Разгон ракеты

[Ser100]

Сергей, если у тебя наблюдается нарушение 3-го закона Ньютона -- ищи у себя ошибку!!!
Ибо третий -- это закон природы не имеющий возможности быть нарушенным.

Нарушается и еще как. Да и это замечание для рассматриваемого энергетического подхода ничего не дает в любом случае. Искать надо там, где я указал.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

Что-то не видно моих учителей, которые так браво в начале темы учили меня решать эту задачу. И формулы Циолковского, использовавшего для решения этой задачи импульсный подход Ньютона, оказались ошибочными. Придется решать самому. А в помощь я возьму программу Raketa2, которую я быстро набросал специально для этой задачи. И, если Вы нажмете кнопки <Циолковский> <Аид> и <Юдин 1>, то Вы выполните расчет по приводившимся выше формулам Циолковского, Аида и моим. Но, как мы выяснили выше, формулы Циолковского и Аида явно неправильные. А мое решение, которое для приводившихся примеров выглядело правильно, тоже становится неправильным при малых скоростях истечения газов.

Сразу скажу, что я эту задачу вроде бы решил, как с использованием энергетического подхода Лагранжа для описания явлений Природы, так и с использованием моего мощностного подхода, но какая то неудовлетворенность осталась. Дело в том, что у меня все сходится только если сила давления газов двигателя на стенде определяется не как произведение секундного расхода газов на их скорость, а как половина этого произведения, т.е. когда секундный расход определяется по формуле из учебников, которую приводил Аид (в программе выбрать переключатель <mg1 по E>)
\[ m_{g1}=2P/V_{g0}^2 \]
А, если эту силу давления газов брать как произведение секундного расхода газов на их скорость и потом для нахождения мощности двигателя P умножать ее опять на эту скорость, как я предлагал, то секундный расход газов по мощности двигателя определится как (выбрать переключатель <mg1 по Р>)
 \[ m_{g1}=P/V_{g0}^2 \]

Таким образом, при использовании моего мощностного подхода (вариант Юдин 3) решение сходится с моим же решением, где используется энергетический подход (вариант Юдин 2), только, если сила давления газов равна половине произведения секундного расхода газов на их скорость (в программе надо в рамке <Eg для Юдин 3> выбирать вариант <по E>. Следовательно, для уверенности в том, что задача разгона ракеты решена мною правильно необходимо найти экспериментальное подтверждение того, что сила давления газов двигателя на стенде определяется как половина произведения секундного расхода газов на их скорость. А различные варианты этого решения представлены мною на скриншоте программы Raketa2, где по оси абсцисс изменяется скорость истечения газов из сопла двигателя (при нажатии на кнопку <График с Vg0=0,1 до> и при выборе соответствующего варианта расчета), а по оси ординат КПД движителя (синие кривые), время разгона (красные кривые) и сила разгоняющая ракету (зеленые кривые) в масштабах, которые заданы выше.




(см. продолжение)

[Ser100]

Скачать программу вместе с исходным кодом на языке Visual Basic 6.0 можно здесь https://googledrive.com/host/0BwnV2Ac6zvhMalpOVGktQ1Jic1U/Ris/Raketa2.rar , а просмотреть код формы 1, где даны варианты расчета, можно и Блокнотом (сразу после графического описания формы). К сожалению, программа не является пока законченным продуктом поэтому ее описание отсутствует, но я думаю работа с ней будет интуитивно понятна (использовать надо только элементы, показанные на скриншоте). А основное отличие моих вариантов расчета 2 и 3 от приводившегося выше варианта 1 заключается в том, что я убрал функцию знака у энергии разгоняемых в ракете газов Egr, которые будут выброшены во время разгона. Теперь на это всегда затрачивается энергия двигателя, а вот энергия на разгон газов, летящих за ракетой Eg затрачивается только тогда, когда скорость выброса газов больше скорости ракеты, т.е. газы в неподвижной системе отсчета летят от ракеты в противоположную сторону, а не вслед за ней. И получается две формулы для времени разгона ракеты. Когда газы летят за ракетой
\[ t=\frac{2 m_1(V_2^2-V_1^2)}{4 P+m_{g1}(V_2^2-V_1^2)} \]
И когда летят в другую сторону
\[ t=\frac{2 m_1(V_2^2-V_1^2)}{4 P+m_{g1}(V_2^2-V_1^2)-2 m_{g1}V_g^2} \]
А КПД определится по той же формуле, что я и давал (только без функции знака). При этом полезный прирост энергии ракеты dEr берется для ее массы, которая будет в конце разгона.
\[ \eta =\frac{dE_r}{dE_r + E_g +E_{gr}} \]
\[ m_g = m_{g1}t \]
\[ dE_r = (m_1 - m_g)(V_2 ^ 2 - V_1 ^ 2) / 2 \]
\[ E_g = m_g(V_{g0} - V_{sr}) ^ 2 / 2 при V_{g0}>V_{sr}  \]
\[ E_g = 0 при V_{g0}<V_{sr} \]
\[ E_{gr} = m_g(V_2 ^ 2 - V_1 ^ 2) / 4 \]

