Закон сохранения импульса и бесконечность вселенной
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) — закон, утверждающий, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, — однородностью пространства.
Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом
Вывод в механике Ньютона
Согласно второму закону Ньютона, для системы из N частиц выполняется соотношение
\[ {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}},} \]
где \( {\displaystyle {\vec {p}}} \) — импульс системы:
\[ {\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n},} \]
а \( {\displaystyle {\vec {F}}} \) — равнодействующая всех сил, приложенных к частицам системы:
\[ {\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}+\sum _{n=1}^{N}\sum _{m=1}^{N}\ {\vec {F}}_{n,m},\quad m\neq n.} \]
Здесь \( {\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}} \) — сила (или сумма сил, если таковых несколько), действующая на n-ю частицу со стороны m-ой, а \( {\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}} \) — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к k-й частице. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида \( {\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}} \) и \( {\displaystyle {\vec {F}}_{m,n}} \) равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть \( {\displaystyle {\vec {F}}_{n,m}=-{\vec {F}}_{m,n}} \). Поэтому вторая сумма в правой части выражения для \( {\displaystyle {\vec {F}}} \) будет равна нулю, внутренние силы исключаются, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему:
\[ {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}.} \]
Для системы из N частиц, в которой сумма всех внешних сил равна нулю:
\[ {\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\ {\vec {F}}_{k}^{ext}=0,} \]
и тем более для системы, на частицы которой не действуют внешние силы ( \( {\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{ext}=0} \) для всех k от 1 до N), имеем
\[ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}=0.} \]
Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:
\( {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}={\overrightarrow {\mathrm {const} }}\qquad } \) (постоянный вектор).
То есть суммарный импульс системы из N частиц является постоянной величиной. При N = 1 получаем выражение для случая одной частицы. Таким образом, следует вывод:
Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.
Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.
