[ \frac{d}{dt} \frac{dT}{d\dot{x}}-\frac{dT}{dx}+\frac{dU}{dx}=0 \]
И еще, я в литературе нашел вот такое выражение для силы от потенциала поля V, где не понятно почему допускается, что потенциал может зависеть от производных по координатам.
\[ F=\frac{dV}{dx}- \frac{d}{dt} \frac{dV}{d\dot{x}} \]
Но, насколько я помню, потенциал это потенциальная энергия деленная на радиус, а потенциальная энергия может зависеть только от координат и по этому не понятно зачем брать производную по скорости. По этому, буду признателен, если поможете разобраться и с этим выражением.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

В переводе статьи Вертрана, скорее всего, опечатка. Должно быть, как у Лагранжа во втором томе:
\[ \frac{d}{dt} \frac{dT}{d\dot{x}}-\frac{dT}{dx}+\frac{dU}{dx}=0 \]
Это и есть удивившая вас формула
\[ \frac{d}{dt} \frac{dL}{d\dot{x}}-\frac{dL}{dx}=0, \]
потому что L = T - U, а потенциальная энергия зависит только от координат.

Потенциал это не потенциальная энергия, деленная на радиус, а потенциальная энергия, нормированная на заряд (электрический, например, или гравитационный, сиречь массу). Бывают случаи, когда можно сохранить форму уравнений Лагранжа в более сложных системах, вводя "зависящие от скорости потенциалы" (например, при рассмотрении силы Лоренца или линейного трения),  - но тогда их уже нельзя называть "потенциальной энергией".

[Ser100]

Это и есть удивившая вас формула
\[ \frac{d}{dt} \frac{dL}{d\dot{x}}-\frac{dL}{dx}=0, \]
потому что L = T - U, а потенциальная энергия зависит только от координат.

Совершенно верно. Эти формулы будут идентичны, если потенциальная энергия зависит только от координат, а кинетическая энергия только от скорости, но тогда зачем вводить лишние сущности, т.е. Лагранжиан, если можно пользоваться формулой.

\[ \frac{d}{dt} \frac{dT}{d\dot{x}}+\frac{dU}{dx}=0 \]

Потенциал это не потенциальная энергия, деленная на радиус, а потенциальная энергия, нормированная на заряд (электрический, например, или гравитационный, сиречь массу). Бывают случаи, когда можно сохранить форму уравнений Лагранжа в более сложных системах, вводя "зависящие от скорости потенциалы" (например, при рассмотрении силы Лоренца или линейного трения),  - но тогда их уже нельзя называть "потенциальной энергией".

Извиняюсь, действительно ошибся. В знаменателе будет или масса или заряд, но это не отменяет моего утверждения о том, что потенциальная энергия может зависеть только от координат (масса и заряд остаются постоянными). А, если потенциалы зависят от скорости, то это уже не потенциальная энергия деленная на массу или заряд. Вот Ландау взял и добавил диссипативную функцию к Лагранжиану для упоминаемой Вами силы линейного трения, но он не пишет, что от этого изменяется потенциал, т.е. он отделяет это от потенциальной энергии. Так и здесь. Пусть добавляют аналогичную функцию, которая будет зависеть от скоростей, но только в отличие от диссипативной функции она будет не только уменьшать силу, действующую на тело, но и увеличивать в функции от градиента скорости. И не надо будет говорить, что при этом изменяется потенциал. Это же совершенно разные вещи. Ну, а раз уж Вы начали отвечать, то обнаглею и спрошу, а что насчет последней формулы.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.