Здесь приняты следующие обозначения

m1 - масса ракеты до разгона.
V_g0 - cкорость истечения газов на стенде
P - развиваемая двигателем номинальная мощность
V1 - скорость ракеты до разгона
V2 - скорость ракеты в конце разгона.
m_g1 - секундный расход газов
m_g - расход газа за время разгона
dVr=V2-V1 - интервал изменения скорости ракеты при разгоне
Vsr=(V1+V2)/2 - средняя скорость ракеты на этапе разгона
Vg=V_g0-Vsr - скорость газов летящих от ракеты в другую сторону

А при мощностном подходе решения задачи формулы получаются немного попроще, чем при энергетическом, и при Vg0 < Vsr время разгона будет
\[ t=\frac{2 m_1V_{sr}dV_r}{2 P+m_{g1} V_{sr} dV_r} \]
А при Vg0 >Vsr и при расчете с отмеченным переключателем <по E> будет
\[ t=\frac{2 m_1V_{sr}dV_r}{2 P+m_{g1} V_{sr} dV_r- m_{g1} V_g^2} \]

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Сергей, если у тебя наблюдается нарушение 3-го закона Ньютона -- ищи у себя ошибку!!!

Давненько не заглядывал. В данном конкретном случае согласен с Ltlekz49.
Позже постараюсь найти, в чем ошибка Сергея Юдина.

[Ser100]

Давненько не заглядывал. В данном конкретном случае согласен с Ltlekz49.
Позже постараюсь найти, в чем ошибка Сергея Юдина.

Буду очень признателен Вам за это. Только желательно при этом дать и правильное решение, а не просто заявить, что раз нарушается 3-ий закон, значит у Юдина решение неправильное.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Как видим, в расчетах по Циолковскому энергия, выработанная двигателем, получается меньше,  чем прирост энергии ракеты даже без учета энергии газов. Короче, получается вечный двигатель.

Замечу, что уже из качественных соображений ясно, что никаких противоречий тут нет. Работа идет на изменение энергии ракеты и газов.
А=dE_r+dE_g.
Т.к. начальная скорость ракеты больше скорости вылета газов относительно ракеты, то кинетическая энергия газов при вылете из ракеты уменьшается. Поэтому второе слагаемое отрицательно.
Очевидно, что при этом первое слагаемое должно получаться больше работы двигателей.

Как видно из приведенных цифр, при скорости газов 2000 м/c изменение энергии ракеты меньше работы двигателя, т.к. в этом случае КЭ газов растет.

Продолжение следует.

