Релятивистский электрон в скрещеных полях

[Мастеров АВ]

Итак, сила действующая на движущийся релятивистский заряд в ЭМП (с 11.05.2013) вычисляется по этой формуле:
\(\vec F=q(\vec E+[\vec v\vec H])(1-v^2/c^2)\)       [1]

Посмотрим: как будет двигаться релятивистски электрон во взаимно ортогональных статических полях (электрическом и магнитном) в системе координат \(\vec i,\vec j,\vec k\).
При этом: элетрическое поле направим вверх (вдоль оси Y), т.е.
\(\vec E=E\vec j\)

Магнитное поле перпендикулярно к экрану монитора и направлено на нас, т.е.
\(\vec H=H\vec k\)

Движение будет происходить в плоскости экрана, т.е.
\(\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j\)

Начальная скорость:
\(\vec v_o=v_{ox}\vec i+v_{oy}\vec j\)

Квадрат скорости:
\(v^2=v_x^2+v_y^2\)


Начальная координата совпадает с началом координат.

[Мастеров АВ]

Следовательно Второй Закон Ньютона запишется так:
\(m\frac{d\vec v}{dt}=q(E\vec j+H[\vec v\vec k])(1-v^2/c^2)\)

Избавимся от лишних параметров:
\(\frac{d\vec v/c}{dt}=\frac{qH}{m}(\frac{E}{Hc}\vec j+[\frac{\vec v}{c}\vec k])(1-(\frac{v}{c})^2)\)

Тогда наше уравнение станет попроще:

\(\frac{d\vec v}{dt}=(E\vec j+[\vec v\vec k])(1-v^2)\)          [2]

При этом в ответе нужно будет заменить:

\(v\Longrightarrow \frac{v}{c}\)

\(E\Longrightarrow \frac{E}{Hc}\)

\(t\Longrightarrow \frac{qH}{m}t\)

[Мастеров АВ]

Запишем наше уравнение в виде системы уравнений:
\(\left\{
\begin{aligned}
\frac{dv_x}{dt}&=-v_y(1-v^2)\\
\frac{dv_y}{dt}&=(E+v_x)(1-v^2)\\
\end{aligned}
\right.\)              [3]

Поделим одно уравнение на другое:
\(\frac{dv_x}{dv_y}=-\frac{v_y}{E+v_x}\)

Интегрируем:
\(\int (E+v_x)dv_x=-\int v_y dv_y\)

\((E+v_x)^2+v_y^2=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2\)

Получили закон сохранения энергии для релятивистского массивного заряда в скрещенных (взаимно перпендикулярных, статических) полях: магнитном и электрическом.

Удивительно то, что закон сохранения энергии одинаков как для релятивистских, так и для не релятивистски зарядов. Т.е. мой релятивизм никак не повлиял на закон сохранения энергии.

Это - радует!

А как этот закон выглядит в исходных параметрах?

Сделаем замену переменных и констант, чтобы вернуться к исходным параметрам:

\((\frac {E}{cH}+\frac {v_x}{c})^2+(\frac {v_y}{c})^2=(\frac {E}{cH}+\frac {v_{ox}}{c})^2+(\frac {v_{oy}}{c})^2\)

Скорость света тут явно лишняя:
\((\frac {E}{H}+v_x)^2+v_y^2=(\frac {E}{H}+v_{ox})^2+v_{oy}^2\)

Простая и понятная формула, которая связывает между собой \(v_x\) и \(v_y\).
Когда в простых (как эта) задачах получаются длинные и непонятные формулы - меня это настораживает.

[Мастеров АВ]

Из последней формулы получим полезное выражение для релятивистского множителя:

\((E+v_x)^2+v_y^2=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2\)

\(E^2+2Ev_x+v_x^2+v_y^2=E^2+2Ev_{ox}+v_{ox}^2+v_{oy}^2\)

\(W=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2=E^2+2Ev_{ox}+v_o^2\) - Энергия (то, что сохраняется)

\(2Ev_x+v^2=W-E^2\)

\(1-v^2=1-W+E^2+2Ev_x\)

\(1-v^2=C_o+2Ev_x\)

Где:
\(C_o=1-v_o^2-2Ev_{ox}=1-W+E^2\)

[Мастеров АВ]

Исключим квадрат модуля скорости из системы уравнений:
\(\left\{
\begin{aligned}
\frac{dv_x}{dt}&=-v_y(C_o+2Ev_x)\\
\frac{dv_y}{dt}&=(E+v_x)(C_o+2Ev_x)\\
\end{aligned}
\right.\)              [4]

С этой системой уже можно работать, поскольку в неё не входит переменная "модуль скорости".

[Мастеров АВ]

Из первого уравнения системы [4] выразим переменную \(v_y\)
\(v_y=-\frac{1}{C_o+2Ev_x}\frac{dv_x}{dt}=-\frac{1}{2E}\frac{d\ ln|C_o+2Ev_x|}{dt}\)

Подставим этот \(v_y\) во второе уравнение системы [4]:
\(\frac{1}{2E}\frac{d^2\ ln|C_o+2Ev_x|}{dt^2}=-(E+v_x)(C_o+2Ev_x)\)

Сделаем замену:

\(y=ln|C_o+2Ev_x|=ln(1-v^2)=ln\ \xi\)
\(\xi=e^y\)
\(\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\xi}\frac{d\xi}{dt}\)
\(\frac{d\xi}{dt}=e^y\frac{dy}{dt}\)

Получим:
\(\frac{d^2y}{dt^2}=-(2E^2-C_o+e^y)e^y\)

\(\frac{d^2y}{dt^2}=-(e^y-D)e^y\)         [5]

Где:
\(D=C_o-2E^2=1-W-E^2=1-v_o^2-2Ev_{ox}-2E^2\)

[Мастеров АВ]

