Формулы де Бройля для четырёхвекторов
В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают четырёхвектор энергии-импульса \( {\displaystyle p^{\mu }} \) с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид:
\[ {\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E/c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}=\hbar {\begin{pmatrix}\omega /c\\k_{x}\\k_{y}\\k_{z}\end{pmatrix}}.} \]
Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:
\[ {\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=m^{2}c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}.} \]
Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор:
\[ {\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}+k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.} \]
Фазовая и групповая скорость волн де Бройля
Фазовая скорость волн де Бройля свободной частицы
\[ {\displaystyle v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {c^{2}}{v}}\simeq {\frac {c^{2}}{h}}m\lambda ={\frac {c^{2}p^{2}}{2Wh}}\lambda .} \]
Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают дисперсию. Фазовая скорость \( v_{f} \) волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).
Групповая скорость волны де Бройля
u равна скорости частицы
v:
\[ u={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v. \]
Экспериментальная проверкаГипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках классической физики:
Опыт Дэвиссона — Джермера по дифракции электронов на кристаллах никеля.
Опыт Дж. П. Томсона по дифракции электронов на металлической фольге.
Эффект Рамзауэра аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
Дифракция нейтронов на кристаллах (опыты Г. Хальбана, П. Прайсверка и Д. Митчелла).
Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат сверхпроводимость и сверхтекучесть.
