Нелинейный математический маятник

[Мастеров АВ]

Все знают, что период колебания математического маятника определяется простой формулой:

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Но мы-то знаем, что формула эта приближённая.
Для малых углов.
Интересно, как (всётаки) зависит период колебаний от амплитуды колебай?
(Ну правда!)

Давайте попробуем ответить на этот вопрос.

Запишем закон сохранения энергии для Маятника:

\(\frac{mv^2}{2}-mgl\cos(x)=-mgl\cos(x_o)\)

тут икс - угол отклонения маятника от вертикали.

Тогда скорость связана с углом так:

\(v=l\frac{dx}{dt}\)

Подставим попутно сокращая массу и длину

\(\frac{l}{2}(\frac{dx}{dt})^2-g\cos(x)=-g\cos(x_o)\)

Поколдуем ещё

\((\frac{dx}{dt})^2=\frac{2g}{l}(\cos(x)-cos(x_o))\)

и ещё

\(\frac{dx}{\sqrt{\cos(x)-cos(x_o)}}=\sqrt{\frac{2g}{l}}dt\)

и ещё

\(\int_{x_o}^{x}\frac{dx}{\sqrt{\cos(x)-cos(x_o)}}=\sqrt{\frac{g}{l}}t\)

ВОТ ОНА!, Основная проблема нелинейной динамики.

Интеграл, гад, сволочь, не берущийся!

Что делать?

Возьмём приближение для косинуса: \(\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}\), и подставим:

\(\int_{x_o}^{x}\frac{dx}{\sqrt{x_o^2-x^2}}=\sqrt{\frac{g}{l}}t\)

О! А этот берущийся!

\(\arcsin(x)-\arcsin(x_o)=\sqrt{\frac{g}{l}}t\)

\(x(t)=\sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\arcsin(x_o))\)
Нуу.. Вот ОНО, всем хорошо известное решение

Но нас-то интересует период.
Период синуса: \(2\pi\)
Значит: \(\sqrt{\frac{g}{l}}T=2\pi\)
Вот он - ОТВЕТ: \(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)

[Мастеров АВ]

Возьмём СЛЕДУЮЩЕЕ приближение для косинуса: \(\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\), и подставим в красную формулу:

\(\cos(x_o)-\cos(x)=-\frac{x^2_o-x^2}{2}+\frac{x^4_o-x^4}{24}=-\frac{x^2_o-x^2}{2}(1-\frac{x^2_o+x^2}{12})=\)

Вот она (Поправка)!

\(T=2\pi\sqrt{(1-\frac{x^2_o}{8})\frac{l}{g}}\)

\(\tau=\sqrt{1-\frac{x^2_o}{8}}\)

Посчитаем поправку к периоду для углов 15^о, 30^о и 45^о

\(\tau_{15}=\sqrt{1-\frac{\pi^2}{1152}}=1-0.0043\) - убегут на 6 минут в сутки
\(\tau_{30}=\sqrt{1-\frac{\pi^2}{228}}=1-0.022\) - полчаса
\(\tau_{45}=\sqrt{1-\frac{\pi^2}{128}}=1-0.04\) - больше часа

[Мастеров АВ]

Можно ли сделать точные маятниковые часы, у которых поправку можно было бы регулировать, изменяя амплитуду колебаний маятника?

Идея такая: при 15^о наши часы ходят (более менее) точно.

ВОПРОС: Изменяя амплитуду колебаний на один градус - на сколько изменится период колебаний?

\(\Delta\tau=\sqrt{1-\frac{\pi^2}{1152}}-\sqrt{1-\frac{\pi^2}{1152}(1-\frac{1}{360})^2}\)
\(\Delta\tau=-\frac{\pi^2}{2304}+\frac{\pi^2}{2304}(1-\frac{1}{360})^2\)
\(\Delta\tau=\frac{\pi^2}{2304}\frac{2}{360}=\frac{\pi^2}{414720}\)
Каждый градус даёт две секунды в сутки.

[Мастеров АВ]

вы что - не знаете точного решения?!

Точного решения никто не знает.
Все только (качественные) картинки рисуют.
Вот такие, к примеру:

Эта картинка как раз и соответствует нашему маятнику.

Оси ИКС тут угол, а УГРЕК - скорость.

Вот эту формулу берут, и рисуют

\(\frac{l}{2}(\frac{dx}{dt})^2-g\cos(x)=-g\cos(x_o)\)

[Мастеров АВ]

ну вы и тупой

Другие ещё хуже.
(Я умею решать то, чего они не умеют.)

[Мастеров АВ]

А давайте будем посчитать!
(Компьютер железный - справится небось.)