Проинтегрируем уравнение [5].
Для этого представим его в виде системы уравнений:
\(\left\{
\begin{aligned}
\frac{dz}{dt}&=-(e^y-D)e^y\\
\frac{dy}{dt}&=z\\
\end{aligned}
\right.\)              [6]

Делим одно уравнение на другое:
\(\frac{dz}{dy}=-\frac{(e^y-D)e^y}{z}\)

Интегрируем:
\(z^2=C_1^2-(e^y-D)^2\)
\((\frac{dy}{dt})^2=C_1^2-(e^y-D)^2\)
\(y=ln|C_o+2Ev_x|=ln(1-v^2)=ln\ \xi\)
\(\xi=e^y\)
\(\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\xi}\frac{d\xi}{dt}\)
\(\frac{d\xi}{dt}=e^y\frac{dy}{dt}\)
\((\frac{1}{\xi}\frac{d\xi}{dt})^2=C_1^2-(\xi-D)^2\)
\((\frac{1}{\zeta+D}\frac{d\zeta}{dt})^2=C_1^2-\zeta^2\)
\(\zeta=\xi-D\)
\(C_1^2=4E^2W\)
\(A=\frac{C_1}{D}=\frac{2E\sqrt W}{1-W-E^2}\)


============================================
Чему равна \(C_1\)?

Чтоб это выяснить, нужно воспользоваться начальными условиями и системой уравнений [4].
\(e^y|_{t=0}=C_o+2Ev_{ox}=1-v_o^2\)
\(\frac{e^y}{dt}|_{t=0}=e^y\frac{dy}{dt}|_{t=0}=(1-v_o^2)\frac{dy}{dt}|_{t=0}=2E\frac{dv_x}{dt}|_{t=0}=\)[4]\(=2Ev_{oy}(1-v_o^2)\)

\(\frac{dy}{dt}|_{t=0}=2Ev_{oy}\)

\((2Ev_{oy})^2=C_1^2-(1-v_o^2-D)^2=C_1^2-(1-v_o^2+2E^2-1+v_o^2+2Ev_{ox})^2\)

\(C_1^2=(2Ev_{oy})^2+(2Ev_{ox}+2E^2)^2\)

\(C_1^2=4E^2(v_{oy}^2+(v_{ox}+E)^2)=4E^2W\)
====================================


Проинтегрируем это уравнение:
\(\int\frac{d\zeta}{(\zeta+D)\sqrt{C_1^2-\zeta^2}}=t+C\)
\(\frac{1}{\sqrt{D^2-C_1^2}}arcsin\frac{C_1^2+D\zeta}{C_1|\zeta+D|}=t+C\)
\(\frac{C_1^2-D\zeta}{C_1|\zeta+D|}=sin(\sqrt{D^2-C_1^2}t+C)\)
-------------------------------

\(\omega=\sqrt{D^2-C_1^2}=\sqrt{(1-W-E^2)^2-4E^2W}=\sqrt{E^4+2E^2(1-W)+(1-W)^2-4E^2}=\sqrt{(E^2+(1-W))^2-4E^2}\)
\(\omega=\sqrt{(1-v_o^2-2Ev_{ox})^2-4E^2}\)
\(S=\pm sin(\omega t+C)\)
-------------------------------
Из этой формулы следует, что при значении энергии \(W=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2\ge(E-1)^2\) происходит бифуркация: качественно изменяется поведение заряда. Заряд перестаёт двигаться периодически.
\((E+v_{ox})^2-(E-1)^2+v_{oy}^2\ge 0\)
\(2E(v_{ox}+1)\ge 1-v^2_o\)
-------------------------------

\(\frac{D^2-C_1^2-D\xi}{-C_1\xi}=sin(\omega t+C)\)

\(D^2-C_1^2=(D-C_1sin(\omega t+C))\xi\)

\(\xi=\frac{D^2-C_1^2}{D-C_1sin(\omega t+C)}\)

\(\xi=\)\(1-v^2=D\frac{1-A^2}{1\pm A sin(\omega t+C)}\)
=========================================


\(1-v^2=1-W+E^2+2Ev_x=2E^2+D+2Ev_x\)

\(2E^2+D+2Ev_x=D\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}\)

\(v_x=\frac{D}{2E}\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-\frac{D}{2E}-E)\)

\(v_x=\frac{\sqrt W}{A}\left(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-1\right)-E\)

==============================

\(W=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2=(E+v_x)^2+v_y^2\)

\(v_y=\sqrt{W-(E+v_x)^2}\)

\(v_y=\sqrt{W\left(1-\frac{1}{A^2}(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-1)^2\right)}\)

[Мастеров АВ]

Посчитаем дрейф \(d_x\) (смещение вдоль оси \(x\) за один период):

\(\int_o^{2\pi}\frac{dx}{1+Asin(x)}=\frac{2\pi}{\sqrt{1-A^2}}=\int_o^{2\pi}\frac{d(\omega t+C)}{1+Asin(\omega t+C)}=\omega\int_o^{2\pi/\omega}\frac{dt}{1+Asin(\omega t+C)}\)

\(\int_o^{2\pi/\omega}\frac{dt}{1+Asin(\omega t+C)}=\frac{2\pi}{\omega\sqrt{1-A^2}}\)

\(d_x=\int_o^{2\pi/\omega}v_xdt=\frac{1-E^2-W}{2E}\frac{2\pi(1-A^2)}{\omega\sqrt{1-A^2}}+\frac{2\pi(W-1-E^2)}{2E\omega}\)


Дрейфовая скорость:
\(v_{xd}=\omega d_x/2\pi=\frac{1-E^2-W}{2E}\sqrt{1-A^2}+\frac{W-1-E^2}{2E}\)

\(v_{xd}=\frac{1-E^2-W}{2E}\sqrt{1-A^2}-\frac{1-W-E^2}{2E}-E\)

