Маятник Фуко (2)

[Ost]

У Арнольда в книге «Математические методы классической механики» есть такая задача



Ход решения этой задачи не точный.
Решите задачу математически точно при тех же условиях.

[Иван Горин]

В процессе преобразований потеряна величина первого порядка малости.

[Ost]

В процессе преобразований потеряна величина первого порядка малости.

И этого можно было избежать, строго следуя теории движения
в неинерциальных системах отсчёта.

[Иван Горин]

В процессе преобразований потеряна величина первого порядка малости.

И этого можно было избежать, строго следуя теории движения
в неинерциальных системах отсчёта.

Автор задачи, вроде,  учел силу Кориолиса. В математических выкладках надо было корень квадратный расписать по формуле Тейлора.  И ДО ОКОНЧАНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОКА НЕ ПРЕНЕБРЕГАТЬ ВЕЛИЧИНОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ. Пишу с телевизора-андроида, иногда он меняет прописные буквы на заглавные.

[Dachnik]

Дурка, а не задачка.
На падающий камень  сил Кориолиса нет. Линейная  скорость верха башни  больше, чем основания.  Камень летит свободно,
На маятник Фуко сил Кориолиса нет. В тот то и смысл маятника Фуко, что вращение Земли на него не сказывается.

[Ost]

Автор задачи, вроде,  учел силу Кориолиса. В математических выкладках надо было корень квадратный расписать по формуле Тейлора.  И ДО ОКОНЧАНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОКА НЕ ПРЕНЕБРЕГАТЬ ВЕЛИЧИНОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ. Пишу с телевизора-андроида, иногда он меняет прописные буквы на заглавные.

В математических выкладках надо было корень квадратный расписать по формуле Тейлора.

Это не приведёт к правильному результату.

[tcaplin]

Здесь частично соглашусь с Дачником. Силы Кориолиса действуют только на тела, изменяющие радиус. То есть на экваторе никаких сил Кориолиса нет. А маятник Фуко на экваторе, наоборот, будет проявлять гироскопический эффект наибольшим образом, то есть сдвигать прочерчиваемую линию в одном направлении.
Эффект от сил Кориолиса на ненулевой широте конечно, будет - но он только сложится с гироскопическим эффектом, который в рассматриваемом случае совершенно утерян (Цитата: "На нулевой широте получаются обычные гармонические колебания").

[Dachnik]

Здесь частично соглашусь с Дачником. Силы Кориолиса действуют только на тела, изменяющие радиус.

Вернее, силы Кориолиса  меняют направление движения тела с прямого на кривое.
Но, для этого сила Кориолиса должна быть непосредственно приложена к телу, как берег прижимается к течению реки.
На падающий камень и на груз маятника  посторонних сил нет.

[Ost]

При анализе действия сил инерции надо обратить внимание на следующие обстоятельства.

1. Ускорения, связанные с силами инерции, можно получить из кинематических расчётов.
Неинерциальные ускорения не противоречат кинематике.

2. Силы инерции можно вычислить через энергию, используя функцию Лагранжа.
Силы инерции не противоречат динамике.

3. Для систем в которых есть силы инерции, можно записать закон сохранения энергии,
считая силы инерции соответствующими некоторому гравитационному полю с определённой геометрией.
Можно найти потенциал этого поля.

4. Силы инерции равноправно суммируются с реальными.
Их связь с наблюдаемыми ускорениями надо рассматривать из неинерциальной системы отсчёта.

5. Силы инерции являются массовыми, как силы гравитации.

Учитывая эти обстоятельства, можно сказать, что с практической, расчётной точки зрения, силы инерции нефиктивнее сил гравитации.

[tcaplin]

Силы инерции равноправно суммируются с реальными.

Это что же, в третьем законе Ньютона одну из сил объявлять "нереальной - фиктивной"? Ведь в большинстве задач второй силой из неразрывной Ньютоновской пары "действие-противодействие" выступает сила инерции...

[Ost]

Это что же, в третьем законе Ньютона одну из сил объявлять "нереальной - фиктивной"? Ведь в большинстве задач второй силой из неразрывной Ньютоновской пары "действие-противодействие" выступает сила инерции...

Это что же, в третьем законе Ньютона одну из сил объявлять "нереальной - фиктивной"?

Третий закон выполняется между материальными телами и остаётся неизменным.
Просто в неинерциальных системах отсчёта прибавляются силы инерции,
действующие подобно полю гравитации, но с другой геометрией.
Например, искусственная гравитация в центрифуге.   

[tcaplin]

Просто в неинерциальных системах отсчёта прибавляются силы инерции

Так я с этим и не спорю. Я против того, чтобы вообще пытаться описывать процессы из неинерциальных СО. Именно такие НСО являются "фиктивными", а не силы инерции. Разве можно, например, сформулировать в общем виде 1-й закон Ньютона для неинерциальных систем? Получится, что в каждой НСО свой закон, причем весьма замысловатый, типа (для вращающейся НСО): "масса, на которую не действуют никакие внешние силы, движется по спирали, параметры которой индивидуальны в каждой НСО"...
А силы инерции вполне реальны, и Ньютон не мыслил ничего иного, поэтому и складывать их можно с другими силами на общих основаниях. Но не в НСО.

