Два участника решили задачу своими методами.
Привожу и мой метод решения.
Для упрощения записей привожу числа в буквах. a, b, c, d, e
1. a+b>0 6. b+d<0
2. a+c>0 7. b+e<0
3. a+d>0 8. c+d<0
4. a+e>0 9. c+e<0
5. b+c>0 10. d+e<0
Совместным решением некоторых неравенств найдём, по крайней мере, два отрицательных числа.
Сложим 5 и 6
b+c-b-d>0
c-d>0
Сложим с 8 (-с-d>0)
-2d>0
d<0
Сложим 5 и 7
b+c-b-e>0
c-e>0
Сложим с 9 (-c-e>0)
-2e>0
e<0
a найдём из (3)
a>-d, d<0
a>0
Для определения знаков остальных чисел используем формулу Михаила Оста.
\[(a_n+a_m)^2>0\]
\[a_n^2+2a_na_m+a_m^2>0\]
\[a_na_m>-\frac{a_n^2+a_m^2}{2}\]
\[a_na_m>-k\,;k>0\]
Найдём знак чисел b, c, учитывая что d<0
bd>-k
\[-b\mid d\mid >-k\,;b\mid d\mid <k\,;b<\frac{k}{\mid d\mid }\]
То есть b и c могут быть как положительными, так и отрицательными.
Значит по моему методу можно определить знаки только трёх чисел a, d, e.
