Вариационное исчисление (математический ликбез)

[Мастеров АВ]

Вариационное исчисление
(математический ликбез)

Этот раздел высшей математики часто
оказывается за бортом процесса обучения физиков,
а - зря, поскольку он является шедевром,
настоящим достижением математической науки,
которое весьма востребовано на практике.

Автором этого шедевра является Жозе́ф Луи́ Лагра́нж —
французский математик, астроном и механик
итальянского происхождения.

Наряду с Эйлером — крупнейший математик XVIII века.
Особенно прославился исключительным мастерством
в области обобщения и синтеза накопленного научного материала.

Лагранж рассказал нам, какой формы будет цепь,
если её подвесить за два конца:


Какой формы должна быть детская горка,
чтобы вы спускались с неё за минимальное время.


Форма кривой ограничителя длины маятника,
при котором период колебаний маятника
не будет зависеть от амплитуды:


Какой формы должен быть обтекатель РАДАРа истребителя,
чтобы  истребитель испытывал минимальное сопротивление воздуха.

И много других задач позволяет решить ВИ Лагранжа,
где нужно найти оптимальный путь или оптимальную форму.

Ну а книга, которая научила меня этой технологии
из серии "М.Л.Краснов, Г.И.Макаренко, А.И.Киселев"

Вся серия этого авторства - настоящий шедевр.
(весьма и весьма рекомендую)

Особо хочу выделить книгу "Векторный анализ" этих авторов.

(скачать её не смог, не нашёл)

В ней изложены методы математического анализа
поверхностей в пространстве, векторных полей в пространстве,
интегрирование в пространстве по объёму и кривым траекториям
и поверхностям.

Эта тоненькая книга даёт в руки мощный инструмент и
открывает возможности для математического анализа
объектов и динамику событий в пространстве.
Причём, материал изложен простым и понятным (не математику) языком.

[Мастеров АВ]

Формулировка задачи, которую позволяет решить Вариационное исчисление,
сводится к нахождение минимума (или максимума) некоторого интеграла:
\(T=\int_lL(q,\dot{q})dq\)

Тогда \(T\) - время, за которое вы спускаетесь с горки,
или - положение центра масс цепи, или - сила сопротивления набегающего
на обтекатель воздуха... (все они должны быть минимальны)

Задача: найти такое \(q(t)\), для которого \(T\) будет минимальным.

Лагранж доказал, что \(q(t)\) является решением уравнения:
\(\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)=\frac{\partial L}{\partial q}\) - Уравнение Лагранжа

[Мастеров АВ]

Оптимальная форма детской горки
Последний раз я решал эту задачу в начале 80-тых
(будем вспоминать вместе)

Вспомним задачку, где груз соскальзывал с наклонной плоскости.

(для упрощения -будем решать задачу, в которой сила трения отсутствует)

А из закона сохранения энергии следует

\(\frac{mv^2}{2}=mg(H-h(t))=mg\ l(t)\sin(\alpha)=mg\ y(t)\)
\(v(t)=\frac{dl}{dt}=\sqrt{2gy}\)
\(dt=\sqrt{\frac{1}{2gy}}dl=\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}dy\)

Задача свелась к минимизации такого интеграла:
\(T=\int\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}}dy\)
\(L(y,y')=\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}}\)
\(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)=\frac{\partial L}{\partial y}\)
\(y'\frac{\partial L}{\partial y'}-L=const\)
\(\sqrt{\frac{1}{(1+y'^2)y}}y'^2-\sqrt{\frac{1+y'^2}{y}}=const\)
\(y(1+y'^2)=const\)

\(Cdx=\frac{\sqrt{Cy}\ d(Cy)}{\sqrt{1-Cy}}\)
\(x(t)=C(t-\sin(t))\)
\(y(t)=C(1-\cos(t))\)


Эта кривая называется брахистохрона,
а ещё  - циклоида.

В физике эта кривая встречается ещё как траектория движения электрона
в скрещенных полях.





А ещё: циклоидалный маятник:

период колебания этого маятника
не зависит от амплитуды.

[Мастеров АВ]

Цепня линия



https://www.youtube.com/watch?v=i2fp8lajY-k

[Мастеров АВ]

Цепная линия по форме напоминает параболу. Так считалось долгое время. В начале 17 века Галилео Галилей высказал сомнение, что висящая цепь в действительности является параболой. Однако строгое доказательство и точный вывод были получены лишь полвека спустя − после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали основы математического анализа.

Решение задачи о цепной линии было опубликовано в 1691 году Христианом Гюйгенсом, Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Иоганном Бернулли.

Постановка задачи звучит так: найти такую форму висящей цепи,
при которой центр тяжести её будет опущен как можно ниже.
А для решения задачи его (ЦТ) нужно вычислить.

Давайте будем посчитать.
Пусть - \(\Delta s\) длина одного звена цепи, а его вес - \(\Delta P\).

\(\Delta P=mg\Delta s\)
\(T(x)\) и \(T(x+\Delta x)\) - силы натяжения в точках \(x\) и \(x+\Delta x\), соответственно.

Цепь находится в покое, а условие равновесия:
\(-T(x)\cos\alpha(x)+T(x+\Delta x)\cos\alpha(x+\Delta x)=0\) - по горизонтали
\(-T(x)\sin\alpha(x)+T(x+\Delta x)\sin\alpha(x+\Delta x)−\Delta P=0\) - по вертикале
Из первого уравнения видно, что горизонтальная компонента силы натяжения \(T(x)\) всегда постоянна:
\(T(x)\cos\alpha(x)=T_o=const\)
\(T(x)=\frac{T_o}{\cos\alpha(x)}\)
А второе уравнение запишем в дифференциальной форме.
\(d\left(T(x)\sin\alpha(x)\right)=dP(x)\)
\(T_o\ d\left(\tan\alpha(x)\right)=dP(x)\)
По по определению производной: \(\tan\alpha(x)=\frac{dy}{dx}=y'\), а \(dP(x)=mg_\dot{}ds=mg\sqrt{1+y'^2}dx\)
\(T_o\ d\left(y'\right)=dP(x)=mg\sqrt{1+y'^2}dx\)
\(\frac{dy'}{\sqrt{1+y'^2}}=\frac{mg}{T_o}dx\)
\(\ln\left(y'+\sqrt{1+y'^2}\right)=\frac{mg}{T_o}x+C\)
\(y'+\sqrt{1+y'^2}=Ce^{\frac{mg}{T_o}x}=f(x)\)
\(\sqrt{1+y'^2}=f(x)-y'\)
\(1+y'^2=\left(f(x)-y'\right)^2\)
\(1+y'^2=f^2(x)-2f(x)y'+y'^2\)
\(y'=C\left(e^{\frac{mg}{T_o}x}-e^{-\frac{mg}{T_o}x}\right)=C\sinh\left(\frac{mg}{T_o}x\right)\)
\(y(x)=C\cosh\left(\frac{mg}{T_o}x\right)\)
Учитывая тот факт, что цепь может быть подвешена в произвольных двух точках,
и её длина тоже не определена, то общее решение
будет выглядеть так:
\(y(x)=A\cosh\left(B(x-x_o)\right)+C\)