\(v_{xd}=\frac{\sqrt W}{A}(\sqrt{1-A^2}-1)-E\)

\(v_{xd}=\frac{\sqrt{(E^2+1-W)^2-4E^2}-(E^2+1-W)}{2E}\)

\(v_{xd}=\frac{\sqrt{(E^2+1-(E^2+2Ev_{ox}+v_o^2))^2-4E^2}-(E^2+1-(E^2+2Ev_{ox}+v_o^2))}{2E}\)

\(v_{xd}=\frac{\sqrt{(E^2+1-(E^2+2Ev_{ox}+v_o^2))^2-4E^2}-(E^2+1-(E^2+2Ev_{ox}+v_o^2))}{2E}\)

\(v_{xd}=\frac{\sqrt{(1-v_o^2-2Ev_{ox})^2-4E^2}-(1-v_o^2-2Ev_{ox})}{2E}\)
==========================

А чему равно \(C\)?

\(1-v^2=D\frac{1-A^2}{1+A(\sqrt{1-a^2}\sin(\omega t)+a\ \cos(\omega t))}\)


\(1-v^2_o=D\frac{1-A^2}{1+Aa}\)

\(a=\frac{1}{A}(D\frac{1-A^2}{1-v^2_o}-1)\)

\(C=arcsin\left(\frac{1}{A}(D\frac{1-A^2}{1-v^2_o}-1)\right)\)

[Мастеров АВ]

Ищем \(x(t)\), \(y(t)\) и \(l(t)\)

\(v_x=\frac{\sqrt W}{A}\left(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-1\right)-E\)

\(v_x=\frac{D}{2E}\left(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-1\right)-E\)

\(\xi=\frac{1-A^2}{1-A\ sin(\omega t+C)}\)

\(v_x=\frac{D}{2E}\left(\xi-1\right)-E\)

\(x(t)=\frac{D}{2E}\int_o^t\xi dt-(E+\frac{D}{2E})t\)


\(\int\frac{(1-A^2)dx}{1-A\ sin\ x}=2 arctg\frac{tg(x/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}+C\)

\(\int_o^t\xi dt=\frac{1}{\omega}\int_o^{\omega t+C}\frac{(1-A^2)dx}{1-A\ sin\ x}=\frac{2}{\omega}\left(arctg\frac{tg((\omega t+C)/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}-arctg\frac{tg(C/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}\right)\)


\(x(t)=\frac{D}{E\omega}\left(arctg\frac{tg((\omega t+C)/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}-arctg\frac{tg(C/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}\right)-(E+\frac{D}{2E})t\)

\(C_1^2=4E^2W\)
\(D=1-W-E^2\)
\(\omega=\sqrt{D^2-C_1^2}=D\sqrt{1-A^2}\)
\(A=\frac{C_1}{D}=\frac{2E\sqrt W}{1-W-E^2}\)
\(2Ev_{ox}+v_o^2=W-E^2\)


\(x(t)=\frac{1-W-E^2}{E\sqrt{(1-W+E^2)^2-4E^2}}arctg\left(\sqrt{1-A^2}\frac{sin(\omega t)}{1+cos(\omega t)-A(sin(\omega t+C)+sin(C)))}\right)-\frac{1-W+E^2}{2E}t\)

=============================

\(v_y=\sqrt{W\left(1-\frac{1}{A^2}(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-1)^2\right)}\)



\(\xi=\frac{1}{A}(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}-1)\)

\(1-A sin(\omega t+C)=\frac{1-A^2}{A\xi+1}\)

\(sin(\omega t+C)=\frac{1}{A}(1-\frac{1-A^2}{A\xi+1})=\frac{1}{A}\frac{A\xi+1-1+A^2}{A\xi+1}=\frac{\xi+A}{A\xi+1}\)

\(cos(\omega t+C)=\pm\sqrt{1-(\frac{\xi+A}{A\xi+1})^2}\)

\(cos(\omega t+C)=\pm \frac{\sqrt{1-A^2}}{A\xi+1}\sqrt{1-\xi^2}\)

\(\frac{d\xi}{dt}=\omega\frac{1-A^2}{(1-A sin(\omega t+C))^2}cos(\omega t+C)\)

\(\frac{d\xi}{dt}=\pm\frac{\omega}{1-A^2}(A\xi+1)^2\frac{\sqrt{1-A^2}}{A\xi+1}\sqrt{1-\xi^2}=\pm\frac{\omega (A\xi+1)}{\sqrt{1-A^2}}\sqrt{1-\xi^2}\)

\(\frac{d\xi}{dt}=\pm D(A\xi+1)\sqrt{1-\xi^2}\)


\(\frac{dy}{dt}=\sqrt{W\left(1-\xi^2\right)}\)

\(\frac{dy}{d\xi}\frac{d\xi}{dt}=\sqrt{W\left(1-\xi^2\right)}\)

\(\pm\frac{\omega (A\xi+1)}{\sqrt{1-A^2}}\sqrt{1-\xi^2}\frac{dy}{d\xi}=\sqrt{W\left(1-\xi^2\right)}\)

\(\frac{dy}{d\xi}=\pm\frac{\sqrt{W}}{D}\frac{1}{A\xi+1}\)

\(y=\pm\frac{1}{2E}ln(A\xi+1)\)

\(y(t)=\pm\frac{1}{2E}ln\left(\frac{1-A^2}{1-A sin(\omega t+C)}\right)\)
================================

\(1-v^2=D\frac{1-A^2}{1\pm A sin(\omega t+C)}\)

\(v(t)=\sqrt{1-D\frac{1-A^2}{1\pm A sin(\omega t+C)}}\)

\(\frac{dl}{d\xi}\frac{d\xi}{dt}=\sqrt{1-D(A\xi+1)}\)

