Солитоны 3. Метод параметрической нелинейности

[Мастеров АВ]

Метод параметрической нелинейности

При анализе свойств нелинейных уравнений (как правило) возникает такая затруднительная ситуация: Учёный точно знает: "Решение его нелинейное уравнение имеет!", но записать его аналитически (в виде формулы, как математическое выражение) он не может.

В чём проблема?

А нам (учёным) математических функций не хватает, чтобы записать решение уравнения в виде конечного ряда функций, свойства которых мы понимаем. Запись в виде бесконечного ряда иногда выручает, но... Не всегда такая запись позволяет нам оценить свойства исследуемого уравнения.

Предлагаемый мной метод ("Метод параметрической нелинейности") позволяет решить эту проблему.
Впервые этот метод я применил (изобрёл) для решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения в 1985-том году, в дипломной работе. Но потом, несколько лет, я потратил на то, чтобы понять, что применил именно метод, а не решил частный случай.

СУТЬ МЕТОДА (коротко, в двух словах) можно сформулировать так: Не спешите записывать уравнение для вашей модели, а подберите для математической записи модели такую аппроксимацию функций, которая позволит вам найти явное аналитическое решение. Или (на худой конец) упростит численный анализ уравнения.

ПОЯСНЮ: Часто мои бывшие коллеги записывают модель в виде уравнения (аппроксимируют нелинейность, к примеру и как правило, кубической параболой), а потом думают: "Как его решат?". Поскольку аналитически (как правило) уравнение оказывается не пробиваемым - грузят компьютер своими проблемами.

А мы поступим иначе. Мы постараемся записать уравнение так (будим подбирать аппроксимацию функций так), чтобы аналитическая запись решения уравнения у нас получалась на автомате.

[Мастеров АВ]

Рассмотрим простой пример: Физический маятник, который обычно записывают уравнением:

\(\ddot{x}+F(x(t))=0\)

\(\small t\ge 0\)

(1)

ЗАДАЧА: найти такую нелинейность, при которой этот осциллятор будет звенеть только на двух первых гармониках. Т.е., звенеть он должен так:

\(x(t)=A\ sin(t)+aA^2(1-cos(2t))\)

\(\small t\ge 0\)

(2)

Подставим (2) в (1):

\(F(x(t))=A\ sin(t)-4aA^2cos(2t)\)

\(\small t\ge 0\)

(3)

Выпишем (2) и (3) вместе:

\(\begin{equation*} \begin{cases}    F(x(t))=A\ sin(t)-4aA^2cos(2t)\\    x(t)=A\ sin(t)+aA^2(1-cos(2t))  \end{cases} \end{equation*}\)

\(t\ge 0\)

(4)

Эта система двух уравнений описывает искомую нелинейность. Вид ее показан на Fig. 2.

На Fig. 1 показано периодические колебания осциллятора (1) с этой нелинейностью.
Исключив время из системы уравнений (4), можно получить явное выражение для нелинейности:

\(F(x)=x-4aA^2+\frac{3}{8a}\left(1-\sqrt{1-8ax}\right)\)

(5)

Вряд ли решённая нами задача имеет практическую ценность, но она наглядно демонстрирует, что подбирая аппроксимацию нелинейности в классе параметрических функций, можно найти такую аппроксимацию, для которой решение можно записать аналитически в виде конечного ряда функций.

[Мастеров АВ]

Давайте рассмотрим ещё один пример, из серии тех, что мы решали в первой главе.
Пусть у нас имеется бистабильная (триггерная) среда:

\(U_{n+1}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(U_n(y))dy\)

\(-\infty<x<\infty\)

(6)

В первой главе это уравнение шло под номером (32), но нелинейность в нём была разрывной (в виде ступеньки).
В данном случае нелинейность (\(S\)- образная функция) будет гладкой (см. Fig. 4).
Ядро уравнения \(G(x)\) - чётная, колоколо-образная функция (типа - гауса) (см. Fig. 3).
Мы ограничились качественным описанием и ядра уравнения, и его нелинейности. Это значит, что запись (6) не является уравнением. Это - модель (наше представление о внутреннем устройстве бистабильной среды).

Пусть нас интересует неустойчивый (колоколо-образный) солитон (функция \(U(x)\)), каковых мы видели во множестве в первой главе. Если для нелинейности в виде ступеньки солитоны существуют, то можно предположит, что: для гладкой нелинейности солитоны существуют тоже.

