Обоснование непостоянства секторной скорости относительно фокуса эллипса.

[aid]

Обратимся к приведенному в Re: Обоснование непостоянства секторной скорости при движении точки по эллипсу. выводу выражения (6) величины секторной скорости относительно фокуса при движении точки по эллиптической орбите
\[ 2\sigma_{1}  =\rho_{1} ^{2}\dot{\varphi}_{1}=ab\omega -x_{0}b\omega \cos \omega t =Const-f(t)\neq Const,\: \: \: (6) \]
по поводу верности которого даже высказано конкретное мнение

и определим в рассматриваемом случае движения материальной точки (планеты по одному из законов Кеплера) по эллиптической орбите  относительно фокуса (Солнца по одному из законов Кеплера) величину \([\vec r \times \vec a]=  \displaystyle \frac{d}{dt} [\vec r \times \vec v] \). Для этого отыщем производную функции (6):
\[ \left | \frac{d}{dt}[\vec \rho_{1}  \times \dot{\vec \rho}_{1} ]  \right |=2\frac{d}{dt}\sigma_{1}=\frac{d}{dt}(ab\omega -x_{0}b\omega \cos \omega t)=x_{0}b\omega^{2} \sin \omega t =\left |[\vec \rho_{1}  \times\ddot{\vec \rho}_{1}]  \right |\neq 0\neq const. \]
Результат очевиден и неутешителен для законов Кеплера: так как величина векторного произведения полярного радиус-вектора точки на вектор ускорения ее движения по эллиптической орбите не равна нулю, то, следовательно, эти вектора не коллинеарны

При чем здесь законы Кеплера к движению точки под действием квазиупругой силы? Прав был Мамаев? Вы смешиваете две разные задачи?

[Ost]

Обратимся к приведенному в Re: Обоснование непостоянства секторной скорости при движении точки по эллипсу. выводу выражения (6) величины секторной скорости относительно фокуса при движении точки по эллиптической орбите
\[ 2\sigma_{1}  =\rho_{1} ^{2}\dot{\varphi}_{1}=ab\omega -x_{0}b\omega \cos \omega t =Const-f(t)\neq Const,\: \: \: (6) \]
по поводу верности которого даже высказано конкретное мнение

и определим в рассматриваемом случае движения материальной точки (планеты по одному из законов Кеплера) по эллиптической орбите  относительно фокуса (Солнца по одному из законов Кеплера) величину \([\vec r \times \vec a]=  \displaystyle \frac{d}{dt} [\vec r \times \vec v] \). Для этого отыщем производную функции (6):
\[ \left | \frac{d}{dt}[\vec \rho_{1}  \times \dot{\vec \rho}_{1} ]  \right |=2\frac{d}{dt}\sigma_{1}=\frac{d}{dt}(ab\omega -x_{0}b\omega \cos \omega t)=x_{0}b\omega^{2} \sin \omega t =\left |[\vec \rho_{1}  \times\ddot{\vec \rho}_{1}]  \right |\neq 0\neq const. \]
Результат очевиден и неутешителен для законов Кеплера: так как величина векторного произведения полярного радиус-вектора точки на вектор ускорения ее движения по эллиптической орбите не равна нулю, то, следовательно, эти вектора не коллинеарны, что в очередной раз подтверждает сделанное в стартовом посте темы негативное заключение: ускорение точки при ее движении по эллиптической орбите НЕ направлено все время к фокусу эллипса и НЕ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ РАССТОЯНИЯ точки до фокуса.

Вы не поняли. Суть заключается в том, что при выполнении законов Ньютона, скорость изменения площади всегда будет константа.
Если у Вас это не так, то значит Ваши предположения не соответствуют законам Ньютона или Вы просто допускаете ошибку.
Фактически Вы пытаетесь доказать, что законы Ньютона для орбитального движения не выполняются.

[Фёдоров В.В.]

Вы не поняли. Суть заключается в том, что при выполнении законов Ньютона, скорость изменения площади всегда будет константа.
Если у Вас это не так, то значит Ваши предположения не соответствуют законам Ньютона или Вы просто допускаете ошибку.
Фактически Вы пытаетесь доказать, что законы Ньютона для орбитального движения не выполняются.