\(\pm D(A\xi+1)\sqrt{1-\xi^2}\frac{dl}{d\xi}=\sqrt{1-D(A\xi+1)}\)

\(\frac{dl}{d\xi}=\pm\frac{\sqrt{1-D(A\xi+1)}}{D(A\xi+1)\sqrt{1-\xi^2}}\)=\(\left[\begin{aligned}\eta=\sqrt{1-D(A\xi+1)}\\
D(A\xi+1)=1-\eta^2\\
\xi=((1-\eta^2)/D-1)/A
\end{aligned}\right]\)=\(\frac{dl}{d\xi}=\pm\frac{\eta}{(1-\eta^2)\sqrt{1-((1-\eta^2)/D-1)^2/A^2}}\)

\(D(A\xi+1)=1-\eta^2\)
\(d\xi=-\frac{2}{DA}\eta d\eta\)

\(dl=\mp\frac{2}{DA}\frac{\eta^2d\eta}{(1-\eta^2)\sqrt{1-((1-\eta^2)/D-1)^2/A^2}}\)

[Мастеров АВ]

Бифуркация, работа выхода, тоннельный эффект и устойчивость плазмы

Бифуркация - качественное изменение динамических свойств системы.

Обратите внимание на фрмулу:
\(\omega=D\sqrt{1-A^2}\)

При \(A=1\) движение заряда в скрещенных полях перестаёт быть циклическим.

При этом:

\(A=\frac{2E\sqrt W}{1-W-E^2}=1\)
\(4E^2W=(1-W-E^2)^2\)
\(4E^2W=1-2(W+E^2)+(W+E^2)^2\)
\(4E^2W=1-2(W+E^2)+W^2+2WE^2+E^4\)
\(0=1-2(W+E^2)+(W-E^2)^2\)
\(4E^2=1-2(W-E^2)+(W-E^2)^2\)
\(4E^2=(1-(W-E^2))^2\)
\(2E=1-W+E^2\)
\(W=1-2E+E^2\)
\(W=(1-E)^2\)

\(W=(E+v_{ox})^2+v^2_{oy}\)
\((E+v_{ox})^2+v^2_{oy}=(1-E)^2\) - условие, при котором возникает БИФУРКАЦИЯ, элетрон при этом перестаёт взаимодействовать с полями, а плазма перестаёт удерживаться.

В исходных обозначениях это выражение примет вид:
\((E+Hv_{ox})^2+(Hv_{oy})^2=(Hc-E)^2\)
=========================

Как связаны между собой поля, температура и устойчивость плазмы?

\(E^2+2EHv_{ox}+(Hv_{ox})^2+(Hv_{oy})^2\le(Hc)^2-2EHc+E^2\)
\(2Ev_{ox}+Hv_{ox}^2+Hv_{oy}^2\le Hc^2-2Ec\)
\(2Ev_{ox}+Hv_{ox}^2+Hv_{oy}^2\le 2Ev_o+Hv_o^2\le Hc^2-2Ec\)
\(2\frac{E}{Hc}\frac{v_o}{c}+\frac{v_o^2}{c^2}\le 1-2\frac{E}{Hc}\)
\(2\frac{E}{Hc}\frac{v_o}{c}+\frac{v_o^2}{c^2}+(\frac{E}{Hc})^2\le 1-2\frac{E}{Hc}+(\frac{E}{Hc})^2\)
\((\frac{v_o}{c}+\frac{E}{Hc})^2\le(1-\frac{E}{Hc})^2\)
\(v_o\le c(1-2\frac{E}{Hc})\)
\(\frac{3}{2}kT=\frac{m_ev_o^2}{2}\le \frac{m_ec^2}{2}(1-2\frac{E}{Hc})^2\)
\(T\le \frac{m_ec^2}{3k}(1-2\frac{E}{Hc})^2\)
\(T\le \frac{511\cdot 10^{3}eV/K}{3\cdot 8.6\cdot 10^{-5}eV}(1-2\frac{E}{Hc})^2\)
\(T\le 2\cdot 10^{9}K(1-2\frac{E}{Hc})^2\) - условие устойчивости плазмы.

Два миллиарда по Кельвину?
(Хрень какая-то.)

Где-то наврал?
=================================

ВОТ ГДЕ Я НАВРАЛ

\(\frac{3}{2}kT=\frac{m_ev_o^2}{2}\) - для средней кинетической энергии.

А мне для расчёта нужна вероятность того, что электрон становится релятивистским.
Вот картинка полезная:


Нужно посчитать площадь под хвостиком функции распределения Максвелла.
===========================

Распределение Максвелла говорит о том, что при любой температуре в электронном газе существуют релятивистские электроны.
Зададимся вопросом: Какая часть электронов является релятивистской для той или иной температуре.
Релятивистскими будем считать электроны, для которых \(v^2/c^2>\frac{1}{2}\).

В дальнейшем меня будут интересовать не скорости, а их квадраты, т.е. - будут интересовать энергии электронов.
И релятивистскими я буду считать такие электроны, энергия которых превышает половину от максимальной: \(\frac{m_ev^2}{2}>\)255.5КэВ/2=128КэВ.

