Вариант решения задачи.
Обозначения:
s - текущий путь пешехода от входа в тоннель
\(\dot{s}\) - текущая скорость
h - текущая высота тоннеля
H - начальная высота тоннеля
V0 - начальная скорость пешехода
L - длина тоннеля
Из условий задачи:
\[\dot{s}=\frac{hV_0}{H}\]
\[h=\frac{\dot{s}H}{V_0}\,(1)\]
Тангенс угла тоннеля:
\[\frac{H}{L}=\frac{h}{L-s}\,(2)\]
Из (1) и (2) получим:
\[\dot{s}+\frac{V_0}{L}s=V_0\,(3)\]
Обшее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами складывается из общего решения однородного уравнения плюс частное решения неоднородного уравнения.
\[s=C_1e^{-\frac{V_0}{L}t}+L\]
Постоянная интегрирования находится из начальных условий.
при t=0, s=0
И получим:
\[s=L(1-e^{-\frac{V_0}{L}t})\]
Из этой формулы найдём время.
\[1-\frac{s}{L}=-e^{-\frac{V_0}{L}t}\]
\[\ln (1-\frac{s}{L})=-\frac{V_0}{L}t\]
\[t(s)=-\frac{L}{V_0}\ln (1-\frac{s}{L})=\frac{L}{V_0}\ln\frac{L}{L-s}\]
В конце пути пешехода s=L
\[t(L)=\frac{L}{V_0}\lim_{s\rightarrow L}\left ( \ln\frac{L}{L-s} \right )=\infty\]
И очевидно, что пешеход никогда не достигнет цели.
В ТОЭ есть правило, когда какая-либо функция от времени достигает трёхпроцентной зоны от установившегося значения, то переходный процесс считается законченным.
Но эта задача не по теме ТОЭ.
