Сборище заблуждений - это не наука, а наукообразие (II).

[Фёдоров В.В.]

Здравствуйте, уважаемые участники и посетители форума!

Данную статью можно отнести к обобщению материала, на протяжении последних нескольких месяцев опубликованного на форуме, а именно

Обоснование непостоянства секторной скорости относительно фокуса при движении точки по эллипсу.
Элементарное доказательство математической абсурдности закона обратных квадратов.
Классическая запись потенциальной энергии одномерного осциллятора-произвол!(Ч.2)
Классическая запись потенциальной энергии квантового осциллятора - произвол!
Сборище заблуждений - это не наука, а наукообразие.

и др., посвященного фундаментальным физико-математическим причинам затянувшегося кризиса (а точнее – тупика) в классическом теоретическом естествознании. Итак…

Спор между окружностью и эллипсом начал Кеплер и закончился он в пользу эллипса, но не в пользу теоретического естествознания, так как очевидно, что, например, периодического эллиптического движения в системе двух материальных точек без загадочного воздействия внешнего фактора на движущуюся материальную точку в принципе не существует. Если эллипс не является однофокусной кривой двумерного пространства и результаты наблюдений “на небе” не следует воспринимать в качестве экспериментально достоверных, то и к законам Кеплера следует относиться как к умозаключениям, рождённым на небесах без какого-либо экспериментального подтверждения. Законы Кеплера Лапласом озвучены так [Изложение системы мира. Лаплас П.С., Л., “Наука”, 1982, стр.87 – 88]:

“орбиты планет суть эллипсы, в одном из фокусов которых находится центр Солнца;

площади, описываемые вокруг этого центра радиус-вектором планет, пропорциональны времени, затраченному на их описание;

квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших осей их орбит.”

Если первый закон Кеплера есть констатация результатов математической обработки наблюдений “на небе”, о достоверности которых можно только мечтать, а не руководствоваться для каких-либо природных закономерностей, то второй закон Кеплера таковым уже не является. Этот закон принципиален для классического теоретического естествознания, так как в нём идёт речь о кинематическом истолковании понятия времени – одного из основных понятий всего классического теоретического естествознания. Не исключено, что Кеплер первым сформулировал гипотезу о возможности истолкования понятия времени с использованием понятия площади, заметаемой радиус-вектором движущейся точки по замкнутой кривой двумерного пространства (эллипсу), которую вряд ли можно признать целесообразной для теоретического естествознания, так как в самой формулировке этой гипотезы нет места одномерным движениям. Здесь же следует отметить, что хотя эта гипотеза Кеплера его последователями и возведена в ранг законов природы, но следует согласиться, что это возведение осуществлялось без осознания самой сущности гипотезы. Это и подтверждается, например, следующим.

“Время для нас есть впечатление, оставляемое в памяти рядом событий, которые, как мы уверены, протекали последовательно. Для измерения времени удобно использовать движение. Действительно, так как любое тело не может быть одновременно в нескольких местах, оно переходит из одного положения в другое, лишь последовательно проходя через все промежуточные точки. Если в каждой точке описываемого им пути оно движимо одной и той же силой, его движение равномерно, и части этого пути могут измерять время, затраченное на их пробег. Когда в конце каждого качания маятник оказывается в совершенно сходных условиях, продолжительности его колебаний равны, и время может измеряться их числом. Для этого измерения можно также применять обращения небесной сферы, в которых всё представляется постоянным. Но было единодушно принято использовать для этой цели движение Солнца, возвращения которого к меридиану и к одному и тому же равноденствию или солнцестоянию образуют сутки и годы.” [Изложение системы мира. Лаплас П.С., Л., “Наука”, 1982, стр. 18].

Хотя Лапласа от Кеплера и отделяет два столетия, но этот исторический период в развитии математического фундамента классического теоретического естествознания, судя по приведённому повествованию Лапласа, вряд ли следует считать плодотворным в вопросе истолкования кинематического времени. Лаплас, видимо, отчётливо осознавал, что вопрос об истолковании кинематического времени заведён в тупиковую ситуацию, а поэтому и не нашёл ничего лучшего, как назвать время “впечатлением” и перечислить не имеющие обоснованности методики его измерения, среди которых общим является только само движение.  

[Фёдоров В.В.]