Распределение Максвелла по модулю скорости для электронов я запишу в виде распределения по энергиям в таком виде:
\(f(\xi,\lambda)=K\lambda\xi e^{-\lambda\xi}\)

Здесь:
\(\xi=\frac{m_ev^2}{m_ec^2}=\frac{v^2}{c^2}>\frac{1}{2}\)
\(\lambda=\frac{m_ec^2}{2kT}\)


Посчитаем \(K\).
\(K\int_o^\infty\lambda\xi e^{-\lambda\xi}d\xi=1\)
\(-\frac{K}{\lambda}(\lambda\xi+1)e^{-\lambda\xi}|_o^\infty=1\)
\(K=\lambda\)


Распределение Максвелла по энергиям для разных температур запишется так:
\(f(\xi,\lambda)=\lambda^2\xi e^{-\lambda\xi}\)

\(\delta=\int_{\frac{1}{2}}^\infty\lambda^2\xi e^{-\lambda\xi}d\xi=-(\lambda\xi+1)e^{-\lambda\xi}|_{\frac{1}{2}}^\infty=(\frac{\lambda}{2}+1)e^{-\frac{\lambda}{2}}\)

Таким образом получили долю релятивистских электронов, для которых силы, вызванные полями (как минимум) вдвое меньше, чем в классической электродинамике.
\(\delta=(\frac{\lambda}{2}+1)e^{-\frac{\lambda}{2}}\)

\(\delta=(\frac{m_ec^2}{4kT}+1)e^{-\frac{m_ec^2}{4kT}}\)

Вычислим релятивистскую температуру:
\(T_r=\frac{m_ec^2}{4k}=\frac{511\cdot 10^3\cdot 300\cdot 10^6}{4\cdot 8.6\cdot 10^{-5}}=0.446\cdot 10^{18}K\)

Афигеть! Полмиллиона миллионов градусов! (Вот это - ТЕМПЕРАТУРА!)

Итак, в силу малости лямбды, выражение для доли релятивистских электронов примет вид:
\(\delta=(1+\frac{\lambda}{2})(1-\frac{\lambda}{2})=1-(\frac{\lambda}{2})^2=1-(\frac{T}{0.5\cdot 10^{18}K})^2\)
Огромная ТЕМПЕРАТУРА, да ещё и в квадрате!

Дельта - универсальный множитель для всех эффектов, которые приводят к неустойчивости плазмы, которые влияют на ток катода, определяют тунельные токи, проводимость полупроводников, и определяют устойчивость плазмы в такомаке.

[Мастеров АВ]

...................

[Метафизик]

......................

А скрестить два магнитных поля реально? Есть мнение, что так можно получить еще одно ЭМ поле, новое какое-то...

[Мастеров АВ]

\(arctg\frac{tg((\omega t+C)/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}=arctg\frac{sin(\omega t+C)-A(1-cos(\omega t+C))}{(1-cos(\omega t+C))\sqrt{1-A^2}}\)

\(arctg\frac{Z}{\sqrt{1-A^2}}=arcsin\frac{Z}{\sqrt{1-A^2+Z^2}}=arcsin\frac{T-A}{\sqrt{1-A^2+(T-A)^2}}=arcsin\frac{T-A}{\sqrt{1+T^2-2TA}}=arcsin\frac{s-A(1+c)}{\sqrt{(1+c)^2+s^2-2s(1+c)A}}\)

\(arcsin\frac{s-A(1+c)}{\sqrt{(1+c)^2+s^2-2s(1+c)A}}=arcsin\frac{s-A(1+c)}{\sqrt{(1-A^2)(1+c)^2+(s-(1+c)A)^2}}=arcsin\frac{1}{\sqrt{1+(1-A^2)(\frac{1+c}{s-A(1+c)})^2}}\)
=============================
\(tg\left(arctg\frac{tg((\omega t+C)/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}-arctg\frac{tg(C/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}\right)=\left(\frac{tg((\omega t+C)/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}-\frac{tg(C/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}\right)/\left(1+\frac{tg((\omega t+C)/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}\frac{tg(C/2)-A}{\sqrt{1-A^2}}\right)\)=

\(\sqrt{1-A^2}\frac{tg((\omega t+C)/2)-A-(tg(C/2)-A)}{1-A^2+(tg((\omega t+C)/2)-A)(tg(C/2)-A)}=\sqrt{1-A^2}\frac{tg((\omega t+C)/2)-tg(C/2)}{1+tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)-A(tg(\omega t+C)/2)+tg(C/2))}\)=

\(\sqrt{1-A^2}\frac{1+tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)}{1+tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)-A(tg(\omega t+C)/2)+tg(C/2))}tg(\frac{\omega}{2}t)=\sqrt{1-A^2}\frac{1}{1-A\frac{1-tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)}{1+tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)}tg(\frac{\omega}{2}t+C)}tg(\frac{\omega}{2}t)\)

\(tg(\alpha)tg(\beta)=\frac{cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)}{cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)}\)

\(tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)=\frac{cos(\frac{\omega}{2}t)-cos(\frac{\omega}{2}t+C)}{cos(\frac{\omega}{2}t)+cos(\frac{\omega}{2}t+C)}=\frac{cos(\frac{\omega}{2}t)-(cos(\frac{\omega}{2}t)cos(C)-sin(\frac{\omega}{2}t)sin(C))}{cos(\frac{\omega}{2}t)+(cos(\frac{\omega}{2}t)cos(C)-sin(\frac{\omega}{2}t)sin(C))}=\frac{1-cos(C)+sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)}{1+cos(C)-sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)}\)

\(\frac{1-tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)}{1+tg((\omega t+C)/2)tg(C/2)}=\frac{1+cos(C)-sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)-1+cos(C)-sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)}{1+cos(C)-sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)+1-cos(C)+sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)}=cos(C)-sin(C)tg(\frac{\omega}{2}t)=cos(C)(1-tg(C)tg(\frac{\omega}{2}t))\)

\(\sqrt{1-A^2}\frac{1}{1-A(cos(C)(1-tg(C)tg(\frac{\omega}{2}t)))tg(\frac{\omega}{2}t+C)}tg(\frac{\omega}{2}t)=\sqrt{1-A^2}\frac{tg(\frac{\omega}{2}t)}{1-A(cos(C)tg(\frac{\omega}{2}t)+sin(C))}\)

\(\sqrt{1-A^2}\frac{tg(\frac{\omega}{2}t)}{1-A(cos(C)tg(\frac{\omega}{2}t)+sin(C))}=\sqrt{1-A^2}\frac{1-cos(\omega t)}{sin(\omega t)(1-A(cos(C)\frac{sin(\omega t)}{1+cos(\omega t)}+sin(C)))}\)

\(\sqrt{1-A^2}\frac{sin(\omega t)}{1+cos(\omega t)-A(cos(C)sin(\omega t)+sin(C)(1+cos(\omega t)))}=\sqrt{1-A^2}\frac{sin(\omega t)}{1+cos(\omega t)-A(sin(\omega t+C)+sin(C)))}\)
======================================
Ответом в этой задаче должна быт траектория релятивистского электрона в скрещеных полях.
Для проинтегрируем [8].