[aid]

Наконец то вроде бы разобрался с энергетическим балансом при разгоне ракеты. И, если ничего не напутал, то получается, что формулы Циолковского, как для времени разгона, так и для КПД движителя являются ошибочными. Вот формулы Циолковского

\[ t =\frac{m_1}{m_{g1}} -\frac{m_1}{m_{g1}exp((V_2 - V_1) / V_{g0})} \]

\[ \eta=1/(1 + \frac{dV_r(V_1-V_{g0})^ 2}{V_{g0}(dV_r + V_1)^ 2}) \]

А вот мои формулы (я не стал записывать общую формулу для КПД, т.к. в нее входит время разгона и она получится очень большой). При этом у меня формула для прироста энергии ракеты dEr при ее разгоне от V1 до V2 получилась точной, а формулы для энергии газов летящих за ракетой Eg и массы газов Egr, которые во время разгона ракеты надо разогнать до какой-то промежуточной скорости и потом они будут выброшены, получились приблизительные, но для малого интервала скоростей при разгоне их можно считать почти точными.

При этом у меня на скриншотах добавились новые обозначения Esum - прирост энергии ракеты и энергия газов, как летящих за ракетой, так и разгоняемых на этапе разгона и выброшенных, Ed0 - полная энергия выработанная двигателем за время разгона, Eкпд - энергия выработанная двигателем и пошедшая на разгон именно ракеты, т.е. с ее конечной массой, с учетом КПД движителя. При этом в средней колонке приведены энергии, рассчитанные по вышеприведенным формулам, а в правой колонке рассчитанные по этим формулам, но для Eg и Egr численными методами. А значения КПД движителя в левой колонке рассчитано по вышеприведенным формулам, а в правой колонке после уточненного расчета энергий численными методами.

Согласен с расчетом изменения энергии ракеты.
Энергию газов, выброшенных за время разгона, можно посчитать, взяв интеграл от
dm_g(v-v_g)²/2, где dm=m_gdt.
Интеграл берется по времени от 0 до времени разгона.
Для скорости газов 200 м/c расчет дал 322465 Дж, а для 2000 м/c 7.0804*10^6 Дж.
Это близко к Вашим результатам. Однако, Вы по-видимому, не учли начальную энергию этих газов - m_gtv₁²/2.
Изменение КЭ газов даст отрицательную величину и сумма изменений КЭ ракеты и газов совпадет с мощностью на время разгона. У меня совпало.

[Ser100]

Изменение КЭ газов даст отрицательную величину и сумма изменений КЭ ракеты и газов совпадет с мощностью на время разгона. У меня совпало.

Во-первых, даже не понял про энергию каких газов Вы говорите, а, во-вторых, давайте использовать принятые в моей задаче обозначения, а то мы окончательно запутаемся. На всякий случай напоминаю, что у меня в расчете полезный прирост энергии ракеты dEr рассчитывается как разгон массы ракеты, которая будет в конце разгона, от скорости V1 до V2. А энергия разгона вместе с ракетой массы газов m_g, части которой во время разгона будут разогнаны до разных скоростей прежде чем будут выброшены из ракеты это у меня Egr. А вот энергия газов, летящих за ракетой уже после их выброса это Eg. Так вот у меня при Vg0=200 м/с Eg=0, а у Вас получается 322465 Дж. У меня совсем другая энергия примерно равна этой, а именно Egr. А вот при Vg0=2000 м/с у меня примерно равна Вашей величине 7.0804*10^6 энергия Eg. Без четкого разделения этих энергий совершенно не понятно о чем идет речь, когда Вы говорите об энергии газов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Во-первых, даже не понял про энергию каких газов Вы говорите, а, во-вторых, давайте использовать принятые в моей задаче обозначения, а то мы окончательно запутаемся. На всякий случай напоминаю, что у меня в расчете полезный прирост энергии ракеты dEr рассчитывается как разгон массы ракеты, которая будет в конце разгона, от скорости V1 до V2. А энергия разгона вместе с ракетой массы газов m_g, части которой во время разгона будут разогнаны до разных скоростей прежде чем будут выброшены из ракеты это у меня Egr. А вот энергия газов, летящих за ракетой уже после их выброса это Eg. Так вот у меня при Vg0=200 м/с Eg=0, а у Вас получается 322465 Дж. У меня совсем другая энергия примерно равна этой, а именно Egr. А вот при Vg0=2000 м/с у меня примерно равна Вашей величине 7.0804*10^6 энергия Eg. Без четкого разделения этих энергий совершенно не понятно о чем идет речь, когда Вы говорите об энергии газов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Мне действительно неясно, что у Вас за Eg и Egr.
У меня нет такого разделения.
Имеется в начальном состоянии ракета массой скажем 950 кг и газы массой 50 кг со скоростью v1 - общая масса 1000 кг.
В конце имеем ракету той же массы 950 кг со скоростью v2 и выброшенные 50 кг газов, но эти газы обладают непрерывным распределением скоростей, т.к. выбрасываются при разной скорости.

