Обобщаем производную и интеграл

[al132]

\(As=\sin(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Ac=\cos(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Bs=sh(\frac{\pi}{2}b)\)
\(Bc=ch(\frac{\pi}{2}b)\)

\(J[k]=2k-1\)
\(K[k]=J^{a-1}[k]\)
\(BLN[k]=b\ ln(J[k])\)

\(Re\left(f^{(a+jb)}(x)\right)=-Bs\ As\sum\limits_{k=1}^{\infty}K[k]\cos(J[k]x-BLN[k])+\\
+Bc\ As\sum\limits_{k=1}^{\infty}K[k]\sin(J[k]x-BLN[k])\)

\(Im\left(f^{(a+jb)}(x)\right)=Bs\ Ac\sum\limits_{k=1}^{\infty}K[k]\cos(J[k]x+BLN[k])+\\
-Bc\ As\sum\limits_{k=1}^{\infty}K[k]\sin(J[k]x+BLN[k])\)

Вразуми, что это, дифференциал, или интеграл. По моему очередной заскок.
Умный, как утка, только срать не просится!
url=https://radikal.ru][/url]

[Мастеров АВ]

Ты ЭТО хочешь упростить ?
\(\sin(\frac{\pi}{2}a)=???\)
Покажи - как ?

[al132]

Ты ЭТО хочешь упростить ?
\(\sin(\frac{\pi}{2}a)=???\)
Покажи - как ?

Попробуй сам найти производную из этой функции, а я посмотрю и порадуюсь за тебя!

[Мастеров АВ]

Это - константа.
(от \(x\) не зависит)

Найти производную ?

[al132]

Это - константа.
(от \(x\) не зависит)

Найти производную ?

Шура, константа это постоянное число, золотое или 3,14...
Производная любого целого числа то сверх малого до бесконечности = 0 и это константа. Много раз тебе недоумку толдычил, похоже если бестолочь, то уже ничего не поможет, ну разве что таблетка №6.
Посмотри внимательней таблицу и чему=sin(х)
Создаётся впечатление, что всю жизнь проработал в депо слесарем-геникологом.

[al132]

\(Cc=ch(\frac{\pi}{2}b)\cos(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Cs=ch(\frac{\pi}{2}b)\sin(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Sc=sh(\frac{\pi}{2}b)\cos(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Ss=sh(\frac{\pi}{2}b)\sin(\frac{\pi}{2}a)\)

\(J[k]=2k-1\)
\(K[k]=J^{a-1}[k]\)
\(B[k]=b\ ln(J[k])\)

\(C[k]=K[k]\cos(B[k])\)
\(S[k]=K[k]\sin(B[k])\)

\(Re\left(f^{(a+jb)}(x)\right)=\\
Cc\sum\limits_{k=1}^{\infty}C[k]\sin(J[k]x)+Cs\sum\limits_{k=1}^{\infty}C[k]\cos(J[k]x)-Sc\sum\limits_{k=1}^{\infty}S[k]\cos(J[k]x)+Ss\sum\limits_{k=1}^{\infty}S[k]\sin(J[k]x)\)

\(Im\left(f^{(a+jb)}(x)\right)=\\
Cc\sum\limits_{k=1}^{\infty}S[k]\sin(J[k]x)+Cs\sum\limits_{k=1}^{\infty}S[k]\cos(J[k]x)+Sc\sum\limits_{k=1}^{\infty}C[k]\cos(J[k]x)-Ss\sum\limits_{k=1}^{\infty}C[k]\sin(J[k]x)\)

Похоже у нас делает заявку на спеца по тригонометрической функции. Ещё немного, ещё чуть чуть и может быть узнаешь, что это такое.
Кстати, что такое Сс догадываюсь, а вот Ас и As подскажешь?

[Мастеров АВ]

Похоже у нас делает заявку на спеца по тригонометрической функции. Ещё немного, ещё чуть чуть и может быть узнаешь, что это такое.
Кстати, что такое Сс догадываюсь, а вот Ас и As подскажешь?

Cc - константа.

Зачем тебе ?
Это может быть интересно математикам.

Ты - математик ?

Ааа... Нуда-нуда...
Математиком может считать себя каждый,
кто не доказал обратное.

[al132]

Cc - константа.

Зачем тебе ?
Это может быть интересно математикам.

Ты - математик ?

Ааа... Нуда-нуда...
Математиком может считать себя каждый,
кто не доказал обратное.