Нет, не зря Лаплас в этом повествовании отметил, что единодушное принятие (без уточнения этих душ) является критерием выбора вида движения для измерения кинематического времени. Несомненно, математического фундамента для теоретического естествознания на “впечатлениях” не создают.

Примером, дающим право считать обоснование кинематической части формулы Ньютона (прообраза будущего закона всемирного тяготения) ошибочным, является следующее повествование Лапласа [Изложение системы мира. Лаплас П.С., Л., “Наука”, 1982, стр. 134]:

“Среди явлений, наблюдаемых в солнечной системе, эллиптическое движение планет и комет кажется наиболее пригодным, чтобы привести нас к общему закону сил, которые их движут. Наблюдения показали нам, что площади, описываемые вокруг Солнца радиус-векторами планет и комет, пропорциональны времени; а в предыдущей книге мы видели, что для этого нужно, чтобы сила, отклоняющая непрерывно каждое из этих тел от прямого пути, была направлена постоянно к началу радиусов-векторов, и, следовательно, стремление планет и комет к Солнцу является необходимым следствием пропорциональности площадей и времени, затраченному на описание их радиус-векторами.

Чтобы определить закон этого стремления, предположим, что планеты движутся по круговым орбитам; это мало отличается от истины. Тогда квадраты их истинных скоростей пропорциональны квадратам радиусов этих орбит, разделённым на квадраты времени обращения. Но, по законам Кеплера, квадраты этих скоростей относятся между собой как кубы тех же радиусов. Поэтому квадраты скоростей обратно пропорциональны этим радиусам. Раньше мы видели, что центробежные силы многих тел, движущихся по окружностям, относятся между собой как квадраты скоростей, разделённые на радиусы описанных окружностей. Поэтому стремление планет к Солнцу обратно пропорционально квадратам радиусов их орбит, предполагаемых круговыми. Эта гипотеза, правда, не вполне строга, но, поскольку постоянное отношение квадратов времён обращения планет к кубам больших осей их орбит не зависит от эксцентриситета, естественно думать, что оно существует и в случае круговых орбит. Таким образом, закон, по которому тела притягиваются к Солнцу обратно пропорционально квадратам расстояний от него, ясно указывается этим отношением.”

Это повествование Лапласа, выдаваемое за обоснование кинематической части гипотезы Ньютона, собрано из явно рассогласованных между собой предположений и мнимых закономерностей, а если всё это удалить из повествования, то от него не останется и следа. Можно констатировать, что это повествование является наглядным примером соответствия гипотезы своему обоснованию. Ошибочной гипотезе – ошибочное обоснование и другого ожидать не следует, а подтверждается это следующим:

Во-первых, эллипс отличается от окружности тем, что не является однофокусной кривой двумерного пространства, а поэтому лишено всякого смысла утверждать о возможности устойчивого движения точки по эллиптической траектории. В этом случае утверждение Лапласа о том, что “эллиптическое движение планет и комет кажется наиболее пригодным, чтобы привести нас к общему закону сил, которые их движут”, в совокупности с предположением о движении планет по круговым орбитам (“это мало отличается от истины”) и обуславливают порочность дальнейших рассуждений в обосновании кинематической части гипотезы Ньютона – прообраза так называемого закона всемирного тяготения.

Например, если квадраты истинных скоростей при движении точек по окружностям пропорциональны квадратам радиусов их орбит, разделённых на квадраты времени обращения, то

\[ \frac{\upsilon_{1}^{2}}{\upsilon_{2}^{2}}=\frac{(2\pi r_{1})^{2}T_{2}^{2}}{(2\pi r_{2})^{2}T_{1}^{2}}=const, (1) \]

где \(T_{1}, T_{2}\) – время обращения по окружности соответственно.

Из (1) видно, что

\[ \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=C_{0}\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}, (2) \]

то есть квадраты времени обращения по окружностям пропорциональны квадратам их радиусов.

Этот результат явно не согласуется ни со вторым, ни с третьим законом Кеплера, а поэтому никакой возможности согласования между собой указанных законов не существует;

Во-вторых, если известна траектория движения точки в виде некоторой функции её радиус-вектора от углового параметра, который отождествляется со временем, то в принципе не существует никаких затруднений для определения скорости и ускорения движения точки по этой траектории. Затруднения возникают тогда, когда параметр задания радиус-вектора не отождествляется со временем, а поэтому в таких случаях трудности могут быть и неразрешимыми.

