Ускорение свободного падения на высоте \(h\):
\(g(h)=g_o\frac{R^2}{(R+h)^2}\)
\(\rho\) - Плотность материала троса (8000 кг/м3)
\(s=s(h)\) - сечение троса на высоте \(h\)
\(\sigma\) - Допустимая нагрузка троса (допустим 100 кг/мм2)
\(dV=sdh\) - элементарный объём троса сечением \(s\), длиной \(dh\) на высоте \(h\)
\(dm=\rho dV=\rho sdh\) - масса элементарного кусочка троса
\(dF=g(h)\rho sdh\) - вес элементарного кусочка троса на высоте \(h\)
\(F=\rho\int\limits_{h_o}^hg(h)s(h)dh=\rho g_o\int\limits_{h_o}^h\frac{s(h)}{(1+h/R)^2}dh\)
Сечение троса пропорциональна его натяжению - пропорциональна весу: \(s=\frac{F}{\sigma}\)
\(s(h)=\frac{\rho g_o}{\sigma}\int\limits_{h_o}^h\frac{s(h)}{(1+h/R)^2}dh\)
\(\frac{ds}{dh}=\frac{\rho g_o}{\sigma}\frac{s(h)}{(1+h/R)^2}\)
\(\frac{ds}{s}=\frac{\rho g_o}{\sigma}\frac{dh}{(1+h/R)^2}\)
\(ln(\frac{s}{s_o})=\frac{\rho g_o}{\sigma}\int\limits_{h_o}^h\frac{dh}{(1+h/R)^2}=-\frac{\rho g_o}{\sigma}\frac{1}{1+h/R}|_{h_o}^h=\frac{\rho g_o}{\sigma}\left(\frac{1}{(1+h_0/R)^2}-\frac{1}{(1+h/R)^2}\right)\)
\(s(h)=s_oEXP\left(\frac{\rho g_o}{\sigma}\left(\frac{1}{(1+h_0/R)^2}-\frac{1}{(1+h/R)^2}\right)\right)\)
\(s(\infty)=s_oEXP\left(\frac{\rho g_o}{\sigma}\frac{1}{(1+h_0/R)^2}\right)\approx s_oEXP\left(\frac{\rho g_o}{4\sigma}\right)\)
ПРОВЕРИМ
Сколько весит стальной трос
сечением 1мм2=10-6м2 и длиной 1000 км
(на таком расстоянии УСП почти не меняется)
\(m=\rho Ls=8000\times 10^6\times 10^{-6}=8\) тонн
Т.е.: натяжение в 80 раз больше допустимого.
ВЫВОД: трос должен быть переменного сечения.
И сечение будет расти экспоненциально.
Это значит, что каждые 12.5 км толщина троса должна удваиваться.
На тысяче километров удвоение толщины будет 80 раз.
толщина вырастет в 256 тысяч раз.
Т.е., если в стратосфере сечение троса было 1мм2,
то на расстоянии в 1000 км от этого места будет 256 000 мм2.
это соответствует толщине троса (примерно) 28 см
Весить такой трос будет 144 тонны.
Трос, длиной в 2000 км будет иметь диаметр 150 метров,
ну а вес... сам прикинь.
*****************************************************
Мне всё было понятно и без этих расчётов,
а твоему Багрову надо было посчитать,
прежде чем озвучивать откровенную чушь.