\(\int\frac{dx}{1+A\ sin\ x}=\frac{2}{1-A^2}arctg\frac{tg(x/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}+C\)

\(\int\frac{dt}{1+A\ sin(\omega t+C)}=\frac{2}{\omega(1-A^2)}arctg\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}+C_2\)

\(\int\xi dt=\int\frac{(A^2-1)dt}{1+A\ sin(\omega t+C)}=\frac{2}{\omega}arctg\frac{tg((x+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}+C_2\)

\(x(t)=K(1+\int\xi dt)/2E-E=\frac{K}{2E}\int\xi dt+(\frac{K}{2E}-E)t+C_3\)
\(x(t)=\frac{K}{E\omega}arctg\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}+(\frac{K}{2E}-E)t+C_3\)
\(x(t)=\frac{K}{E\omega}(arctg\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}-arctg\frac{tg(\omega C/2)+A}{\sqrt{1-A^2}})+(\frac{K}{2E}-E)t\)                             [9]
------------------------------------

\(tg(arctg\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}-arctg\frac{tg(\omega C/2)+A}{\sqrt{1-A^2}})\)=
\((\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}-\frac{tg(\omega C/2)+A}{\sqrt{1-A^2}})/(1+\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}\frac{tg(\omega C/2)+A}{\sqrt{1-A^2}})\)=
\(\sqrt{1-A^2}\frac{tg(\omega(t+C)/2)-tg(\omega C/2)}{(1-A^2)+(tg(\omega(t+C)/2)+A)(tg(\omega C/2)+A)}\)=

[Мастеров АВ]

Посмотрим внимательнее на формулу [9]:
\(x(t)=\frac{K}{E\omega}(arctg\frac{tg(\omega(t+C)/2)+A}{\sqrt{1-A^2}}-arctg\frac{tg(\omega C/2)+A}{\sqrt{1-A^2}})+(\frac{K}{2E}-E)t\)                             [9]


Обратите внимание на последнее слагаемое.
Оно определяет скорость дрейфа:
\(v_d=\frac{K}{2E}-E\)

Учтём:
\(K=E^2+W-1\)
\(W=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2=E^2+2Ev_{ox}+v_o^2\)
\(E\Longrightarrow \frac{E}{Hc}\)


\(v_d=\frac{2E^2+2Ev_{ox}+v_o^2-1}{2E}-E\)
\(v_d=v_{ox}-\frac{1-v_o^2}{2E}\)

В исходных обозначениях (не нормированных на скорость свете) скорость дрейфа будет такой:
\(v_d=v_{ox}-\frac{H}{2E}(c^2-v_o^2)\)

А в классике:
\(v_d=\frac{E}{H}\)

Где я наврал?

[Мастеров АВ]

\(K=E^2+W-1\)
\(A=\frac{2E\sqrt{W}}{E^2+W-1}\)
\(KA=2E\sqrt{W}\)
--------------------------------------

\((1-KA)-K<v^2<(1-KA)+K\)
\(2-2E\sqrt{W}-E^2-W<v^2<E^2+W-2E\sqrt{W}\)
\(2-(E+\sqrt{W})^2<v^2<(E-\sqrt{W})^2\)
\(1-(E-\sqrt{W})^2<1-v^2<(E+\sqrt{W})^2-1\)
-----------------------------------------

\(\frac{(KA-1+W-E^2)-K}{2E}<v_x<\frac{(KA-1+W-E^2)+K}{2E}\)
\(\frac{2E\sqrt{W}-1+W-E^2-E^2-W+1}{2E}<v_x<\frac{2E\sqrt{W}-1+W-E^2+E^2+W-1}{2E}\)
\(\frac{2E\sqrt{W}-2E^2}{2E}<v_x<\frac{2E\sqrt{W}-2+2W}{2E}\)
\(\sqrt{W}-E<v_x<\frac{E\sqrt{W}-1+W}{E}\)
\(\sqrt{W}-E<v_x<\sqrt{W}+(W-1)/E\)
------------------------------------------
\(\frac{1}{2E}\sqrt{2E^2(W+1)-((E^2+W-1)-K(A-1))^2}<v_y<\frac{1}{2E}\sqrt{2E^2(W+1)-((E^2+W-1)-K(A+1))^2}\)
\(\frac{1}{2E}\sqrt{2E^2(W+1)-(2K-KA)^2}<v_y<\frac{1}{2E}\sqrt{2E^2(W+1)+(KA)^2}\)
\(\frac{1}{2E}\sqrt{2E^2(W+1)-(2(E^2+W-1)-2E\sqrt{W})^2}<v_y<\frac{1}{2E}\sqrt{2E^2(W+1)+4E^2W}\)
\(\sqrt{(W+1)/2-(E+(W-1)/E-\sqrt{W})^2}<v_y<\sqrt{(3W+1)/2}\)

[Мастеров АВ]

\(\frac{dy}{dt}=\sqrt{W-\phi^2}\)
\(y=\int\sqrt{W-\phi^2}dt\)