Будем вычислять вот такой интеграл

\(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{0}^{x_o}\frac{dx}{\sqrt{\cos(x)-\cos(x_o)}}\approx 1,\ 0<x_o<\frac{\pi}{2}\)

Период ему пропорционален.
Единица соответствует классическому значению:

\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Проверим:

\(\frac{2}{\pi}\int_{0}^{x_o}\frac{dx}{\sqrt{x_o^2-x^2}}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{d(x/x_o)}{\sqrt{1-(x/x_o)^2}}=\frac{2}{\pi}\int_{1}^{0}\frac{d\sin(\xi)}{\sqrt{1-\sin^2(\xi)}}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}d\xi=1\)

===========================

А если считать вот такой интеграл:

\(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{x_o}\left(\sqrt{\frac{2}{\cos(x)-\cos(x_o)}}-\frac{2}{\sqrt{x_o^2-x^2}}\right)dx\approx 0\)

Этот интеграл покажет - в какую сторону (в сторону уменьшения или в сторону увеличения) изменится период колебаний, и - насколько изменится?

\(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{x_o}\frac{\sqrt{2(x_o^2-x^2)}-2\sqrt{\cos(x)-\cos(x_o)}}{\sqrt{x_o^2-x^2}\sqrt{\cos(x)-\cos(x_o)}}dx=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{0}^{x_o}\left(\sqrt{2}-\sqrt{\frac{x_o^2-x^2}{\cos(x)-\cos(x_o)}}\right)dx\approx\)

\(\approx \frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{0}^{x_o}\left(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2!}-\frac{x_o^2+x^2}{4!}}}\right)dx=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{0}^{x_o}\left(\sqrt{2}-\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{12-x_o^2-x^2}}\right)dx=\)

\(=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{x_o}\left(1-\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{12-x_o^2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2/(12-x_o^2)}}\right)dx=\frac{2}{\pi}\left(x_o-\sqrt{12}\int_{0}^{x_o}\frac{d(x/\sqrt{12-x_o^2})}{\sqrt{1-x^2/(12-x_o^2)}}\right)=\)

\(=\left[\sin(\xi)=x/\sqrt{12-x_o^2}\right]=\frac{2}{\pi}\left(x_o-\sqrt{12}\arcsin(x_o/\sqrt{12-x_o^2})\right)\approx\)

\(\approx\frac{2}{\pi}\left(x_o-\sqrt{12}x_o/\sqrt{12-x_o^2}\right)\approx\frac{2}{\pi}\left(x_o-x_o/\sqrt{1-x_o^2/12}\right)\approx\frac{2}{\pi}\left(x_o-x_o(1+x_o^2/24)\right)=-\frac{x_o^2}{12\pi}\)

\(T=2\pi(1-\frac{x^2_o}{12\pi})\sqrt{\frac{l}{g}}\)

Какой же должна быть поправка

[Ltlekz49]

Зяблик, я не Мастеров, с математикой на Вы, но я без формул могу сказать, что про увеличении отклонения до 180° период колебаний обращается в бесконечность(разрыв функции), а дальше колебания превращаются во вращение вокруг оси.

[Марина Славянка]

Слишком грубо...Пост убрала.
предупреждение первое

[Марина Славянка]

пост удалила. предупреждение второе

[Марина Славянка]

пост удален за оскорбление оппонента

[Мастеров АВ]

насколько я понял тут принято унижать и оскорблять людей
а отвечать всяким мразям и подонкам тут запрещено
поэтому
пшланах

Людей тут не оскорбляют.
Оскорбляют тут мразей и подонков.
Тебе это не нравится?
Ну не надо быть мразью и подонком, и тебя никто оскорблять не станет.
Люди не станут.
Только мрази и подонки, как ты.
Но тут с мразями и подонками борются.
============================

А что касаемо эллиптического интеграла, то интеграл

\(\int_{0}^{x_o}\frac{dx}{\sqrt{\cos(x)-\cos(x_o)}}=\sqrt{\frac{2}{\cos(x_o)}}F(\phi,k)\)

\(F(\phi,k)=\int_{0}^{\phi}\frac{d\phi}{\sqrt{1-k^2\sin^2(\phi)}}\)

действительно сводится к эллиптическому интегралу.
Но только это не решает никаких проблем.
Это специальная функция вычислить период всё равно не даст.

[Мастеров АВ]

чьяб корова мычала

Я твоих родственников не убивал.
И никто из моих предков убийцей не был.
А вы истребили практически всю мою родню.
Вы - жиды.
===================

Вы, жиды, нацисты и фашисты.
Самый презираемый народ во всём мире - евреи.

Если вы такие хорошие, как думаете о себе, то: почему вас отовсюду гонят?