Как посчитать их кинетическую энергию - я привел:

Энергию газов, выброшенных за время разгона, можно посчитать, взяв интеграл от
dm_g(v-v_g)²/2, где dm=m_gdt.

[lubitel_]

Во-первых, даже не понял про энергию каких газов Вы говорите, а, во-вторых, давайте использовать принятые в моей задаче обозначения, а то мы окончательно запутаемся. На всякий случай напоминаю, что у меня в расчете полезный прирост энергии ракеты dEr рассчитывается как разгон массы ракеты, которая будет в конце разгона, от скорости V1 до V2. А энергия разгона вместе с ракетой массы газов m_g, части которой во время разгона будут разогнаны до разных скоростей прежде чем будут выброшены из ракеты это у меня Egr. А вот энергия газов, летящих за ракетой уже после их выброса это Eg. Так вот у меня при Vg0=200 м/с Eg=0, а у Вас получается 322465 Дж. У меня совсем другая энергия примерно равна этой, а именно Egr. А вот при Vg0=2000 м/с у меня примерно равна Вашей величине 7.0804*10^6 энергия Eg. Без четкого разделения этих энергий совершенно не понятно о чем идет речь, когда Вы говорите об энергии газов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Странно.
Когда Циолковский кидается камнями всё сходится и заметте всё очень просто. А когда начинаем интегрировать не сходится.
Вывод подинтегральную функцию определили неправильно

[aid]

Странно.
Когда Циолковский кидается камнями всё сходится и заметте всё очень просто. А когда начинаем интегрировать не сходится.
Вывод подинтегральную функцию определили неправильно

Сходится и при интегрировании. А Циолковский разве проводил подобный расчет?

[lubitel_]

Сходится и при интегрировании. А Циолковский разве проводил подобный расчет?

Это я со слов Юдина.
Если ошибся или переврал -  мои извинения Вам Сергей

[Ser100]

Мне действительно неясно, что у Вас за Eg и Egr.

У меня Egr это энергия на разгон массы топлива, которая станет газами на этапе разгона. И здесь мы имеем разгон переменной массы до разных скоростей. Разгоняемая в ракете масса топлива уменьшается от mg=mg1*t=50 кг в начале разгона до нуля в конце разгона. Я свой аналитический подсчет этой энергии проверял численным интегрированием (надо после расчета <Юдин 1> нажать на кнопку <Уточнить Eg и Egr для Юдин 1>). При этом я всю массу и интервал изменения скорости разбивал на 100*t частей и подсчитывал Eg и Egr (см. код в форме 1). А Eg это энергия для разгона тех же 50 кг топлива, которые уже превратились в газ, вылетели из ракеты и продолжают лететь за ракетой или в противоположную от нее сторону. Если они летят за ракетой, то на их разгон энергия уже затрачена, когда они были топливом, а, если они летят в другую сторону, то надо затратить еще и энергию Eg на их разгон до скорости Vgo-Vsr.

NC = Fix(100 * T): Egr = 0: Eg = 0: ReDim V(NC): ReDim mi(NC): V(0) = V1

For i = 1 To NC
V(i) = V1 + (V2 - V1) * i / NC
mi(i) = mg - mg1 * (i - 1) / 100
Egr = Egr + mi(i) * (V(i) ^ 2 - V(i - 1) ^ 2) / 2
Eg = Eg + (mg1 / 100) * (V(i) - Vg0) ^ 2 / 2
Next i

