Теперь что касается того, как именно следует считать кинетическую энергию воды. ... Надеюсь, что теперь стало яснее ))
Да, стало яснее - проф.Зотьев неправ. Очень жаль, что по такому методически непростому вопросу как различие между плотностью ЭНЕРГИИ и плотностью ПОТОКА ЭНЕРГИИ он высказался столь невнятно и при этом столь безапелляционно.
Уравнение энергии в гидродинамике (без ограничения общности - в сжимаемой жидкости, для простоты в отсутствие силы тяжести) имеет вид (в дифференциальной форме)
\(\frac\partial{\partial t}\)(плотность кинетической энергии + плотность
внутренней энергии)+div(плотность потока кинетической энергии плюс плотность потока
энтальпии) = 0.
То есть плотность потока энергии это не есть плотность полной энергии умноженная на скорость жидкости, поскольку плотность энтальпии (входящая в поток энергии) не равна плотности внутренней энергии (входящей в плотность полной энергии). Теперь проследим шаг за шагом высказывание проф. Зотьева.
Теперь что касается того, как именно следует считать кинетическую энергию воды.
Уже неряшливость. Та энергия, которая им обсуждается - уж никак не кинетическая.
Г.В. Трещалов заявляет,
Оговорю: из того, что проф.Зотьев в чем-то не прав, не следует, что Трещалов хоть в чем-то прав.
энергию воды в потоке глубиной H нужно считать по формуле \[ W= mgH \] . Здесь m - масса воды, протекающей за единицу времени через погонный метр (ширины) сечения канала.
m это плотность потока воды проинтегрированная по глубине: \(m=\rho H V\), \(\rho\) - массовая плотность (размерность - килограмм/м3), Н - глубина (размерность - метр), V - скорость потока (размерность - метр/сек). Размерность m - килограмм в секунду на погонный метр (ширины канала). Уже исходя из этих терминологических и размерностных соображений, под "энергией воды в потоке" многоуважаемый профессор понимает
проинтегрированный по глубине поток энергии, его размерность джоуль в секунду на погонный метр (ширины канала). Запомним это, и пойдем дальше.
Теперь что касается того, как именно следует считать кинетическую энергию воды.
Да, вот именно -
кинетическая энергия проф. Зотьевым забыта напрочь. Поправим его. Плотность кинетической энергии \(\rho V^2/2\), плотность ее потока - \(\rho V V^2/2\), плотность потока, проинтегрированная по глубине: \(\rho V H V^2/2=mV^2/2\)
На самом деле \[ W=mgH/2 \], поскольку центр масс воды находится на высоте H/2.
Очевидно, pечь здесь идет о
потенциальной энергии. Ее плотность \(\rho g h\), плотность ее потока \(\rho V g h\), плотность потока, проинтегрированная по глубине \(\rho V g \int_0^H{hdh}=mgH/2\).
Все? НЕТ, если говорить о ПОТОКЕ энергии, то не все. Плотность энтальпии отличается от плотности энергии на величину
давления P, плотность потока энергии соответственно, включает \(VP\), ее интеграл по глубине (считая, что на свободной поверхности давление равно нулю и растет нарастает с глубиной по закону Паскаля) \(V\rho g\int_0^H{(H-h)dh}=mgH/2\). Тем самым полный поток энергии равен \(mV^2/2+mgH/2+mgH/2=m(V^2/2+gH)\). В установившемся свободном (в отсутствие источников гидродинамического сопротивления, таких, как турбина) течении потоки энергии и массы во всех сечениях одинаковы, отсюда для любых двух сечений 1 и 2 имеем:
\[m_1(V_1^2/2+gH_1)=m_2(V_2^2/2+gH_2),\qquad m_1=m_2,\qquad V_1^2/2+gH_1=V_2^2/2+gH_2\]
что может быть также получено из интеграла Бернулли. Контрдоводы против использования в контексте данной задачи интеграла Бернулли не заслуживают обсуждения (с точностью до постоянных сомножителей интеграл Бернулли и поток энергии - одно и то же) , а попытка законодательно ограничивать выбор половинной глубины некомпетентна: ни интеграл Бернулли, \(\rho (V^2/2+gh)+P\), ни плотность потока энергии, \([\rho (V^2/2+gh)+P]V\), НЕ ЗАВИСЯТ ОТ ВЕРТИКАЛЬНОЙ КООРДИНАТЫ h поскольку СУММА гидростатического давления и плотности потенциальной энергии \(\rho g h\), постоянна по глубине: \(P+\rho g h=\rho g(H-h)+\rho g h=\rho g H\). На производство электроэнергии может быть затрачена величина E (тоже отнесем ее к погонному метру ширины канала), не превышающая разность потоков энергии до и после турбины: \(m_1(V_1^2/2+gH_1)-m_2(V_2^2/2+gH_2)=E\)
Вредительский план истребления журнала АЭЭ вместе с его авторами и рецензентами полностью поддерживаю и одобряю.