Изгнание евреев из европейских государств
Австрия, 1420
Англия, 1290
Бавария, 1551
Бельгия, 1370
Богемия, 1744
Бранденбург, 1446 и 1510
Варшава, 1483
Ватикан, 1569
Вена, 1669
Венгрия 1582 и 1360
Верхняя Бавария, 1276, 1276 и 1442
Гамбург, 1649
Генуя, 1515 и 1550
Испания, 1492
Италия, 1492 и 1540
Колонь, 1424
Литва, 1495
Майнц, 1012, 1438, 1462 и 1483
Моравия, 1744
Москва, 1891
Наварра, 1498
Неаполь, 1496 и 1541
Нидерланды, 1444
Нюрнберг, 1498
Огзбург, 1439
Пион, 1420
Португалия, 1496
Прага, 1541 и 1557
Пруссия, 1510
Саксония, 1349,1380 и 1744
Франция, 1182, 1306, 1322 и 1394


И это только за последние 600 лет.
А вас выгоняют из стран не первую тысячу лет.

ПРИМЕР: "Исход евреев из Египта" (три с половиной тысячи лет назад).

Во всём мире мнение о евреях, как о самом подлом народе.

[Мастеров АВ]

ну надеюсь и Вы сдохнете скоро

Все там будем.

[Мастеров АВ]

не вы не гегель, вы нострадамус

Я - Мастеров.
А это куда круче.

[evilimp]

я вообще то не слишком заинтересован в том что бы продолжать общаться на вашем дегенератском ресурсе

Так и что держит ? Вслед вам можно только сказать традиционное "скатертью по жопе !"

[Мастеров АВ]

Вернёмся к интегралу:

\(\tau=\frac{\sqrt{2}}{\pi}\int_{0}^{x_o}\frac{dx}{\sqrt{\cos(x)-\cos(x_o)}},\ \tau\approx 1,\ 0<x_o<\frac{\pi}{2}\)

Вспомним тригонометрию: \(\cos(x)=1-2\sin^2(x/2)\)

Тогда:

\(\tau=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{x_o}\frac{dx}{\sqrt{\sin^2(x_o/2)-\sin^2(x/2)}}=\frac{1}{\pi\sqrt{\sin^2(x_o/2)}}\int_{0}^{x_o}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{\sin^2(x/2)}{\sin^2(x_o/2)}}}=\left[\xi=\frac{\sin(x/2)}{\sin(x_o/2)}\right]=\)

\(=\left[d\xi=\frac{\cos(x/2)}{\sin(x_o/2)}\frac{dx}{2}\right]=\left[dx=2\frac{\sin(x_o/2)}{\cos(x/2)}d\xi\right]=\left[dx=2\frac{\sin(x_o/2)}{\sqrt{1-\sin^2(x_o/2)\xi^2}}d\xi\right]=\)

\(\tau=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{d\xi}{\sqrt{1-\sin^2(x_o/2)\xi^2}\sqrt{1-\xi^2}}=\left[\xi=\sin(\alpha)\right]=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\alpha}{\sqrt{1-\sin^2(x_o/2)\sin^2(\alpha)}}=\frac{2}{\pi}K(\sin(x_o/2))\)

Я обозначил интеграл буквой K.
Но это не я сделал.
Это сделали математики.
Они этому интегралу дали название: "Полный Эллиптисечкий интеграл" (то ли первого, то ли второго рода - не помню).
Математики дали ему название.
Графики построили.
И это всё, что они смогли сделать.

Ан... Нет... В Википедии я нашёл:

\(K(k)=\frac{\pi}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\right)^2k^{2n}\)

Нелинейный математический маятник
(30 лет назад, когда я изучал это - ничего подобного не было.)

Тогда:

\(\tau=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\right)^2\sin^{2n}(x_o/2)\)

Итак, период нелинейного математического маятника:

\(T=2\pi\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\right]^2\sin^{2n}(x_o/2)\right)\sqrt{\frac{l}{g}}\)

\(T=2\pi\left(1+\left[\frac{1}{2}\right]^2\sin^2(x_o/2)+\left[\frac{1\ 3}{2\ 4}\right]^2\sin^4(x_o/2)+...+\left[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]^2\sin^{2n}(x_o/2)\right)\sqrt{\frac{l}{g}}\)

[Ser100]

И это всё, что они смогли сделать.

Ан... Нет... В Википедии я нашёл:

Ну, и зачем Вам весь этот геморой. Если хотите узнать точный период колебаний конкретного математического маятника, то решите дифференциальное уравнение численными методами, например, Рунге-Кутта. А, если хотите сделать маятник с постоянным периодом, то спрофилируйте поверхности, которых будет касаться нить, определенной формы (сейчас уже не помню какой там должен быть профиль, но можно поискать в интернете, т.к. я помню, что где-то видел это решение).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Мастеров АВ]

Ну, и зачем Вам весь этот геморой. Если хотите узнать точный период колебаний конкретного математического маятника, то решите дифференциальное уравнение численными методами, например, Рунге-Кутта. А, если хотите сделать маятник с постоянным периодом, то спрофилируйте поверхности, которых будет касаться нить, определенной формы (сейчас уже не помню какой там должен быть профиль, но можно поискать в интернете, т.к. я помню, что где-то видел это решение).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Это не геморрой.