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

У меня Egr это энергия на разгон массы топлива, которая станет газами на этапе разгона. И здесь мы имеем разгон переменной массы до разных скоростей. Разгоняемая в ракете масса топлива уменьшается от mg=mg1*t=50 кг в начале разгона до нуля в конце разгона. Я свой аналитический подсчет этой энергии проверял численным интегрированием (надо после расчета <Юдин 1> нажать на кнопку <Уточнить Eg и Egr для Юдин 1>). При этом я всю массу и интервал изменения скорости разбивал на 100*t частей и подсчитывал Eg и Egr (см. код в форме 1). А Eg это энергия для разгона тех же 50 кг топлива, которые уже превратились в газ, вылетели из ракеты и продолжают лететь за ракетой или в противоположную от нее сторону. Если они летят за ракетой, то на их разгон энергия уже затрачена, когда они были топливом

Вот тут, имхо, и зарыта собака. Газы-то летят за ракетой, но при выбрасывании их скорость уменьшается, следовательно уменьшается и кинетическая энергия.
По сути Вы считаете изменение кинетической энергии в 2 этапа - изменение КЭ при движении в ракете и изменение КЭ после выброса и складываете. Но учтите, что при разгоне, например, 0.1 кг топлива от 310 до 311 м/c его энергия возрастает (как Вы и считаете), а вот когда газы выбрасываются  из ракеты со скоростью 311-200=111 м/c, их энергия убывает. Поэтому здесь dE - это разность кинетической энергии после выброса и до выброса.
 Ваши Е_g - это и есть КЭ газов после выброса. Потому оно и совпадает с моим результатом, при чем для обоих случаев - и 200 и 2000 м/c, судя по данным из ответа 57.
   Поэтому для расчета изменения КЭ можно просто вычесть из энергии газов их начальную энергию в виде топлива в ракете, как я и сделал.
А если делать, как Вы, то надо бы считать не так, а учитывая изменение энергии газов при выбрасывании из ракеты, а не саму энергию.

Резюмируя, считаю, что Ваша ошибка в том, что Вы изменение энергии топлива в ракете складываете с энергией газов, выброшенных из ракеты. А надо складывать с изменением энергии выбрасываемых газов.

[Ser100]

   Поэтому для расчета изменения КЭ можно просто вычесть из энергии газов их начальную энергию в виде топлива в ракете, как я и сделал.
А если делать, как Вы, то надо бы считать не так, а учитывая изменение энергии газов при выбрасывании из ракеты, а не саму энергию.

Резюмируя, считаю, что Ваша ошибка в том, что Вы изменение энергии топлива в ракете складываете с энергией газов, выброшенных из ракеты. А надо складывать с изменением энергии выбрасываемых газов.

Таким образом, Вы утверждаете, что если мы затратили какую то энергию на разгон массы газов в 50 кг до скорости 315 м/с, когда они были топливом и разгонялись вместе с ракетой, а потом выбросили их из двигателя со скоростью -630 м/с (относительно ракеты) и их абсолютная скорость стала -315 м/с, то на это действие никакой дополнительной энергии двигателя затрачено не будет, т.к. их кинетическая энергия осталась та же самая, хотя они и летят теперь в другую сторону.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Таким образом, Вы утверждаете, что если мы затратили какую то энергию на разгон массы газов в 50 кг до скорости 315 м/с, когда они были топливом и разгонялись вместе с ракетой, а потом выбросили их из двигателя со скоростью -630 м/с (относительно ракеты) и их абсолютная скорость стала -315 м/с, то на это действие никакой дополнительной энергии двигателя затрачено не будет, т.к. их кинетическая энергия осталась та же самая, хотя они и летят теперь в другую сторону.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Кинетическая энергия - положительная величина. Работа - величина скалярная, равная изменению кинетической энергии. Если кинетическая энергия растет - работа положительна, если уменьшается - отрицательна. Суммарная работа - ноль.
Приведу наглядный пример - пружина двигает груз, пусть груз 50 кг проходит положение равновесия вправо со скоростью 315 м/c, пружина сжимается, груз тормозится, затем ускоряется в противоположном направлении и проходит положение равновесия со скоростью 315 м/c влево - работа пружины ноль. При сжатии пружина действовала на груз против направления его движения - совершала над ним отрицательную работу.
  То же с газами - при выбрасывании, если их модуль скорости уменьшается и уменьшается КЭ, то работа по определению над ними совершается отрицательная - сила на них действует против их перемещения.