Например, искусственная гравитация в центрифуге.

Постулат "эквивалентности" ОТО вообще физически некорректен. Он провозглашает пренебрежение "бесконечно малыми" отличиями в исходных условиях при построении математического формализма. И после такого пренебрежения строить математику с помощью интегрирования в принципе некорректно, так как при этом потеря "бесконечно малых" в исходных условиях может вылиться в потерю  существенной части в результатах.
Два рядом висящих отвеса в гравитационном поле непараллельны - их линии сходятся и пересекаются в центре массы гравитации.
Два отвеса в линейно ускоренной лаборатории строго параллельны. И это отличие лабораторий выявляемо в любом случае. То есть строгой "эквивалентности" нет и в помине.
Два отвеса в центрифуге "расходятся" - пересекаются в отрицательном направлении в центре вращения.

[Ltlekz49]

Здесь частично соглашусь с Дачником. Силы Кориолиса действуют только на тела, изменяющие радиус. То есть на экваторе никаких сил Кориолиса нет. А маятник Фуко на экваторе, наоборот, будет проявлять гироскопический эффект наибольшим образом, то есть сдвигать прочерчиваемую линию в одном направлении.
Эффект от сил Кориолиса на ненулевой широте конечно, будет - но он только сложится с гироскопическим эффектом, который в рассматриваемом случае совершенно утерян (Цитата: "На нулевой широте получаются обычные гармонические колебания").

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся по вращающейся поверхности, т.е. связанные с ней.
Кстати, на экваторе сила Кориолиса максимальна в вертикальной плоскости - при движении на запад и восток вес тел изменяется больше всего. это и вынуждает строить космодромы ближе к экватору.

[Dachnik]

Физики рассматривают маятник Фуко на поверхности Земли в ИСО Земля, в сферических координатах центр которых совпадает с центром земной сферы.
При вращении Земли, на экваторе центробежная сила \( m\omega^2 R \)  направлена по радиусу вверх, сила гравитации по радиусу вниз.
Период колебаний маятника
\[ T = \sqrt {\frac {L}{g -\omega^2 R }} \]
Для геометрического маятника, перемещение груза по вертикали мизерное, заметной силы Кориолиса нет.
В средней широте угол между ЦБС и радиусом 135^о, вектор силы тяжести смещается к экватору.
Когда начальное колебание маятника в плоскости меридиана, через четверть оборота Земли против часовой стрелки маятник колеблется поперек меридианов и ЦБС тянет маятника вправо. Через 3/4 оборота, ЦБС тянет массу маятника влево.
Относительно центральной точки под маятником, маятник движется по эллипсу.

Почему центробежную силу автор назвал силой Кориолиса.

 

[tcaplin]

Почему центробежную силу автор назвал силой Кориолиса.

Один и тот же эффект поворота направления качания маятника можно объяснять двумя способами - поворотом Земли при рассмотрении из инерциальной (не связанной с землей) СО, или влиянием "силы Кориолиса" в НСО, связанной с землей.
 Но этот эффект - не тот, что демонстрировал Фуко. В средних широтах значительно больше будет проявляться параллельный сдвиг линии качания за счет гироскопического эффекта (поворота плоскости вектора гравитации при неподвижности плоскости маятника), а на экваторе он будет единственным. О нем автор вообще забыл.
То, что нарисовал автор, будет только на полюсах.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся по вращающейся поверхности, т.е. связанные с ней.

С дополнением, что при этом движении изменяется расстояние до центра вращения. Хотя формально и отклонение от линии радиуса не связанного с поверхностью тела можно во вращающейся НСО в первом приближении объяснить "действием силы Кориолиса".

[tcaplin]

Не надо путать центробежную силу с силой Кориолиса. Естественно, что при изменении угловой скорости ЦС изменяется - но Кориолис тут нипричем.
 Сила Кориолиса разгоняет тело, когда радиус и соответственно линейная скорость его по окружности растет. И наоборот, тормозит тело, если радиус уменьшается. Если изменения радиуса нет - силы Кориолиса нет.

[Ost]

Так я с этим и не спорю. Я против того, чтобы вообще пытаться описывать процессы из неинерциальных СО. Именно такие НСО являются "фиктивными", а не силы инерции. Разве можно, например, сформулировать в общем виде 1-й закон Ньютона для неинерциальных систем? Получится, что в каждой НСО свой закон, причем весьма замысловатый, типа (для вращающейся НСО): "масса, на которую не действуют никакие внешние силы, движется по спирали, параметры которой индивидуальны в каждой НСО"...
А силы инерции вполне реальны, и Ньютон не мыслил ничего иного, поэтому и складывать их можно с другими силами на общих основаниях. Но не в НСО.Постулат "эквивалентности" ОТО вообще физически некорректен. Он провозглашает пренебрежение "бесконечно малыми" отличиями в исходных условиях при построении математического формализма. И после такого пренебрежения строить математику с помощью интегрирования в принципе некорректно, так как при этом потеря "бесконечно малых" в исходных условиях может вылиться в потерю  существенной части в результатах.
Два рядом висящих отвеса в гравитационном поле непараллельны - их линии сходятся и пересекаются в центре массы гравитации.
Два отвеса в линейно ускоренной лаборатории строго параллельны. И это отличие лабораторий выявляемо в любом случае. То есть строгой "эквивалентности" нет и в помине.
Два отвеса в центрифуге "расходятся" - пересекаются в отрицательном направлении в центре вращения.