Действие \(S\)- образной нелинейности на солитон (\(F(U(x))\)) качественно его не изменит - солитон останется колоколо-образным. Поэтому все три функции (\(G(x)\), \(U(x)\) и \(F(U(x))\)) и изобразил на одной картинке Fig. 3. И аппроксимировать их мы станем одной функцией (гаусом разной ширины и высоты).

\(G(x)=\large\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}\)

(7)

\(F(U(x))=e^{-x^2/\sigma^2}\)

(8)

Подставим пару этих выражений в (6), и после интегрирования получим искомое решение:

\(U(x)=\large\frac{e^{-x^2/(1+\sigma^2)}}{\sqrt{1+\sigma^{-2}}}\)

(9)

Т.о., нелинейность задаётся парой уравнений ((8) и (9)):

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=e^{-x^2/\sigma^2}\\ U(x)=\large\frac{e^{-x^2/(1+\sigma^2)}}{\sqrt{1+\sigma^{-2}}}  \end{cases} \end{equation*}\)

(10)

Исключая из системы уравнения (10) переменную \(x\), получим явное выражение для нелинейности, для которой нами найдено решение:

\(F(U)=\beta\cdot U^{1+\sigma^{-2}}\)

(11)

\(\beta=\left(\sqrt{1+\sigma^{-2}}\right)^{1+\sigma^{-2}}\)

(12)

Например, для \(\sigma=1\) нелинейность и соответствующее ей решение запишутся так:

\(F(U)=2U^2\) \(U(x)=\large\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2}}\)

(13)

У читателя может возникнуть законный вопрос: Парабола не похожа на \(S\)- образную нелинейность. Вот если бы парабола загибалась...
ОТВЕТ: Найденное нами решение задействует только начальный участок нелинейности. Тот, который и вправду на параболу похож. А тот участок нелинейности, где она загибается... Наше решение просто до туда "не достаёт". (\(0\le U\le 1/\sqrt{2}\), см. Fig. 5 и Fig. 6)

[Мастеров АВ]

Рассмотрим ещё один пример. И в нём мы усложним себе задачу. Время у нас будет непрерывным и искать мы станем бегущий фронт для гладкой \(S\)- образной нелинейности. А искать мы станем стационарно бегущий фронт.
И так, в непрерывном времени уравнение (6) примет вид:

\(\large\frac{\partial U}{\partial t}\normalsize+U(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(U(y,t))dy\)

\(\small U(x,0)=U_o(x),\ t\ge 0,\ -\infty<x<\infty\)

(14)

Ядро уравнения (функцию \(G(x)\)) мы оставим прежней (см (7)).

Для стационарно бегущего (со скоростью \(\nu\)) решения это уравнение запишется так:

\(-\nu\large\frac{dU}{dx}\normalsize+U(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(U(y))dy\)

\(-\infty<x<\infty\)

(15)

Бегущий фронт (гладкая функция) будет (качественно) напоминать нам интеграл вероятностей:

\(erf(x)=2\int\limits_{0}^{x}\large\frac{e^{-y^2}}{\sqrt{\pi}}dy\)

(см. Fig. 7)

(16)

Действие на такую функцию \(S\)- образной нелинейностью качественно её не изменит. Т.е., \(F(U(x))\) будет качественно совпадать с интегралом вероятностей. Так и станем аппроксимировать \(F(U(x))\) интегралом вероятностей:

\(F(U(x))=erf(x/\sigma)\)

(17)

Подставляя выражения (7) и (17) в уравнение (16), и интегрируя известные функции, получим решение:

\(U(x)=erf(\xi)-\large e\normalsize^{p(p-2\xi)}(erf(\xi-p)+sign(p))\)

(см. Fig. 8)

(18)

Где: \(\xi=x/\alpha\), \(p=\alpha/2\nu\) и  \(\alpha=\sqrt{1+\sigma^2}\)

Тогда пара уравнений (17) и (18) задаст нам параметрическое выражение для нелинейности, для которой выражение (18) является решением уравнения (15).

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=erf(x/\sigma)\\ U(x)=erf(\xi)-\large e\normalsize^{p(p-2\xi)}(erf(\xi-p)+sign(p))  \end{cases} \end{equation*}\)

(см. Fig. 9)

(19)

Попробуем добыть практически ценный результат из наших манипуляций с формулами.
Ценностью для нас могла бы стать явная зависимость между параметрами нелинейности  и скоростью фронта. (Ну а что ещё?)
Для малых скоростей эта зависимость выглядит так:

\(\nu\approx\frac{\sqrt{\pi}}{2}\sqrt{\frac{K-1}{K+1}}U_p\)

(см. Fig. 9 и Fig. 10)

(20)

Где: \(K\) - коэффициен усиления нелинейности (максимальный тангенс угла наклона касательной, к графику функции, изображённой на Fig. 9).
На Fig. 10 показана зависимость скорости фронта от величины порога для \(K=\sqrt{2}\), которая была получена численно (почти 30 назад).