Например, если точка движется по эллиптической траектории, радиус-вектор которой задаётся в виде первого из (см., напр. [Ольховский И.И., Курс теоретической механики для физиков. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978.])

\[ "\rho =\frac{p}{1+\varepsilon \cos\varphi },\vec{\sigma }=\frac{1}{2}\rho ^{2}\dot{\varphi } \vec{n}_{z}=\vec{\sigma }_{0}", \]

[Фёдоров В.В.]

а время пропорционально площади эллипса (см. формулировку первого и второго законов Кеплера [Изложение системы мира. Лаплас П.С., Л., “Наука”, 1982]), то определение скорости и ускорения движения точки представляет собой неразрешимую задачу.

Лаплас, пожалуй, это осознавал, а поэтому и избрал такой своеобразный способ изложения обоснования кинематической части гипотезы Ньютона, в котором нет места привычным для восприятия математическим определениям скорости и ускорения движущейся точки по рассматриваемой траектории. Перевод же лапласовских утверждений на язык математики сразу иллюстрирует их необоснованность. Например, из (2) очевидно, что квадраты времён обращения точки по окружностям разного радиуса пропорциональны квадратам их радиусов, а не кубам, как это утверждается в третьем законе Кеплера.

Несомненно, второй и третий закон Кеплера, разделённые в формулировках семнадцатью годами [Изложение системы мира. Лаплас П.С., Л., “Наука”, 1982, стр. 88], необходимо, будучи объективным, рассматривать всё же в качестве одних из первых попыток математического истолкования понятия времени для нужд кинематики. Если речь в этих законах идёт об истолковании одного и того же понятия кинематики, то из этого уже следует, что минимум одно, а возможно и оба истолкования являются ошибочными.

Действительно, если во втором законе Кеплера утверждается, что площади, заметаемые радиус-векторами движущейся точки, пропорциональны времени, то в третьем законе того же Кеплера уже нет ни площадей, ни времени, а используются понятия  периода обращения и большая ось орбиты. В этом и проявляется их противоречивость. Первую попытку математического истолкования понятия времени для нужд кинематики, можно сказать, отверг сам Кеплер формулировкой третьего закона. Однако, в гравитационной системе двух материальных точек существует ещё и одномерное движение (например, падение тел у поверхности Земли), а поскольку понятие площади для одномерного пространства лишено смысла, то, видимо, это было причиной для самого Кеплера сформулировать третий, но ещё более проблематичный с математической точки зрения кинематический закон. Несомненно, считая “период обращения” синонимом понятия времени, третий закон Кеплера сразу следует отнести к перечню нелепых, поскольку период обращения точки по любой замкнутой кривой двумерного пространства не может быть степенной функцией её радиус-вектора с дробным показателем степени. Пространств с дробной размерностью не существует, хотя для Кеплера, Ньютона и Лапласа, а также и для их последователей этого математического ляпсуса не существовало и “не существует” до сих пор.

Нет, не зря Лаплас в приведённом повествовании избегал изложения математического формирования понятий скорости и ускорения движения точки по круговой или эллиптической орбите. Он, пожалуй, не сомневался в том, что законы Кеплера, рождённые “на небе”, уязвимы и не могут быть использованы для функциональных определений скорости и ускорения движения точки, а поэтому и использовал в своём повествовании всего лишь отношения этих символических понятий.

Учитывая изложенное относительно второго и третьего законов Кеплера, приходим к заключению, что не может быть и речи об использовании этих законов для разработки теории гравитации. Теория, в фундаменте которой лежит любой из этих ошибочных законов, может быть обоснована только с помощью слепого математического формализма, которому нет места в физике реальных тел. Физика относится к точным наукам и этим она отличается от астрономии. Для физики важны факты, установленные строгой математикой и подтверждённые экспериментально. Физическая теория, в фундаменте которой лежит абстрактный базис, всегда обосновывается слепым математическим формализмом и другого быть не может. Если говорить о кинематической части теории гравитации, то становится очевидным, что, на мой взгляд, именно математическое истолкование понятия времени в системе двух точек, позволяющее функционально определять кинематические характеристики  как при одномерном, так и двумерном их движении, и является  кинематической теорией гравитации. Если этого нет, то нет и кинематической теории гравитации. Проиллюстрируем возможный вариант лапласовского математического подтверждения кинематической части ошибочной гипотезы Ньютона с использованием третьего закона Кеплера:

Осуществляя замену в отношении (1) квадратов периодов обращения на кубы диаметров соответствующих окружностей (“больших осей их орбит”), получим
\[ \frac{\upsilon _{1}^{2}}{\upsilon _{2}^{2}}\sim \frac{r_{2}}{r_{1}}, (3) \]
из которого очевидно, что квадрат скорости движения точки по окружности обратно пропорционален величине радиуса этой окружности, то есть
\[ \upsilon_{1}^{2}\sim \frac{1}{r_{1}},\:\upsilon_{2}^{2}\sim \frac{1}{r_{2}}. (4) \]
Разделив правую и левую части последних соотношений на величину соответствующего радиуса окружности, получим

[Фёдоров В.В.]

\[ \frac{\upsilon _{1}^{2}}{r_{1}}\sim \frac{1}{r_{1}^{2}},\:\frac{\upsilon _{2}^{2}}{r_{2}}\sim \frac{1}{r_{2}^{2}}. (5) \]
Если левую часть соотношения (5) рассматривать в качестве определения величины центростремительного ускорения, то можно было бы констатировать, что кинематическая часть ньютоновской гипотезы является математически обоснованной. Однако заметим, что левая часть этого соотношения приобретает смысл величины центростремительного ускорения лишь тогда, когда в качестве времени используется понятие центрального угла или его части (\(\varphi =\omega _{0}t\), где \(\omega _{0} = const\)), а не кеплеровского времени. Следовательно, ссылка Лапласа [Изложение системы мира. Лаплас П.С., Л., “Наука”, 1982, стр. 110]: “… как центростремительная, так и центробежная сила равны квадрату скорости, деленному на радиус”, – в рассматриваемом кеплеровском случае является несостоятельной. (Что только не придумаешь, когда стремление замаскировать ошибку Ньютона преобладает над математическими возможностями, да и над интересами науки.) Хотим мы этого или нет, но следует признать, что повествование Лапласа – это ода в адрес Ньютона, базирующаяся на слепом математическом формализме. Это подтверждается следующим.

При рассмотрении движения точки по окружности радиуса \(r\) (движение двумерное) запишем следующую гипотезу:
\[ \vec{r}^{2}=(\vec{r}\cdot \vec{r})=r(\cos\varphi\cdot \vec{n}_{x}+ \sin\varphi\cdot \vec{n}_{y})=t_{m}, (6) \]
то есть математическое (кинематическое) время \(t_{m}\) будем отождествлять с величиной скалярного квадрата радиус-вектора окружности \(r\), численно равной квадрату расстояния между центром окружности и движущейся по окружности точкой (система из двух математических точек).

Выполняя формальную операцию дифференцирования (6) по \(t_{m}\) (скалярному аргументу по определению), получим:
\[ (\vec{r}\cdot \dot{\vec{r}})=(\vec{r}\cdot \vec{\upsilon })=0, (7) \]
\[ \dot{\vec{r}}^{2}+(\vec{r}\cdot \ddot{\vec{r}})=\vec{\upsilon }^{2}+(\vec{r}\cdot \vec{g})=0. (8) \]
Если движение одномерное (точки движутся навстречу друг другу), то определяя
\[ r^{2}=t_{m}, (9) \]
где \(r\) – расстояние между точками, и, дифференцируя по \(t_{m}\), получим:
\[ \dot{r}^{2}+r\cdot \ddot{r}=0. (10) \]
Численное совпадение величин математического времени в обоих случаях не вызывает сомнений, но важным является эквивалентность дифференциальных уравнений (8) и (10), которые не только по своему внешнему виду, но и по величине характеристик не отличаются друг от друга. Количественная эквивалентность подтверждается следующим образом.

Из векторного анализа известно [Г. Корн и Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., “Наука”, 1970.], что
\[ [\vec{a}\times \vec{b}]=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot  \vec{b})^{2}, (11) \]
которая для векторных характеристик движущейся по окружности точки интерпретируется следующим образом: Точка устойчиво движется по окружности \(|\vec{r}|=r=const\) с постоянной величиной линейной скорости \(|\dot{\vec{r}}|=|\vec{\upsilon }|=const\). Пусть \(\vec{a}=\vec{r}\), а \(\vec{b}=\dot{\vec{r}}=\vec{\upsilon }\).