Где:
\(\phi=\frac{K}{2E}(1+\frac{A^2-1}{1+A\ sin(\omega t+C)})\)

\(\frac{2E}{K}\phi-1=\frac{A^2-1}{1+A\ sin(\omega t+C)}\)

\(1+A\ sin(\omega t+C)=\frac{A^2-1}{\frac{2E}{K}\phi-1}\)

\(sin(\omega t+C)=\frac{1}{A}(\frac{A^2-1}{2E\phi/K-1}-1)\)

\(cos(\omega t+C)=\sqrt{1-sin^2(\omega t+C)}=\sqrt{1-\frac{1}{A^2}(\frac{A^2-1}{2E\phi/K-1}-1)^2}\)

\(cos(\omega t+C)=\frac{1}{A}\sqrt{A^2-(\frac{A^2-1}{2E\phi/K-1}-1)^2}\)

\(cos(\omega t+C)=\frac{1}{A(2E\phi/K-1)}\sqrt{A^2(2E\phi/K-1)^2-(A^2-2E\phi/K)^2}\)

\(cos(\omega t+C)=\frac{1}{A(2E\phi/K-1)}\sqrt{2EA\phi/K-A-A^2+2E\phi/K}\sqrt{2EA\phi/K-A+A^2-2E\phi/K}\)

\(cos(\omega t+C)=\frac{1}{A(2E\phi/K-1)}\sqrt{2E(A+1)\phi/K-A(A+1)}\sqrt{2E(A-1)\phi/K-A(1-A)}\)

\(cos(\omega t+C)=\frac{1}{A(2E\phi/K-1)}\sqrt{\frac{1-A^2}{K}}\sqrt{2E\phi-KA}\sqrt{2E\phi-KA}\)

\(cos(\omega t+C)=\frac{\sqrt{(1-A^2)K}(2E\phi-KA)}{A(2E\phi-K)}\)

==========================

\(\frac{d\phi}{dt}=-\frac{KA(A^2-1)\omega}{2E}\frac{cos(\omega t+C)}{(1+A\ sin(\omega t+C))^2}\)

\(\frac{d\phi}{dt}=-\frac{KA\omega}{2E}\frac{cos(\omega t+C)}{(A^2-1)}(\frac{2E}{K}\phi-1)^2\)

\(\frac{d\phi}{dt}=-\frac{KA\omega}{2E(A^2-1)}(\frac{2E}{K}\phi-1)^2\frac{\sqrt{(1-A^2)K}(2E\phi-KA)}{A(2E\phi-K)}\)

\(\frac{d\phi}{dt}=-\frac{\omega}{2E(A^2-1)}\sqrt{(1-A^2)K}(2E\phi-KA)(2E\phi-K)\)

\(\frac{d\phi}{dt}=\frac{\omega\sqrt{K}}{2E\sqrt{1-A^2}}(2E\phi-KA)(2E\phi-K)\)

-------------------------------------

\(y=\int\sqrt{W-\phi^2}dt=\int\frac{\sqrt{W-\phi^2}}{d\phi/dt}d\phi\)

\(y=\frac{2E\sqrt{1-A^2}}{\omega\sqrt{K}}\int\frac{\sqrt{W-\phi^2}}{(2E\phi-KA)(2E\phi-K)}d\phi\)

[Мастеров АВ]

\(y=\frac{2E\sqrt{1-A^2}}{\omega\sqrt{K}}\int\frac{\sqrt{W-\phi^2}}{(2E\phi-KA)(2E\phi-K)}d\phi\)

\(\phi=\sqrt{W}sin\ t\)

\(y=\frac{2E\sqrt{1-A^2}}{\omega\sqrt{K}}\int\frac{\sqrt{W-Wsin^2t}}{(2E\sqrt{W}sin\ t-KA)(2E\sqrt{W}sin\ t-K)}d(\sqrt{W}sin\ t)\)

\(y=\frac{\sqrt{1-A^2}}{\omega\sqrt{K}\sqrt{W}}\int\frac{\sqrt{1-sin^2t}}{(sin\ t-A(K/2E\sqrt{W}))(sin\ t-K/2E\sqrt{W})}d(sin\ t)\)

\(y=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{1-A^2}{KW}}\int\frac{cos^2t}{(sin\ t-A(K/2E\sqrt{W}))(sin\ t-K/2E\sqrt{W})}dt\)

\(y=B\int\frac{cos^2t}{(sin\ t-AC)(sin\ t-C)}dt\)

\(y=\frac{B}{C(A-1)}\int\frac{((sin\ t-C)-(sin\ t-AC))cos^2t}{(sin\ t-AC)(sin\ t-C)}dt\)

\(y=\frac{B}{C(A-1)}(\int\frac{cos^2t}{C-sin\ t}dt-\int\frac{cos^2t}{AC-sin\ t}dt)\)

---------------------------------------------------------------
\(\int\frac{cos^2t}{a-sin\ t}dt\)=?=\(-2\sqrt{a^2-1}arctg((a\frac{1\mp\sqrt{1-sin^2t}}{sin\ t}-1)/\sqrt{a^2-1})+at\mp\sqrt{1-sin^2t}+C\)

\(\int\frac{cos^2t}{a-sin\ t}dt\)=\(-2\sqrt{a^2-1}arctg((a\frac{\sqrt{W}\mp\sqrt{W-Wsin^2t}}{\sqrt{W}sin\ t}-1)/\sqrt{a^2-1})+at\mp\sqrt{W-Wsin^2t}/\sqrt{W}+C\)

\(\int\frac{cos^2t}{a-sin\ t}dt\)=\(-2\sqrt{a^2-1}arctg((a\frac{\sqrt{W}\mp\sqrt{W-\phi^2}}{\phi}-1)/\sqrt{a^2-1})+at\mp\sqrt{W-\phi^2}/\sqrt{W}+C\)
---------------------------------------------------------------

