Пример 2. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение N порядка с переменными коэффициентами.\[ \sum\limits_{i=0}^{n} a_i (t)* \frac {d^i X}{dt^i} = 0 \]
Делим все коэффициенты на коэффициент при старшей производной \( b_i = \frac {a_u}{a_n} \)
и вводим новый вектор размерности n по формулам \( Y_0 = X; \frac {d^i X}{dt^i} = Y_i \)
В результате получаем n обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
\( \frac {dY_0}{dt}=Y_1 ; \frac {dY_{i-1}}{dt}= Y_i; \frac {dY_{n-1}}{dt} = - \sum\limits_{i=0}^{n-1} b_i (t)* Y_i \)
Которые можно записать в виде одного векторного дифференциального уравнения первого порядка
\[ \frac{d \vec Y}{dt} = \vec Y'(t) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
-b_0 & -b_1 & -b_2 & \cdots & -b_{n-2} & -b_{n-1} \end{pmatrix} \vec Y = B_* \vec Y \]
Фактически нам удалось свести задачу к рассмотренной выше в первом примере поэтому мы можем сразу написать ответ
\[ \vec Y(t) = ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {( \int \limits_0^t B_*(t_1) dt_1 )^n }{n!}) \vec Y(0)\]
Чтобы получить окончательное решение необходимо воспользоваться введенными выше обозначениями и взять интеграл от матрицы
\[ Z(t) = \int \limits_0^t B_*(t_1) dt_1 = \begin{pmatrix}
0 & t & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & t & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & t \\
-\int \limits_0^t \frac{a_0(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & -\int \limits_0^t \frac{a_1(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & -\int \limits_0^t \frac{a_2(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & \cdots & -\int \limits_0^t \frac{a_{n-2}(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 & -\int \limits_0^t \frac{a_{n-1}(t_1)}{a_n(t_1)}dt_1 \end{pmatrix} \]
\[ \vec Y(t) =
\begin{pmatrix}
X(t) \\
\frac{dX(t)}{dt} \\
\vdots \\
\frac{d^{n-2}X(t)}{dt^{n-2}} \\
\frac{d^{n-1}X(t)}{dt^{n-1}} \end{pmatrix}
= ( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac {Z(t)^n }{n!}) \begin{pmatrix}
X(0) \\
\frac{dX(0)}{dt} \\
\vdots \\
\frac{d^{n-2}X(0)}{dt^{n-2}} \\
\frac{d^{n-1}X(0)}{dt^{n-1}} \end{pmatrix}\]
1). Следует отметить, что мы получили общее решение при заданных начальных условиях, причем решение получилось даже избыточным, поскольку кроме самой функции X(t) посчитаны также и ее (n-1) производных!
2). Следует также отметить, что в современной математике аналитических методов решения подобных задач не существует, то-есть в данном случае получен принципиально новый результат. Однако безусловным недостатком данного аналитического решения конечно же является его крайняя громоздкость и трудоемкость!
Решение обыкновенного дифференциального уравнения N порядка с переменными коэффициентами. с правой частью.
\( \sum\limits_{i=0}^{n} a_i (t)* \frac {d^i X}{dt^i} = f(t) \) при начальных условиях \( X^{(i)}(0) = X^{(i)}_o; i=0, ... (n-1) \)
Как и ранее приводим уравнение к виду \( \frac{d \vec Y}{dt} = B_* \vec Y + \vec g(t) \)
где \( \vec g(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \frac{f(t)}{a_n(t)} \end{pmatrix} \)
Решение будем искать методом вариации произвольной постоянной в виде \( \vec Y(t) = EXP( \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) (\vec C(t) + \vec Y_0 ) \)
\( EXP( \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) \frac {d \vec C(t)}{dt} = \vec g(t); \frac {d \vec C(t)}{dt} = EXP( - \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) \vec g(t); \vec C(t) = \int\limits_0^t EXP( - \int\limits_0^{t_2} B_*(t_1) dt_1 ) \vec g(t_2) dt_2 \)
Окончательный результат: \( \vec Y(t) = EXP( \int\limits_0^t B_*(t_1) dt_1 ) (\int\limits_0^t EXP( - \int\limits_0^{t_2} B_*(t_1) dt_1 ) \vec g(t_2) dt_2 + \vec Y_0 ) \)