[Фёдоров В.В.]

Поскольку вектор линейной скорости движущейся по окружности точки всегда перпендикулярен её радиус-вектору, то
\[ [\vec{r}\times \vec{\upsilon }]^{2}=|\vec{r}|^{2}|\vec{\upsilon }|^{2}-(\vec{r}\cdot  \vec{\upsilon })^{2}, (12) \]
смысл записи которого необходимо уточнить.

Действительно, запись выражения (12) базируется на определениях векторного и скалярного произведений двух векторов, которые имеют произвольную ориентацию друг относительно друга в двумерном пространстве. В нашем же случае они перпендикулярны друг другу, а значит
\[ (|\vec{r}|\cdot |\vec{\upsilon }|\sin\pi /2)^{2}=|\vec{r}|^{2}\cdot |\vec{\upsilon }|^{2}-(|\vec{r}|\cdot |\vec{\upsilon }|\cos\pi /2)^{2}. (13) \]
Поскольку
\[ (|\vec{r}|\cdot |\vec{\upsilon }|\sin\pi /2)^{2}=|\vec{r}|^{2}\cdot |\vec{\upsilon }|^{2}, (14) \]
то очевидно, что математический формализм приводит к значимому результату для теории гравитации, а именно:
\[ (|\vec{r}|\cdot |\vec{\upsilon }|)^{2}\sin^{2}\pi/2=(|\vec{r}|\cdot |\vec{\upsilon }|)^{2}\cos^{2}0, (15) \]
которое явно указывает на то, что при одинаковых \(r\) величина линейной скорости двумерного движения точки по окружности совпадает с величинами характеристик одномерного. Именно это тождество и является фундаментальным в математическом аппарате (см.Время Атом Молекула ) теории гравитации двух точек, следствием которого является, например, выражение (7).

Важно отметить, что математическое (кинематическое) время в системе двух точек, одна из которых совмещена с началом системы координат, вообще-то задаётся в виде степенной функции от расстояния между ними, а значит появляется необходимость обоснования единственности рассмотренной.

Допустим, что математическое время в системе двух точек является степенной функцией от расстояния между ними, то есть
\[ t_{m}=r^{n}, (16) \]
где \(r\) – расстояние между точками, а \(n\) – показатель степени, причем \(r > 1\), а  \(n > 0\).

Записывая (16) в виде
\[ r=t_{m}^{1/n} (17) \]
и дифференцируя по математическому времени, получим:
\[ \dot{r}=\upsilon =\frac{1}{n}t_{m}^{\frac{1-n}{n}}=\frac{1}{nr^{n-1}}, (18) \]
\[ \ddot{r}=g =\frac{1-n}{n^{2}}t_{m}^{\frac{1-2n}{n}}=\frac{1-n}{n^{2}r^{2n-1}}. (19) \]
Несомненно, из множества значений показателя степени  \(n > 0\) только значение \(n = 2\) является приемлемым для формирования математического аппарата теории гравитации двух материальных точек.

Действительно, используя (17) – (19), выражение (10) запишем в виде
\[ \frac{1}{n^{2}}t_{m}^{\frac{2-2n}{n}}+\frac{1-n}{n^{2}}t_{m}^{\frac{2-2n}{n}}=0, (20) \]
которое верно только при  \(n = 2\). Все другие значения \(n\) заведомо ошибочны и не заслуживают внимания. Например, третий закон Кеплера, утверждающий о пропорциональности квадратов периодов обращения планет кубам больших полуосей их эллиптических орбит, следует оставить современным последователям Ньютона для возможности генерирования новых спекулятивных гипотез в теории гравитации.

И, в заключение, рассмотрим задачу о пространственном осцилляторе, играющую роль создания видимости обоснования ньютоновской гипотезы, классическое решение которой явно иллюстрирует не только несостоятельность первого закона Кеплера, но и ньютоновской теории гравитации.