------------------

Мы рассмотрели три примера, которые наглядно продемонстрировали метод в работе.
Теперь, обобщая интуитивно очевидный вывод, сформулируем метод.

[Мастеров АВ]

Метод параметрической нелинейности

Пусть у нас есть два типа моделей, которые мы хотели бы исследовать:

\(\large L\normalsize U=F(U)\)		(I)
\(U=\large L\normalsize F(U)\)		(II)

Где: \(\large L\normalsize\) - линейный оператор: дифференциальный, интегральный, интегро-дифференциальный или ещё какой. Тут важно только то, что мы умеем с ними работать.
ЗАМЕЧУ, что первый из рассмотренных в этой главе примеров относится к первому типу, а остальные - ко второму.
Для первого типа моделей мы ищем аппроксимацию нелинейности в классе таких параметрических функций:

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=\large L\normalsize u(x)\\ U(x)=u(x)  \end{cases} \end{equation*}\)

(21)

Для второго типа уравнений - таких:

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=f(x)\\ U(x)=\large L\normalsize f(x)  \end{cases} \end{equation*}\)

(22)

Где: \(u(x)\) и \(f(x)\) - произвольные функции.
Это - всё.
Если есть вопросы - спрашивайте.

[Кoнешно]

С тем, что Мастеров дятел  полностью согласен. Не знаю, умеет ли он решать уравнения,
но что пишет формулы  без понимания их смысла - это точно.


Мастеров заявляет себя специалистом колебаний, но в там есть резонанс,
в котором нарушается закон сохранения энергии,  принятый в официальной науке незыблемой догмой.
Если бы он понимал формулы, он бы  видел это и писал об этом, но он дятел и в формулах попка-дурак.
Зазубрил закорючки и считает себя математиком. Тьфу на такого горе-математика.

  В заключении статьи, хочу добавить для тех посетителей сайта, кто плохо учился в школе и поэтому в силу своего невежества искренне верит волшебникам:

      Закон сохранения энергии никто не отменял! Вечного двигателя основанного на резонансе не бывает, и не может быть! При работе колебательного контура, происходит черезпериодное накопление энергии источника тока, поэтому в результате накопления, в определённый момент времени энергия контура может превышать подводимую к нему энергию. Энергия из "пустоты" не может появиться. "Свободная энергия" - это миф, порождённый малограмотными людьми, для людей себе подобных. Энергия присутствует во всём, что нас окружает, её только нужно правильно извлечь. Это различные химические соединения и элементы, природные явления, но не "Чудо", подобное тому, которое приписывают Тесле! И чем глупее сам "приписчик", тем "чуднее" в его голове выглядит этот выдающийся учёный. В помощь к получению энергии можно привлечь и электрический резонанс, но как вспомогательное явление, помогающее влиять на изменения свойств материалов. Не забивайте себе голову антинаучными идеями! Все, ныне существующие физические законы, никто в ближайшее время не опровергал, их только дополняли и корректировали, что с развитием техники было и всегда будет. Меньше обращайте внимание на малограмотные высказывания людей завлекающих к себе выдуманной сенсацией. Не верьте во всю чепуху, а сначала проводите анализ того, что написано в различных статьях, и что Вам излагают различные средства массовой информации.
http://www.meanders.ru/energyrezonans.shtml +@>

[ieom]

найти такую нелинейность, при которой этот осциллятор будет звенеть только на двух первых гармониках.

А на кой ляд это надо?

Т.е. вы не записываете уравнение модели, исходя из физических представлений и затем ищете решения этого уравнения,

а подбираете вид уравнения, чтобы он выдавал известные вам заранее ответы. Это никому не нужно.

[Мастеров АВ]

А на кой ляд это надо?

Т.е. вы не записываете уравнение модели, исходя из физических представлений и затем ищете решения этого уравнения,

а подбираете вид уравнения, чтобы он выдавал известные вам заранее ответы. Это никому не нужно.

Я подбираю такую аппроксимацию нелинейности
(аппроксимацию подбираю - понял?)
для которой математика позволит мне записать решения
в виде конечного ряда функций, свойства которых известны.

Так я получаю связь между параметрами системы,
и её динамическими свойствами, что (собственно)
от математики и требуется.