Вы не поняли: пока вы не обосновали наличие ошибки в предложенном вашему вниманию доказательстве непостоянства изменения секторной скорости относительно фокуса при движении точки по эллиптической орбите, то вы фактически пытаетесь, но пока голословно и бездоказательно, опровергнуть высказанное по поводу верности данного математического вывода уже имеющееся конкретное мнение

строго говоря вывод абсолютно верен - действительно относительно фокуса при движении по указанному закону секторная скорость не сохраняется.

а, следовательно, не опровергнутый вами и имеющий математическое доказательство вывод остается прежним: так как величина векторного произведения полярного радиус-вектора точки на вектор ускорения ее движения по эллиптической орбите не равна нулю, то, следовательно, эти вектора не коллинеарны, что в очередной раз подтверждает сделанное в стартовом посте темы негативное заключение: ускорение точки при ее движении по эллиптической орбите НЕ направлено все время к фокусу эллипса и НЕ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ РАССТОЯНИЯ точки до фокуса.

[Фёдоров В.В.]

При чем здесь законы Кеплера к движению точки под действием квазиупругой силы?
Вы смешиваете две разные задачи?

Секундочку! Вы задаете вопросы не по адресу.

Я же привел, И НЕ ОДИН РАЗ, в теме демонстрацию противоречивого следствия именно из классических обоснований законов Кеплера и всемирного тяготения. Вот одна из этих демонстраций:

Берем в руки [Н.Н. Бухгольц, ОСНОВНОЙ КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ, Часть Первая, Кинематика, Статика, Динамика материальной точки, Допущено министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебника для государственных университетов, Изд-во "Наука", Глав. ред. Физ.-мат. лит-ры, Москва, 1965, §37 Движение свободной материальной точки под действием центральных сил, п.1 Закон площадей – стр. 384, п.5 Движение планет. Закон всемирного тяготения – стр. 387-388.] и читаем первоисточник:

"\( c\) – постоянная, называемая постоянной площадей …

… уравнение, выражающее закон площадей, примет вид
\[ r^{2}\frac{d\varphi }{dt}=c. \: \: \:(4)… \]
Из законов Кеплера Ньютон нашел закон, по которому меняется сила, действующая на планету при ее движении вокруг Солнца, а затем пришел к закону всемирного тяготения.

Покажем, как может быть решена задача динамики, состоящая в том, чтобы зная закон данного движения (законы Кеплера), определить действующую силу. …

Как известно, уравнение конического сечения в полярных координатах будет
\[ r=\frac{p}{1+\varepsilon \cos\varphi} \: \: \:(13)... \]
Введем обозначение
\[ \frac{c^{2}}{p}=\mu,\: \: \:(14) \]
где \(\mu\) носит название постоянной Гаусса. Тогда … получим
\[ F_{r}=-\mu \frac{m}{r^{2}}.\: \: \:(15) \]
Таким образом, действующая сила \(\vec{F}\) будет силой притягивающей, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния от притягивающего центра."

Из (15) с учетом (14) следует
\[ mw_{r}=-m\frac{c^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}. \]
Откуда, после подстановки в последнее (4), в очередной раз следует все тот же умопомрачительный классический результат:
\[ w_{r}=-\frac{r^{4}(d\varphi /dt)^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}=-\frac{r^{2}(d\varphi /dt)^{2}}{p}. \]
"При чем здесь законы Кеплера к движению точки под действием квазиупругой силы" - это вы к трудам Ольховского или Бухгольца адресуйте вопросы, а также вопрос о смешении этих задач вы туда направляйте, а не к тому, кто обращает ваше внимание на подобное классическое противоречивое смешение разных задач. Не правда ли?

[Ost]

Вы не поняли: пока вы не обосновали наличие ошибки в предложенном вашему вниманию доказательстве непостоянства изменения секторной скорости относительно фокуса при движении точки по эллиптической орбите, то вы фактически пытаетесь, но пока голословно и бездоказательно, опровергнуть высказанное по поводу верности данного математического вывода уже имеющееся конкретное мнение

а, следовательно, не опровергнутый вами и имеющий математическое доказательство вывод остается прежним: так как величина векторного произведения полярного радиус-вектора точки на вектор ускорения ее движения по эллиптической орбите не равна нулю, то, следовательно, эти вектора не коллинеарны, что в очередной раз подтверждает сделанное в стартовом посте темы негативное заключение: ускорение точки при ее движении по эллиптической орбите НЕ направлено все время к фокусу эллипса и НЕ ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО КВАДРАТУ РАССТОЯНИЯ точки до фокуса.