Вот оно [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10-ти т.. Т. 1, Механика, – 4-е изд., испр. – М., Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988, стр. 94]:

“Найти траекторию движения частицы в центральном поле \(U=kr^{2}/2\) (так называемый пространственный осциллятор). Решение. Как и во всяком центральном поле, движение происходит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости \(x, y\). Изменение каждой из координат \(x, y\) – простое колебание с одинаковыми частотами \(\omega =\sqrt{k/m}\):
\[ x=a\cos(\omega t+ \alpha),\: y=b\cos(\omega t+ \beta ) (21) \]
или
\[ x=a\cos\varphi ,\: y=b\cos(\varphi +\delta )=b\cos\delta \cos\varphi-b\sin\delta \sin\varphi, (22) \]
где введены обозначения \(\varphi =\omega t+\alpha,\delta =\beta -\alpha\). Определив отсюда \(\cos\varphi\) и \(\sin\varphi\) и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории  
\[ \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} -\frac{2xy}{ab}\cos\delta =\sin^{2}\delta. (23) \]
Это – эллипс с центром в начале координат. При \(\delta  = 0\) или \(\pi\) траектория вырождается в отрезки прямой”.

[Фёдоров В.В.]

Несомненно, такое решение и заключение, принимая во внимание его математическую краткость, можно было бы считать украшением классической кинематики, но если бы оно не являлось очередным математическим трюком в поддержку ошибочной кеплеровской, да и ньютоновской геометродинамики. Только поверхностно взирая на результат (23), и можно делать заключение о том, что за ним скрывается эллиптическая траектория движения материальной точки (частицы) в центральном поле \( U=kr^{2}/2 = m \omega^{2}r^{2}/2\). На самом же деле оно лишь указывает на несостоятельность записи декартовых прямоугольных координат точки (21).

Действительно, учитывая, что под выражением
\[ \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, (24) \]
в рассматриваемом случае подразумевается окружность единичного радиуса в новой системе координат не только в случае, когда \(a\) и \(b\) отличны от единицы, но и в случае равенства единице одного из указанных [Г. Корн и Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., “Наука”, 1970, стр. 66], из (23) имеем
\[ \cos\delta(\cos\delta-\frac{2xy}{ab})=0, (25) \]
где под углом \(\delta\) подразумевается разность фаз якобы гармонических колебаний материальной точки (одной!) в центральном поле (на самом деле изменения координат точки при её движении по замкнутой траектории), которая тождественно равна \(\pi/2\). Именно это и подтверждает выражение (25):
\[ a)\: \cos\delta=0=\cos\pi /2,\: b)\:  \cos\delta=\frac{2xy}{ab}=0. (26) \]
Вообще-то выражения (25) и (26) из слепого математического формализма можно и не приводить, поскольку (24) с учётом того, что произведение \(xy \cos\delta/(ab)\) является определением величины скалярного произведения взаимно перпендикулярных векторов, которое всегда равно нулю, то есть выражение (23) должно быть записано в таком виде:
\[ \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}}=\sin^{2}\delta =1. (27) \]
Это – окружность единичного радиуса, а не что другое.

Используя очевидное значение разности фаз, в определения координат точки (21) внесём необходимые уточнения, то есть запишем их в таком виде:
\[ x=a\cos(\omega t+\alpha _{0}),\: x=b\sin(\omega t+\alpha _{0}), (28) \]
где \(a,b, \omega, \alpha _{0}\) – постоянные, и устраним этот классический миф о возможности движения материальной точки (частицы) по эллиптической траектории в центральном поле \(U = U=kr^{2}/2 = m \omega^{2}r^{2}/2\).

Поскольку из (28), принимая \(\alpha _{0} = 0\), следует
\[ \tan\varphi =b\tan\omega t/a,\: \tan\omega t =a\tan\varphi /b, (29) \]
где \(\varphi\) – угол между осью \(0x\) и радиус-вектором движущейся точки, а
\[ |\vec{r}|=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\omega t+b^{2}\sin^{2}\omega t}=\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}(1+2\tan^{2}\varphi )}{b^{2}+a^{2}\tan^{2}\varphi }}=f(a,b,\varphi ), (30) \]
то приходим к заключению о том, что в рассматриваемом центральном поле материальная точка совершает движение с постоянной так называемой угловой скоростью \(\omega\) тогда и только тогда, когда \(a = b\), то есть по окружности.

Обнаруженные при углубленном анализе элементарные математические ошибки в решениях классических примеров уж очень длительное время переносятся из одного учебника по теоретической механике в другой, а поэтому стоит вполне справедливо отметить, что классическая кинематика не составляет прочного фундамента для динамики, порождая порочный круг ложных математических закономерностей.

С уважением.

PS

Непостоянство секторной скорости относительно фокуса эллипса - ошибочность "математически" обоснованных Ньютоном законов Кеплера.