Я против того, чтобы вообще пытаться описывать процессы из неинерциальных СО.

Никто не примет такие искусственные ограничения. Математика неинерциальных систем правильно описывает движение материальных тел.

Разве можно, например, сформулировать в общем виде 1-й закон Ньютона для неинерциальных систем?

Что касается формального сохранения равномерного прямолинейного движения при полной компенсации сил, то здесь нет проблем, дополнительно компенсируются и силы инерции.
Однако такой подход будет искусственным. Правильно говорить о состоянии покоя или движения с постоянной скоростью по эквипотенциальной траектории.
Например, тело лежит на полу центрифуги, покоится. В этом случае центробежная сила скомпенсирована реакцией со стороны пола.
Или тело катится с постоянной скоростью по эквипотенциальной поверхности пола.
Дополнительно появляется возможность орбитального движения по эквипотенциальной замкнутой траектории с постоянной скоростью.
В этом случае на тело не действуют силы по третьему закону, а центробежные силы скомпенсированы.
Вариантов компенсации больше и движение с постоянной скоростью протекает по эквипотенциальным траекториям.

Два рядом висящих отвеса в гравитационном поле непараллельны - их линии сходятся и пересекаются в центре массы гравитации.
Два отвеса в линейно ускоренной лаборатории строго параллельны. И это отличие лабораторий выявляемо в любом случае. То есть строгой "эквивалентности" нет и в помине.
Два отвеса в центрифуге "расходятся" - пересекаются в отрицательном направлении в центре вращения.

Это просто разная геометрия поля она не имеет отношения к эквивалентности как принципа.

[tcaplin]

Что касается формального сохранения равномерного прямолинейного движения при полной компенсации сил, то здесь нет проблем, дополнительно компенсируются и силы инерции.

Это самообман.
Для того, чтобы скомпенсировать силы инерции, надо вначале их знать - то есть описать НСО в инерциальной СО и все возможные в ней силы инерции. Так что говорить о возможности описывать физические процессы якобы "просто в НСО" - лукавство. Каждый конкретный случай можно рассмотреть, преобразуя конкретную траекторию из НСО в ИСО и учитывая сопутствующие силы. Но общих физических законов в НСО не сформулировать без обращения к законам Ньютона и другим в ИСО.

[Ost]

Это самообман.
Для того, чтобы скомпенсировать силы инерции, надо вначале их знать - то есть описать НСО в инерциальной СО и все возможные в ней силы инерции. Так что говорить о возможности описывать физические процессы якобы "просто в НСО" - лукавство. Каждый конкретный случай можно рассмотреть, преобразуя конкретную траекторию из НСО в ИСО и учитывая сопутствующие силы. Но общих физических законов в НСО не сформулировать без обращения к законам Ньютона и другим в ИСО.

Для того, чтобы скомпенсировать силы инерции, надо вначале их знать

Все силы инерции в неинерциальных системах отсчёта известны.
Задача Арнольда и решается через эти силы.

[Dachnik]

Математика неинерциальных систем правильно описывает движение материальных тел.

Если тело отсчета движется с ускорением  (Не ИСО) и не знать, относительно чего оно движется с ускорением, то математика ничего не опишет.
Всегда нужен принцип относительности движения Галилея, по которому нужна базовая  неподвижная точка отсчета.

Что касается формального сохранения равномерного прямолинейного движения при полной компенсации сил, то здесь нет проблем, дополнительно компенсируются и силы инерции.

Силы инерции возникают при торможении, после прекращения движущей силы.
\(  \frac {d\vec mv}{dt} = \vec {ma} \)
\( \vec {ma} \)  - сила инерции,  направленная по ходу движения, пока тело не остановится тормозной силой.
Нет торможения, нет силы инерции.
При  равномерном движении могут компенсироваться силы трения.

Однако такой подход будет искусственным. Правильно говорить о состоянии покоя или движения с постоянной скоростью по эквипотенциальной траектории.
Например, тело лежит на полу центрифуги, покоится. В этом случае центробежная сила скомпенсирована реакцией со стороны пола.

В центрифуге нет потенциального поля. Центробежная сила в ней может компенсироваться противоперегрузочным костюмом.  Но будет давить на  пилота пока не раздавит.

Дополнительно появляется возможность орбитального движения по эквипотенциальной замкнутой траектории с постоянной скоростью.
В этом случае на тело не действуют силы по третьему закону, а центробежные силы скомпенсированы.

По ЗВТ Ньютона  в этом случае тела взаимодействуют с одинаковыми силами, противоположно направленными.