Покажем, что формулы для потенциалов \( \displaystyle φ = \frac{e}{ \sqrt{ \left( x - V \cdot t \right)^2 + \left(1 - \frac{V^2}{c^2} \right) \left( y^2 + z^2 \right) }} \) \( \displaystyle ~~~~(3) \) и
\( \displaystyle φ = \frac{e}{ \left( R_{t~'} - \frac{1 }{c} \mathbf{V} \mathbf{R}_{t~'} \right) } \) \( \displaystyle ~~~~(2) \) эквивалентны.
В неподвижной системе отсчёта потенциал равен \( \displaystyle φ^{~'} = \frac{e}{ R^{~'} } \).
В системе отсчёта движущейся со скоростью \( \displaystyle \mathbf{V} \) потенциал равен
\( \displaystyle φ = \frac{φ^{~'}}{ \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} } } = \frac{e}{ R^{~'} \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} } } \).
Если с этого места пойдём путём как на ст. 123 ТЕОРИИ ПОЛЯ Ландау, то получим (3), но можно и по-другому.
Разложим радиус-вектор \( \displaystyle \mathbf{R^{~'}} \) на две составляющие, со направленную и ортогональную к скорости \( \displaystyle \mathbf{V} \).
\( \displaystyle R^{~'} = \sqrt{R_{ = }^2 + R_{ ⊥ }^2 } \), тогда потенциал равен
\( \displaystyle φ = \frac{e}{ \sqrt{R_{ = }^{'~2} + R_{ ⊥ }^{'~2} } \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} } } \).
Используем преобразования Лоренца \( \displaystyle R_{ = }^{~'} = \frac{R_{ = } - V \cdot t}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} }};~~~~ \) \( \displaystyle R_{ ⊥ }^{'} = R_{ ⊥ } \).
\( \displaystyle φ = \frac{e}{ \sqrt{ \left( \frac{R_{ = } - V \cdot t}{ \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} }} \right)^{2} + R_{ ⊥ }^{2} } \sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2} } } = \frac{e}{ \sqrt{ \left( R_{ = } - V \cdot t \right)^2 + R_{ ⊥ }^2 \left(1 - \frac{V^2}{c^2} \right) } } = \)\( \displaystyle = \frac{e}{ \sqrt{ R_{ = }^2 + (V \cdot t)^2 - 2R_{ = } V \cdot t + R_{ ⊥ }^2 - \frac{V^2}{c^2}R_{ ⊥ }^2 } } = \frac{e}{ \sqrt{ R_{t}^2 - \frac{V^2}{c^2}R_{ ⊥ }^2 } } = \)\( \displaystyle R_{t}^2 = R_{ = }^2 + (V \cdot t)^2 - 2R_{ = } V \cdot t + R_{ ⊥ }^2 = R_{t'}^2 + (V \cdot t)^2 - 2R_{ = } V \cdot t - \) по теореме косинусов, где \( \displaystyle R_{t'}^2 = R_{ = }^2 + R_{ ⊥ }^2 \).
\( \displaystyle = \frac{e}{ \sqrt{ R_{t}^2 - \frac{1 }{c^2} \mathbf{[} \mathbf{V} \mathbf{R}_{t} \mathbf{] }^2 } }\), с учётом определения векторного произведения.
На ст. 213 ТЕОРИИ ПОЛЯ есть равенство
\( \displaystyle R_{t'} - \frac{1}{c} \mathbf{R}_{t'} \mathbf{v} = \sqrt{R_{t}^2 - \frac{ 1}{c^2}[ \mathbf{v} \mathbf{R}_{t}]^2 } \) \( \displaystyle ~~~~(4) \), что и доказывает эквивалентность (2) и (3) в пределах ТО.
Что касается формулы \( \displaystyle φ = \frac{e}{R + V_r \cdot dt} ≈ \frac{e}{R^{~'} } \) \( \displaystyle ~~~~(1) \), то в предположении
\( \displaystyle φ = \frac{e}{R_{t~'} + V_r \cdot dt} \), при \( \displaystyle -c \cdot dt = R_{t~'} \) её применение будет правильным для момента времени \( \displaystyle t^{'} \).
Для момента времени \( \displaystyle t \) надо применять формулу
\( \displaystyle φ = \frac{e}{ \sqrt{ R_{t}^2 - \frac{V^2}{c^2}R_{ ⊥ }^2 } } = \frac{e}{ \sqrt{ R_{t}^2 - \frac{R_{t}^2}{c^2}V_{ ⊥ }^2 } } = \frac{e}{ \sqrt{ R_{t}^2 - V_{ ⊥ }^2 dt^2} } \),
при \( \displaystyle c \cdot dt = R_{t} \); \( \displaystyle V_{ ⊥ } - \) можно понимать как скорость вращения радиус вектора \( \displaystyle R_{t} \) относительно точки наблюдения.
Можно непосредственно преобразовать знаменатель формулы (3) к виду (4)
\( \displaystyle \sqrt{ \left( x - V \cdot t \right)^2 + \left(1 - \frac{V^2}{c^2} \right) \left( y^2 + z^2 \right) } = \sqrt{ x^2 + (V \cdot t)^2 - 2(V \cdot t)x + y^2 + z^2 - \frac{V^2}{c^2} \left( y^2 + z^2 \right) } = \)
\( \displaystyle R_{t'}^2 = x^2 + y^2 + z^2 \).
\( \displaystyle = \sqrt{ R_{t'}^2 + (V \cdot t)^2 - 2(V \cdot t)x - \frac{V^2}{c^2} \left( y^2 + z^2 \right) } = \sqrt{ R_{t}^2 - \frac{V^2}{c^2} \left( y^2 + z^2 \right) } = \sqrt{ R_{t}^2 - \frac{ 1}{c^2} [ \mathbf{V} \mathbf{R}_{t}]^2} = R_{t'} - \frac{1}{c} \mathbf{R}_{t'} \mathbf{V} \)
С уважением, Михаил Ost.