\(y=\frac{B}{C(A-1)}(2(\sqrt{A^2C^2-1}arctg((AC\frac{\sqrt{W}\mp\sqrt{W-\phi^2}}{\phi}-1)/\sqrt{A^2C^2-1})-\sqrt{C^2-1}arctg((C\frac{\sqrt{W}\mp\sqrt{W-\phi^2}}{\phi}-1)/\sqrt{C^2-1}))+C(A-1)t)\)

\(y=\frac{B}{C(A-1)}(2(\sqrt{A^2C^2-1}arctg((\frac{AC\sqrt{W}\mp AC\sqrt{W-\phi^2}-\phi}{\phi\sqrt{A^2C^2-1}})-\sqrt{C^2-1}arctg((\frac{C\sqrt{W}\mp C\sqrt{W-\phi^2}-\phi}{\phi\sqrt{C^2-1}}))+C(A-1)t)\)

\(y=B(2(\frac{\sqrt{A^2C^2-1}}{C(A-1)}arctg((\frac{AC\sqrt{W}\mp AC\sqrt{W-\phi^2}-\phi}{\phi\sqrt{A^2C^2-1}})-\frac{\sqrt{C^2-1}}{C(A-1)}arctg((\frac{C\sqrt{W}\mp C\sqrt{W-\phi^2}-\phi}{\phi\sqrt{C^2-1}}))+t)\)

[Мастеров АВ]

\(\int\frac{cos^2t}{a-sin\ t}dt=\int\frac{1-((a-sin\ t)-a)^2}{a-sin\ t}dt\)=

\(\int\frac{1+2a(a-sin\ t)-(a-sin\ t)^2-a^2}{a-sin\ t}dt\)

\((1-a^2)\int\frac{dt}{a-sin\ t}+2a\int dt-\int (a-sin\ t)dt\)

\((1-a^2)\int\frac{dt}{a-sin\ t}+at-cos\ t+C\)

\(-2\sqrt{a^2-1}arctg\frac{a\ tg(t/2)-1}{\sqrt{a^2-1}}+at-cos\ t+C\)

\(tg(t/2)=\frac{sin\ t}{1\pm\sqrt{1-sin^2t}}=\frac{1\mp\sqrt{1-sin^2t}}{sin\ t}\)

\(-2\sqrt{a^2-1}arctg((a\frac{1\mp\sqrt{1-sin^2t}}{sin\ t}-1)/\sqrt{a^2-1})+at\mp\sqrt{1-sin^2t}+C\)

[Мастеров АВ]

Оказывается, что в релятивистском случае дрейф имеется и вдоль электрического поля/
В классике этого нет.
Этот дрейф мог бы объяснить причину, по которой не удаётся удержать плазму.

\(v_{dy}=B=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{1-A^2}{KW}}\)

\(K=E^2+W-1\)
\(A=\frac{2E\sqrt{W}}{E^2+W-1}\)
\(\omega=K\sqrt{1-A^2}\)
\(W=(E+v_{ox})^2+v_{oy}^2=E^2+2Ev_{ox}+v_o^2\)

\(v_{dy}=B=\frac{1}{K}\sqrt{\frac{1}{W}}\)

\(v_{dy}=\frac{1}{(E^2+W-1)\sqrt{W}}\)

\(v_{dy}=\frac{1}{(2E^2+2Ev_{ox}+v_o^2-1)\sqrt{E^2+2Ev_{ox}+v_o^2}}\)

Посмотрим не релятивистский случай:
\(v_{dy}=\frac{1}{(2E^2-1)E}\)
А должен быть ноль.
Почему нет?

\(v_{dy}=\frac{Hc}{(2(\frac{E}{Hc})^2-1)E}\)

\(v_{dy}=\frac{H^3c^4}{(2E^2-(Hc)^2)E}\)

Не правильная формула, но факт наличия дрейфа - интересен.

[Мастеров АВ]

\(\int\frac{dx}{a+sin\ x}\)=?=\(\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}arctg\frac{a\ tg(x/2)+1}{\sqrt{a^2-1}}\)

\(\int\frac{dx}{a-sin\ x}\)=\(\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}arctg\frac{a\ tg(x/2)-1}{\sqrt{a^2-1}}\)

\(tg(t/2)=\frac{sin\ t}{1\pm\sqrt{1-sin^2t}}=\frac{1\mp\sqrt{1-sin^2t}}{sin\ t}\)


\(\int\frac{dx}{a-sin\ x}\)=\(\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}arctg\frac{a(1\mp\sqrt{1-sin^2t})-sin\ t}{\sqrt{a^2-1}sin\ t}\)

--------------------------------------------
\(y=tg\frac{x}{2}\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{1}{cos^2(x/2)}=\frac{1}{2}\frac{cos^2(x/2)+sin^2(x/2)}{cos^2(x/2)}=\frac{1}{2}(1+y^2)\)

\(dx=2\frac{dy}{1+y^2}\)
--------------------------------------------

\(sin\ x=2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=2tg\frac{x}{2}cos^2\frac{x}{2}=2tg\frac{x}{2}\frac{cos^2(x/2)}{cos^2(x/2)+sin^2(x/2)}=2\frac{tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=2\frac{y}{1+y^2}\)
--------------------------------------------

\(\int\frac{dx}{a+sin\ x}=2\int\frac{dy}{a(1+y^2)+y}=2\int\frac{d(ay)}{(ay)^2)+ay+1+(a^2-1)}=2\int\frac{d(ay)}{(ay+1)^2+(a^2-1)}=\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}\int\frac{d\frac{ay}{\sqrt{a^2-1}}}{(\frac{ay+1}{\sqrt{a^2-1}})^2+1}=\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}arctg\frac{ay+1}{\sqrt{a^2-1}}\)