  Важно, что суммарная работа над газами и ракетой, равная суммарному изменению КЭ топлива и ракеты получается точно равной произведению мощности на время. Кажущиеся парадоксы наступают, когда учитывают изменение энергии только одной из компонент, а не всей системы, участвующей в процессе.

[vamin]

  То же с газами - при выбрасывании, если их модуль скорости уменьшается и уменьшается КЭ, то работа по определению над ними совершается отрицательная - сила на них действует против их перемещения.

  Важно, что суммарная работа над газами и ракетой, равная суммарному изменению КЭ топлива и ракеты получается точно равной произведению мощности на время. Кажущиеся парадоксы наступают, когда учитывают изменение энергии только одной из компонент, а не всей системы, участвующей в процессе.

 Нет, кинетическая энергия газов может быть или положительной или нулевой, и не важно в каком направлении
относительно ИСО эти газы движутся, из суммарную работы ее ни в коем случае нельзя вычитать.
  Ваш пример с грузом и пружиной неудачен, так как там работа совершается над одним и тем же грузом,
а здесь считается энергия "разных" газов, то есть над ними совершена работа однократно.

[aid]

 Нет, кинетическая энергия газов может быть или положительной или нулевой, и не важно в каком направлении
относительно ИСО эти газы движутся, из суммарную работы ее ни в коем случае нельзя вычитать.

Не понял, про какое вычитание Вы говорите.
У меня в расчетах все верно, о чем свидетельствует полученный энергетический баланс.
Вычитаю я из конечной кинетической энергии начальную и сравниваю результат с работой двигателя.

 Ваш пример с грузом и пружиной неудачен, так как там работа совершается над одним и тем же грузом,
а здесь считается энергия "разных" газов, то есть над ними совершена работа однократно.

В примере Serа как раз речь идет про "одни и те же" газы, так что пример считаю удачным.

[Ser100]

В примере Serа как раз речь идет про "одни и те же" газы, так что пример считаю удачным.

А я согласен, что пример не удачный, т.к. у нас нет этой самой пружинки, которая бы превратила кинетическую энергию разогнанных в ракете газов (топлива) в потенциальную (запасенную в пружинке), а потом эта пружинка отдала бы эту энергию вылетающим из ракеты газам. Так что нам приходится совершать работу дважды. Сначала для разгона газов в одну сторону, а потом для их разгона в другую сторону. Да что мы, собственно говоря, растекаемся мыслью по древу. Вы запишите свои конкретные правильные формулы для времени разгона и КПД движителя и я покажу, что они не правильные.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ltlekz49]

 Нет, кинетическая энергия газов может быть или положительной или нулевой, и не важно в каком направлении
относительно ИСО эти газы движутся, из суммарную работы ее ни в коем случае нельзя вычитать.
  Ваш пример с грузом и пружиной неудачен, так как там работа совершается над одним и тем же грузом,
а здесь считается энергия "разных" газов, то есть над ними совершена работа однократно.

Юдин с аидом пудрят друг другу и себе мозги.
Ракету, не взаимодействующую ни с чем, кроме собственного двигателя, отбрасывающего постоянный поток газов с постоянной скоростью (относительно ракеты) не надо рассматривать ни в какой ИСО, только в собственной системе координат.
Количество движения получаемое при отбрасывании газов всегда делится пополам, между ракетой переменной массы и отбрасываемым газом, поэтому ракета получает столько же, сколько отбрасываемый газ (Следствие III, стр.45 Начал). Про тот газ, что выброшен ранее, наплевать и забыть.
    mv = M(t)dV - секундный импульс; => dV =  mv/M(t);

Масса ракеты: M(t) = M₀ - mt;

Ну и тогда: V(t) = ∫mv/(M₀ - mt)dt - всё. Осталось проинтегрировать.