Ты нашёл недоумок производную sin(x), похоже это не для тебя.
Выучи хотя бы это недоумок.

Константа:
 Константа — некоторая величина, не изменяющая своё значение в рамках рассматриваемого процесса. Математическая константа — величина, значение которой не меняется; в этом она противоположна переменной.
 
что не можешь догнать, или у 3,14 есть другое значение? Сс - не константа, а соси у пьяной обезьяны.

[Мастеров АВ]

\(Cc=ch(\frac{\pi}{2}b)\cos(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Cs=ch(\frac{\pi}{2}b)\sin(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Sc=sh(\frac{\pi}{2}b)\cos(\frac{\pi}{2}a)\)
\(Ss=sh(\frac{\pi}{2}b)\sin(\frac{\pi}{2}a)\)

\(J[k]=2k-1\)
\(K[k]=J^{a-1}[k]\)
\(B[k]=b\ ln(J[k])\)

\(A[k]=K[k](Cc\cos(B[k])+Ss\sin(B[k]))\)
\(B[k]=K[k](Cs\cos(B[k])-Sc\sin(B[k]))\)
\(C[k]=K[k](Cc\sin(B[k])-Ss\cos(B[k]))\)
\(D[k]=K[k](Cs\sin(B[k])+Sc\cos(B[k]))\)

\(Re\left(f^{(a+jb)}(x)\right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}A[k]\sin(J[k]x)+\sum\limits_{k=1}^{\infty}B[k]\cos(J[k]x)\)

\(Im\left(f^{(a+jb)}(x)\right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}C[k]\sin(J[k]x)+\sum\limits_{k=1}^{\infty}D[k]\cos(J[k]x)\)

[Мастеров АВ]

в параметрическом виде

[Мастеров АВ]

Что делает с функцией
обобщённая производная ?

Чтобы осмыслить сущность новой математической операции
попробуем посмотреть на то, что делает она с гармониками,
составляющими сигнал, на который действует обобщённая производная.

Про привычную нам производную первого порядка известно:
она сдвигает фазу синусоиды на \(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin'(x)=\cos(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})\)
\(\cos'(x)=-\sin(x)=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)


Каждая следующая производная добавляет \(\frac{\pi}{2}\) к фазе.
\(\sin^{(n)}(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2}n)\)
\(\cos^{(n)}(x)=\cos(x+\frac{\pi}{2}n)\)


Обобщённая производная сдвигает фазу на \(\frac{\pi}{2}z\)
\(\sin^{(z)}(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2}z)\)
\(\cos^{(z)}(x)=\cos(x+\frac{\pi}{2}z)\)

Что это означает ?
(разберёмся)

Если \(z=a\) - действительное число, то всё просто:
\(\sin^{(a)}(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2}a)\)
\(\cos^{(a)}(x)=\cos(x+\frac{\pi}{2}a)\)

Сложнее,  если \(z=a+jb\) - комплексное число:
\(\sin^{(a)}(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2}a+j\frac{\pi}{2}b)=\\
=\sin(x+\frac{\pi}{2}a)\cos(j\frac{\pi}{2}b)+\cos(x+\frac{\pi}{2}a)\sin(j\frac{\pi}{2}b)=\\
=\sin(x+\frac{\pi}{2}a)ch(\frac{\pi}{2}b)+j\cos(x+\frac{\pi}{2}a)sh(\frac{\pi}{2}b)\)

Т.е., действие обобщённой производной комплексного порядка
превращает функцию, имеющую на выходе на множество действительных чисел -
в функцию, генерирующую комплексные значения.

Давайте посмотрим на то, что сделает обобщённая производная
на комплексную функцию \(e^{j\omega x}\)

[Мастеров АВ]

\((e^{j\omega x})^{(z)}=(j\omega)^ze^{j\omega x}=(\omega)^ze^{j\omega x+j\frac{\pi}{2}z}=\\
=(\omega)^{a+jb}e^{j(\omega x+\frac{\pi}{2}a)-\frac{\pi}{2}b}=\\
=(\omega)^{a}(\omega)^{jb}e^{j(\omega x+\frac{\pi}{2}a)-\frac{\pi}{2}b}=\\
=\omega^{a}e^{-\frac{\pi}{2}b}e^{j(\omega x+\frac{\pi}{2}a+ln(\omega)b)}=\\
\)

Из формулы (и из картинки) видно, что
обобщённая производная поворачивает и изменяет радиус
комплексной функции \(e^{j\omega x}\)

Зависимость сдвига фазы от частоты в физике связан с дисперсией средлы,
а изменение амплитуды - с потерями.