[Валерий Ставский]

если природу явлений не объяснить без формул, с ними проще не станет

[Mirvam]

\tan\varphi =b\tan\omega t/a,\: \tan\omega t =a\tan\varphi /b, (29)[/latex]
где \(\varphi\) – угол между осью \(0x\) и радиус-вектором движущейся точки, а
\[ |\vec{r}|=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\omega t+b^{2}\sin^{2}\omega t}=\sqrt{\frac{a^{2}b^{2}(1+2\tan^{2}\varphi )}{b^{2}+a^{2}\tan^{2}\varphi }}=f(a,b,\varphi ), (30) \]
то приходим к заключению о том, что в рассматриваемом центральном поле материальная точка совершает движение с постоянной так называемой угловой скоростью \(\omega\) тогда и только тогда, когда \(a = b\), то есть по окружности.

Гсоподин Фёдоров!
Ньютон, в известной Вам формуле, рассматривал движение тела не по эллипсу, а как средний радиус круга, равный большой полуоси эллипса. Движение тел в солнечной системе (планет) - сложное. Чёткого эллипса (круга) - нет. Применить чистую математику к управляемым, движущимся телам по замкнутым траекториям в звёздных системах - нет смысла. Однако законы обращения тел в солнечной системе, что Кеплера, что Ньютона - работают и работают довольно точно. Ими пользуются для расчётов скорости движения тел в небесной механике. Уточнённый закон Кеплера: квадраты времён обращения двух тел, пропорциональны кубам их радиусов обращения и обратно-пропорциональны их скоростям обращения в шестой степени. Вот только, сэр Ньютон, допустил грубейшую ошибку: Массы тел не пропорциональны силам тяготения.  

[Вашкевич Виктор]

Гсоподин Фёдоров!
Ньютон, в известной Вам формуле, рассматривал движение тела не по эллипсу, а как средний радиус круга, равный большой полуоси эллипса. Движение тел в солнечной системе (планет) - сложное. Чёткого эллипса (круга) - нет. Применить чистую математику к управляемым, движущимся телам по замкнутым траекториям в звёздных системах - нет смысла. Однако законы обращения тел в солнечной системе, что Кеплера, что Ньютона - работают и работают довольно точно. Ими пользуются для расчётов скорости движения тел в небесной механике. Уточнённый закон Кеплера: квадраты времён обращения двух тел, пропорциональны кубам их радиусов обращения и обратно-пропорциональны их скоростям обращения в шестой степени. Вот только, сэр Ньютон, допустил грубейшую ошибку: Массы тел не пропорциональны силам тяготения.  

По Кеплеру и Ньютону планеты в Солнечной Системе движутся по замкнутым орбитам,
а на самом деле планеты движутся по спиралям, с каждым оборотом удаляясь от Солнца.

[Король Альтов]

Лжеученый и лохотронщик Фёдоров В.В. !
Своим невежеством, тупостью и идиотизмом вы позорите БФ! Администрация нашего замечательного форума терпит вас исключительно из принципа демократичности, хотя по справедливости вас давно надо забанить за невежество, наглый самопиар вашей глупости и просто за человеческую неадекватность!

[Вашкевич Виктор]

Лжеученый и лохотронщик Фёдоров В.В. !
Своим невежеством, тупостью и идиотизмом вы позорите БФ! Администрация нашего замечательного форума терпит вас исключительно из принципа демократичности, хотя по справедливости вас давно надо забанить за невежество, наглый самопиар вашей глупости и просто за человеческую неадекватность!

Это ты говоришь как релятивист, как  "смотрящий" от  комиссии по лженауке.

[Фёдоров В.В.]

Гсоподин Фёдоров!
Ньютон, в известной Вам формуле, рассматривал движение тела не по эллипсу

"Тело обращается по эллипсу; требуется определить закон центростремительной силы, направленной к фокусу эллипса" (с) [И. Ньютон, Математические начала натуральной философии, Перевод с латинского и комментарии  А.Н. Крылова, Москва, "Наука", 1989, Отдел III, Предложение XI, Задача VI.]

Прежде чем писать на форуме подобные глупости, неплохо было бы, для начала, ознакомиться с содержанием трудов самого Ньютона. Не правда ли?

[Фёдоров В.В.]