Аппроксимация нелинейности кубической параболой
редко когда позволяет найти решение
в аналитической записи, а мой метод гарантирует, что
ты получишь аналитическую запись решения.

[ieom]

Я подбираю такую аппроксимацию нелинейности
(аппроксимацию подбираю - понял?)
для которой математика позволит мне записать решения
в виде конечного ряда функций, свойства которых известны.

я и говорю, что ты подбираешь функцию, чтобы получить ЗАРАНЕЕ известный ответ. Это нафиг никому не нужно

[ieom]

Рассмотрим простой пример: Физический маятник, который обычно записывают уравнением:

\(\ddot{x}+F(x(t))=0\)

\(\small t\ge 0\)

(1)

ЗАДАЧА: найти такую нелинейность, при которой этот осциллятор будет звенеть только на двух первых гармониках. Т.е., звенеть он должен так:

\(x(t)=A\ sin(t)+aA^2(1-cos(2t))\)

\(\small t\ge 0\)

(2)

Вот он пример. Кто тебе сказал, что он должен так "будет звенеть"? Этот результат ты должен еще получить из исходного уравнения, а не изменять его так, чтобы получить заданный тобой от балды результат.

[Мастеров АВ]

Вот он пример. Кто тебе сказал, что он должен так "будет звенеть"? Этот результат ты должен еще получить из исходного уравнения, а не изменять его так, чтобы получить заданный тобой от балды результат.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ была такой: найти такую нелинейность для гармонического осциллятора,
которая заставит звенеть осциллятор на двух гармониках. (только на двух)

Нелинейность я нашёл.
Нелинейность эта изображена на Fig 2 (уравнение (5))

Т.е., если нелинейность будет ЭТА:

\(F(x)=x-4aA^2+\frac{3}{8a}\left(1-\sqrt{1-8ax}\right)\)

(5)

а амплитуда ЭТА:\(A\), то гармоники будет только две.

Но если изменить амплитуду колебаний (не изменяя нелинейность) - появятся другие гармоники.

Ну понял что ли?

[Мастеров АВ]

Я подбираю такую аппроксимацию нелинейности
(аппроксимацию подбираю - понял?)
для которой математика позволит мне записать решения
в виде конечного ряда функций, свойства которых известны.

я и говорю, что ты подбираешь функцию, чтобы получить ЗАРАНЕЕ известный ответ. Это нафиг никому не нужно

В математике есть такая проблема:
Решение уравнения существует!
Это доказывают теоремы,
и компьютер график может нарисовать, но
записать это решение в виде конечного ряда функций,
свойства которых известны, возможности нет.
(функций не хватает)

Метод Параметрической Нелинейности
позволяет найти аппроксимацию нелинейности
в классе параметрических функций, которая
гарантированно позволяет получить решение
в виде конечного ряда функций,
свойства которых известны.

Я подбираю такую аппроксимацию нелинейности,
которая позволит мне получить решение
в виде конечного ряда функций,
свойства которых известны.

Или ты считаешь, что нелинейность
можно аппроксимировать только
кубической параболой, и - белее ничем?

[Мастеров АВ]

Первый раз я этот метод применил в 1985-том, в своей дипломной.
Тогда я нашёл решение (19). Но я (тупой), несколько лет понять не мог,
что нашёл метод. (методом ЭТО стало в конце 80-тых, когда я стал
"щёлкать как орехи" одну задачку за другой)

Тут важно понимать:

Уравнение и модель - не одно и то же.

Модель - наше (качественное) представление о том,
как связаны между собой активные элементы
в динамическом объекте, и наше (качественное)
представление о том, что из себя представляют
эти самые "активные элементы".

А ещё у нас есть наше (качественное) представление
о характере динамической активности объекта
(солитон, фронт и т.д.)

Уравнение - один из вариантов записи на языке математики
этого нашего представления.

Т.е., модель (одна и таже) может быть записана как в виде дифуры,
так и в виде интегрального уравнения, в виде разностного уранения,
или - в виде комбинации оных. Функции, в ходящие в эту запись,
тоже могут иметь варианты математической записи, и
адекватность соответствия модели разных уравнений - разная.
Но вот что интересно - если записи имеют
достаточно хорошую адекватность -
исследования таких уравнение даёт (примерно)
одно и то же.

Т.е., одной и той же модели соответствует множество вариантов записи её
на языке математики.Более того: чтобы получить свойства решения в виде фронта,
мы пишем одно уравнение, а для солитона - другое, но - модель остаётся прежней.