При  этом напрашивается "условие прозрачности":
\(\begin{cases}
\omega^{a}e^{-\frac{\pi}{2}b}=1\\
\frac{\pi}{2}a+ln(\omega)b=2\pi n
\end{cases}\)


Откуда:
\(\begin{cases}
b=\frac{2}{\pi}a\ ln(\omega)\\
\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}ln^2(\omega)\right)a=2\pi n
\end{cases}\)


\(\begin{cases}
b=\frac{2}{\pi}a\ ln(\omega)\\
a=\frac{4\pi^2n}{\pi^2+ln^2(\omega^2)}
\end{cases}\)


\(\begin{cases}
b=\frac{8\pi n\ ln(\omega)}{\pi^2+ln^2(\omega^2)}\\
a=\frac{4\pi^2n}{\pi^2+ln^2(\omega^2)}
\end{cases}\)


Это условие, при котором действие производной
не изменит функцию \(e^{j\omega x}\)

[Мастеров АВ]

Произвольная функция

Разложим функцию в комплексный ряд Фурье:
\(f(x)=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}A_ne^{jn\omega x}\)
Найдём обобщённую производную:
\(f^{(a+jb)}(x)=\omega^ae^{j\frac{\pi}{2}(a+jb)}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}n^aA_ne^{j(n\omega x+ln(n\omega)b)}\)
\(f^{(a+jb)}(x)=(j\omega)^ae^{-\frac{\pi}{2}b}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}n^aA_ne^{j(n\omega x+ln(n\omega)b)}\)

[Мастеров АВ]

Тригонометрический ряд Фурье

\(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos(n\omega x)+B_n\sin(n\omega x)\right)\), \(x=-\infty..\infty\)

\(f^{(a+jb)}(x)=\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{a+jb}\left(A_n\cos((n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+jb)+B_n\sin((n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+jb)\right)=\\
=\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^ae^{jb\ ln(n)}\left(A_n\left(\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\cos(jb)-\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\sin(jb)\right)+\\
+B_n\left(\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\cos(jb)+\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\sin(jb)\right)
\right)=\\
=\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^a(\cos(b\ ln(n))+j\sin(b\ ln(n)))\left(\left(A_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+B_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\right)ch(b)+\\
-j\left(A_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)-B_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\right)sh(b)
\right)=\\
=\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^a\left[\left(A_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+B_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\right)\cos(b\ ln(n))ch(b)+\\
+\left(A_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)-B_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\right)\sin(b\ ln(n))sh(b)\right]+\\
+j\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^a\left[\left(A_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+B_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\right)\sin(b\ ln(n))ch(b)+\\
-\left(A_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)-B_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\right)\cos(b\ ln(n))sh(b)\right]
=\\
=\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^a\left[A_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\cos(b\ ln(n))ch(b)+\\
+B_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\cos(b\ ln(n))ch(b)+\\
+A_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\sin(b\ ln(n))sh(b)-\\
-B_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\sin(b\ ln(n))sh(b)\right]+\\
+j\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^a\left[A_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\sin(b\ ln(n))ch(b)+\\
+B_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\sin(b\ ln(n))ch(b)+\\
-A_n\sin(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\cos(b\ ln(n))sh(b)-\\
-B_n\cos(n\omega x+\frac{\pi}{2}a)\cos(b\ ln(n))sh(b)\right]
=\\
\)

[Мастеров АВ]

Тригонометрический ряд Фурье

\(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos(n\omega x)+B_n\sin(n\omega x)\right)\), \(x=-\infty..\infty\)

\(f^{(a+jb)}(x)=\omega^{a+jb}\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^{a+jb}\left(A_n\cos((n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+jb)+B_n\sin((n\omega x+\frac{\pi}{2}a)+jb)\right)=...\)

Константы
\(C_b[n]=\cos(b\ ln(n))\)
\(S_b[n]=\sin(b\ ln(n))\)