если природу явлений не объяснить без формул, с ними проще не станет

Вы, видимо, верите, что изрекли некое "откровение"? Но зачем же, демонстрируя несостоятельность высказать что-либо по теме, всех судить по себе и проецировать на окружающих собственную неспособность объяснить "природу явлений" ни с формулами, ни без них?

[Валерий Ставский]

не догнали,
пишу проще:
не стоит прикрывать обилием формул вашу неспособность объяснить природу явлений
теперь, надеюсь, стало понятней?

[Фёдоров В.В.]

не догнали,
пишу проще:
не стоит прикрывать обилием формул вашу неспособность объяснить природу явлений
теперь, надеюсь, стало понятней?

В теме нигде не фигурирует претензия превзойти вашу неспособность "объяснить природу явлений".

"Объяснить природу явлений" - это прерогатива исключительно вашей неспособности, тут вы явно вне конкуренции.

Если не догнали, то не расстраивайтесь из-за своей непонятливости, благодаря которой вы, видимо, являетесь чемпионом по неспособности "объяснить природу явлений" хоть с формулами, хоть без них.

[Mirvam]

По Кеплеру и Ньютону планеты в Солнечной Системе движутся по замкнутым орбитам,
а на самом деле планеты движутся по спиралям, с каждым оборотом удаляясь от Солнца.

И на сколько км в год удаляются, сэр Вашкевич! 

[Mirvam]

"Тело обращается по эллипсу; требуется определить закон центростремительной силы, направленной к фокусу эллипса" (с) [И. Ньютон, Математические начала натуральной философии, Перевод с латинского и комментарии  А.Н. Крылова, Москва, "Наука", 1989, Отдел III, Предложение XI, Задача VI.]

Прежде чем писать на форуме подобные глупости, неплохо было бы, для начала, ознакомиться с содержанием трудов самого Ньютона. Не правда ли?

Ваша правда, сэр Фёдоров.
С работой Ньютона:"Математические начала натуральной философии" - ознакомлен. Даже конспектировал. В ней масса грубейших ошибок. Даже в том, что Вы процетировали: ".... закон центростремительной силы, .." и здесь - несуразица. Во первых: такого закона - нет. Во вторых: в природе нет центростремительной силы. Будьте здоровы! 

[Вашкевич Виктор]

И на сколько км в год удаляются, сэр Вашкевич! 

А это можно подсчитать. Каждый  следующий год Земли становится почти на секунду длинней предыдущего.
А точней - за последние сорок лет, как стали пользоваться точными атомными часами год, увеличился на 25 секунд
За секунду Земля по орбите пролетает 30 километров.
Я где-то когда то считал, но сейчас уже не помню.
Где-то, кажется,  на 3 километра - но нужно считать, сейчас цифру запамятовал.

[Mirvam]

А это можно подсчитать. Каждый  следующий год Земли становится почти на секунду длинней предыдущего.
А точней - за последние сорок лет, как стали пользоваться точными атомными часами год, увеличился на 25 секунд
За секунду Земля по орбите пролетает 30 километров.
Я где-то когда то считал, но сейчас уже не помню.
Где-то, кажется,  на 3 километра - но нужно считать, сейчас цифру запамятовал.

Не обижайся, но глупости всё это. По твоему, если планеты, двигаясь по спирали, удаляются, тогда за миллиарды лет они удалятся на миллиарды км. Нет, Вашкевич!
Планеты миллионы лет обращаются по одной и той же орбите. Изменяется сила притяжения звезды (масса по Ньютону). Звезда тухнет, сгорая. Уменьшается сила притяжения её, соответственно уменьшается и скорость движения тел в этой звёздной системе на одном и том же радиусе обращения. 

[Вашкевич Виктор]

Не обижайся, но глупости всё это. По твоему, если планеты, двигаясь по спирали, удаляются, тогда за миллиарды лет они удалятся на миллиарды км. Нет, Вашкевич!
Планеты миллионы лет обращаются по одной и той же орбите. Изменяется сила притяжения звезды (масса по Ньютону). Звезда тухнет, сгорая. Уменьшается сила притяжения её, соответственно уменьшается и скорость движения тел в этой звёздной системе на одном и том же радиусе обращения. 

Но за последние 40 лет год Земли увеличился на 25 секунд.
Это факт. А  какие выводы ты способен вывести из этого факта  - это уже от тебя зависит.
От твоего интеллекта.