Математика сродни большому спорту - тренировки требуются каждый день, а я уже десять лет не тренировался.
(Старый фигурист тоже надевает иногда коньки.)
================

Я свою первую программу написал в 79-том.
С тех пор программирую, как математик.
И я понимаю выгоды, которые даёт компьютер, и понимаю недостатки численного счёта.

Численный счёт не может заменить аналитику потому, что аналитика даёт правило, а численный счёт правила не даёт (как правило), а даёт факт, выраженный числом или графиком, которые по разному можно интерпретировать.

Аналитический счёт и численный счёт - каждый имеют свои преимущества и недостатки.
Если объединить их - получается очень мощный инструмент.

Мне кажется удалось это продемонстрировать в моей монографии.

Там я показываю, как аналитика расширяет возможности компьютера (к примеру).

ПОЯСНЮ: Компьютер (как правило) решает динамические задачи в ограниченном (объёмом памяти компьютера) и дискретном пространстве-времени.
В монографии я показываю, что (объединившись с аналитикой) численный счёт может быть в непрерывном пространстве-времени, которое ничем (кроме разрядностью чисел с плавающей точкой) не ограничен.
==================================

Ньютон и Лейбниц открыли настоящие континенты в нашем понимании мироздания, предоставив нам мощные инструменты: дифференциальное и интегральное счисления, но...
Мы (как бы) исследовали "побережье этих континентов" - линейные уравнения.
А в глубь континентов нас не пускают "горы" - нелинейности.

Мне кажется удалось найти проход в горах.
В монографии я показал, что исследовать нелинейные модели (особенно - в интегральной записи) проще, чем линейные, даже если нелинейность имеет гистерезис.

Моя монография - интеллектуальная бомба, которая снесёт горы, мешающие нам пройти в глубь континентов Ньютона и Лейбница.
Но это произойдёт не раньше того, как в науку вернётся Наука.
Сегодня наука является религиозной сектой, и останется таковой до тех пор, пока из научных учреждений жидов не вышвырнут.
Пока жидам позволено создавать в наших НИИ касты, пока жидовский фашизм имеет место в науке - Науки у нас не будет.

[Ser100]

Я свою первую программу написал в 79-том.
С тех пор программирую, как математик.

У нас тоже на кафедре именно в 1979 году появился первый советский персональный компьютер и мы накинулись на него, т.к. программировать на микрокалькуляторе "Электроника Д3-28" стало уже не интересно. Вот только я программирую как механик, а не как математик.

Численный счёт не может заменить аналитику потому, что аналитика даёт правило, а численный счёт правила не даёт (как правило), а даёт факт, выраженный числом или графиком, которые по разному можно интерпретировать.

Аналитический счёт и численный счёт - каждый имеют свои преимущества и недостатки.
Если объединить их - получается очень мощный инструмент.
..........
Мне кажется удалось найти проход в горах.
В монографии я показал, что исследовать нелинейные модели (особенно - в интегральной записи) проще, чем линейные, даже если нелинейность имеет гистерезис.

А вот это уже интересно, т.к. я в приложении 6 к своей последней статье "Влияние скорости гравитации на смещения параметров орбит планет" (ссылка на мои сайты внизу) как раз и сравниваю аналитические и численные решения задач, но тут, как мне кажется, мы с Вами стоим на противоположных позициях, т.к. с появлением компьютеров я отстаиваю только численное решение дифференциальных уравнений описывающих поведение реальных систем, где как раз эти нелинейности и будут. Так, что я думаю нам будет полезно обменятся мнениями о наших работах.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Мастеров АВ]

но тут, как мне кажется, мы с Вами стоим на противоположных позициях

У нас не могут быть противоположными позиции, поскольку я не против численного счёта.
Наоборот - я за.
Но аналитика и численный счёт (вместе) открывают куда большие перспективы, чем каждый из них в отдельности.

Просто Вы (видимо) не встречали людей, одинаково ловко владеющими обоими этими инструментами (как порознь, так и совместно).

Я - математик.
Родился таким.
Деревенский пацан - гений математики.
Я не преувеличиваю (но, конечно же, хвастаю).
Вот это почитайте:
Числа можно перемножать проще и быстрее!
(Смотреть нужно в Internet Explorer-е, другие браузеры не годятся.)
Это: 7-мой класс, 74-тый год.