...пока вы не обосновали наличие ошибки...

Ошибка заложена в исходных уравнениях для координат точки на эллипсе.
Эти уравнения выбраны неправильно и не соответствуют реальной динамике тела на орбите.
Они нарушают третий закон Ньютона.

[Вашкевич Виктор]

Ошибка заложена в исходных уравнениях для координат точки на эллипсе.
Эти уравнения выбраны неправильно и не соответствуют реальной динамике тела на орбите.
Они нарушают третий закон Ньютона.

Так нужно выбирать: либо укладываться в третий закон Ньютона, либо выявлять реальную динамику Солнечной Системы.

[Ost]

Так нужно выбирать: либо укладываться в третий закон Ньютона, либо выявлять реальную динамику Солнечной Системы.

Выбор за Фёдоровым. Будем ждать открытия.

[Иван Горин]

Откуда, после подстановки в последнее (4), в очередной раз следует все тот же умопомрачительный классический результат:
\[ w_{r}=-\frac{r^{4}(d\varphi /dt)^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}=-\frac{r^{2}(d\varphi /dt)^{2}}{p}. \]

Нормальный классический результат.
\[ w_{r}=-\frac{r^{4}(d\varphi /dt)^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}=-\frac{r^{2}(d\varphi /dt)^{2}}{p}. \]
Проверим.
ускорение:
\[ a=w_{r}  \] 
Фокальный параметр:
\[p=\frac{c^2}{\gamma M}\]
\[c^2=\left ( r^2\frac{d\varphi }{dt} \right )^2\]
\[\left ( \frac{d\varphi }{dt} \right )^2=\frac{c^2}{r^4}\]
\[a=-\frac{r^2c^2\gamma M}{r^4c^2}=-\frac{\gamma M}{r^2}\]

У Бухгольха всё правильно.
А Ньютон - гений.
Из практических определений Кеплера он сформулировал закон всемирного тяготения.
И Бухгольц это очень хорошо показал.

[Фёдоров В.В.]

Нормальный классический результат.
\[ w_{r}=-\frac{r^{4}(d\varphi /dt)^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}=-\frac{r^{2}(d\varphi /dt)^{2}}{p}. \]
Проверим.
ускорение:
\[ a=w_{r}  \]  
\[a=-\frac{r^2c^2\gamma M}{r^4c^2}=-\frac{\gamma M}{r^2}\]

То есть вы не понимаете, что отождествлять различные по природе происхождения ускорение с прямопропорциональной зависимостью его величины от расстояния
\[ w_{r}=-\frac{r^{4}(d\varphi /dt)^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}=-\frac{r^{2}(d\varphi /dt)^{2}}{p}. \]
с ускорением, обратнопропорционально зависимым от расстояния
\[ a=-\frac{\gamma M}{r^2} \]
- это, мягко выражаясь, физически безграмотно?

Печально-то как...

[Иван Горин]

То есть вы не понимаете, что отождествлять различные по природе происхождения ускорение с прямопропорциональной зависимостью его величины от расстояния
\[ w_{r}=-\frac{r^{4}(d\varphi /dt)^{2}}{p}\frac{1}{r^{2}}=-\frac{r^{2}(d\varphi /dt)^{2}}{p}(1). \]
с ускорением, обратнопропорционально зависимым от расстояния
\[ a=-\frac{\gamma M}{r^2}(2) \]
- это, мягко выражаясь, физически безграмотно?

Печально-то как...

Природа происхождения ускорения в задаче Кеплера - действие центральной силы на тело, движущееся по орбите.
В вашей формуле (1) две переменные, которые зависят от времени. Это r и dφ/dt.
ω=ω(t)=dφ/dt угловая скорость.
ω=c/r²=f(t) из закона сохранения момента импульса.
с=r₀ v₀=const  определяется из начальных условий.
При t=0, φ=0  в точке перигелия.
Я привёл вашу формулу к виду (2), где только одна переменная r зависит от времени.