Важен лишь конечный результат.
А конечным результатом является
аналитическая запись связи параметров объекта
с параметрами его динамической активности.

ПРИМЕР конечного результата:

Скорость фронта связана с характером нелинейности так:

\(\nu\approx\frac{\sqrt{\pi}}{2}\sqrt{\frac{K-1}{K+1}}U_p\)

(см. Fig. 9 и Fig. 10)

(20)

А параметры неустойчивого солитона определяется параметрами нелинейности в выражениях (10), (11) и (12).

[ieom]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ была такой: найти такую нелинейность для гармонического осциллятора,
которая заставит звенеть осциллятор на двух гармониках. (только на двух)

Ну понял что ли?

Да понял я это, понял. Я только сказал, что не понимаю зачем такая постановка задачи нужна.

Кроме того, из твоего решения отнюдь не следует, что гармоник будет две. Твой "метод" обеспечивает только то, что выбранное тобой x(t) является решением модернизированного уравнения осциллятора. Но вовсе не гарантирует, что других решений нет.

[Мастеров АВ]

А я обещал единственность решения для данной нелинейности?
(не припомню такое)

Метод позволяет найти решение нелинейного уравнения аналитически.
Если у тебя был бы опыт анализа нелинейных уравнений, ты оценил мощь этого метода.
А в сочетании с методом вырожденных ядер, этот метод превращается в то, что
способно сковырнуть самую сложную задачу.

Три метода изложенные в моей монографии, открывают путь
(для умного, который придёт после меня) путь в страну чудес.
Моя монография - бомба, которая взорвётся в умной голове,
и она поставит физику на совсем другой уровень.
Но это (видимо) случится не скоро.

[ieom]

А я обещал единственность решения для данной нелинейности?

В том то и дело, что обещал:

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ была такой: найти такую нелинейность для гармонического осциллятора,
которая заставит звенеть осциллятор на двух гармониках. (только на двух)

Я это понимаю, как обещание, что других гармоник нет.

[Мастеров АВ]

В том то и дело, что обещал:

Я это понимаю, как обещание, что других гармоник нет.

Моя фраза относится только к этому решению.
И (заметь) только для конкретного значения амплитуды.
Про единственность решения я вообще ничего не сказал.

[ieom]

Моя фраза относится только к этому решению.
И (заметь) только для конкретного значения амплитуды.
Про единственность решения я вообще ничего не сказал.

Ты сказал, что должно быть ТОЛЬКО две гармоники, но никак не доказал, что при найденном тобой F(x) действительно будет ТОЛЬКО две гармоники

[Мастеров АВ]

Поиск второго и других решений в данной постановке задачи отсутствует.
(тема с множественностью решений закрыта)

[Мастеров АВ]

Поженим два метода (метод Вырожденных ядер, и - метод Параметрической нелинейности),
и посмотрим на их потомство.
Потомство будет обладать выгодными качествами обоих методов,
но эти качества будут не складываться, а - перемножаться.
(Да вы сами всё сейчас увидите.)

Итак, пусть у нас имеется многомерное нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна:

\(U(x)=\int\limits_{Q}G(x,y)F(y,U(y))dy\)

(1)

Разложим в ряд по переменной \(y\) ядро интегрального уравнения (функцию \(G(x,y)\)):

\(G(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}X_i(x)Y_i(y)\)

\(x,y\in Q\)

(2)

И пусть в этом разложении \(Y_i(y)\) - ортогональный базис. Т.е.:

\(\int\limits_{Q}Y_i(y)Y_j(y)dy=\delta_{ij}\)

(3)

Где:

\(\delta_{ij}=\begin{equation*} \begin{cases} 0,\ j\neq j\\ 1, j=j  \end{cases} \end{equation*}\)

(4)

Будем искать аппроксимацию нелинейности в классе параметрических функций. А для этого представим функцию \(F(y,U(y))\) в виде ряда того же базиса:

\(F(y,U(y))=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\lambda_iY_i(y)\)

\(y\in Q\)

(5)

Подставим (2) и (5) в уравнение (1). После интегрирования получим:

\(U(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\lambda_iX_i(x)\)

\(y\in Q\)

(6)

Как и обещал нам "Метод Параметрической Нелинейности": мы получили общее решение уравнения (1), в котором нелинейность аппроксимируется параметрическим выражением:

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(x,U(x))=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\lambda_iY_i(x)\\ U(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\lambda_iX_i(x)  \end{cases} \end{equation*}\)

\(x\in Q\)

(7)