\(p=\cos(b\ ln(\omega))\cos(\frac{\pi}{2}a)ch(b)+\sin(b\ ln(\omega))\sin(\frac{\pi}{2}a)sh(b)\)
\(q=\sin(b\ ln(\omega))\cos(\frac{\pi}{2}a)sh(b)-\cos(b\ ln(\omega))\sin(\frac{\pi}{2}a)ch(b)\)
\(r=\sin(b\ ln(\omega))\sin(\frac{\pi}{2}a)ch(b)+\cos(b\ ln(\omega))\cos(\frac{\pi}{2}a)sh(b)\)
\(t=\cos(b\ ln(\omega))\sin(\frac{\pi}{2}a)sh(b)-\sin(b\ ln(\omega))\cos(\frac{\pi}{2}a)ch(b)\)

Переменные
\(C[n](x)=\cos(n\omega x)\)
\(S[n](x)=\sin(n\omega x)\)

\(P[n](x)=(A_nC[n](x)+B_nS[n](x))C_b[n]\)
\(Q[n](x)=(A_nS[n](x)-B_nC[n](x))C_b[n]\)
\(R[n](x)=(A_nS[n](x)-B_nC[n](x))S_b[n]\)
\(T[n](x)=(A_nC[n](x)+B_nS[n](x))S_b[n]\)

\(X[n](x)=pP[n](x)+qQ[n](x)\)
\(Y[n](x)=rR[n](x)+tT[n](x)\)

\(f^{(a+jb)}(x)=\omega^a\sum\limits_{n=1}^{\infty}n^a\left[X[n](x)+Y[n](x)+j(X[n](x)-Y[n](x))\right]\)

[Мастеров АВ]

Ряд Тейлора

\(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\)
\(f^{(z)}(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{\Gamma(n+1-z)}x^{n-z}\)

\(\Gamma(z)=\int\limits_o^\infty t^{z-1}e^{-t}dt=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{(n-1)!n^z}{z(z+1)(z+2)..(z+n-1)}\)

\(\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\)

\(f^{(\frac{1}{2})}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{\Gamma(n+\frac{1}{2})}x^n
=\frac{1}{\sqrt{\pi x}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{4^nn!}{(2n)!}f^{(n)}(0)x^n=\frac{1}{\sqrt{\pi x}}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{(2n-1)!!}f^{(n)}(0)x^n\)

\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\frac{(2n)!}{4^nn!}=\sqrt{\pi}\frac{(2n-1)!!}{2^n}\)
\(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)
\(\Gamma(\frac{3}{2})=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)
\(\Gamma(\frac{1}{2}-n)=\sqrt{\pi}\frac{(-4)^nn!}{(2n)!}=\sqrt{\pi}\frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\)

\(f^{(k+\frac{1}{2})}(x)=\left(f^{(\frac{1}{2})}(x)\right)^{(k)}=\left(f^{(k)}(x)\right)^{(\frac{1}{2})}\)

Гамма функция

Интернет обучаловка

[Мастеров АВ]

Обобщённая производная функции Бесселя

\(J_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(\frac{x}{2})^{(n+2k)}}{k!(n+k)!}\)
\(J_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{(n+2k)}}{2^{(n+2k)}k!(n+k)!}\)
\(J_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{(n+2k)}}{(2k)!!(2(n+k))!!}\)
\(J_n^{(z)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\Gamma(n+2k+1)x^{(n+2k)-z}}{\Gamma(n+2k+1-z)(2k)!!(2(n+k))!!}\)
\(J_n^{(z)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(n+2k)!}{\Gamma(n+2k+1-z)(2k)!!(2(n+k))!!}x^{(n+2k)-z}\)
\(J_n^{(z)}(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(n+2k)!}{(2k)!!(2(n+k))!!}\frac{x^{(n+2k)-z}}{\Gamma(n+2k+1-z)}\)


\(J_\nu(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(\frac{x}{2})^{(\nu+2k)}}{\Gamma(k+1)\Gamma(k+\nu+1)}\)
\(J_\nu(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{(\nu+2k)}}{2^{(\nu+2k)}\Gamma(k+1)\Gamma(k+\nu+1)}\)
\(J^{(z)}_\nu(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\Gamma(\nu+2k+1)}{2^{(\nu+2k)}\Gamma(k+1)\Gamma(k+\nu+1)\Gamma(\nu+2k+1-z)}x^{(\nu+2k-z)}\)

https://kpfu.ru/portal/docs/F1001545947/Minnibaeva.pdf

[Мастеров АВ]

\(J_o(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_o^\pi\cos(x\sin\phi)d\phi\)
\(J^{(z)}_o(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_o^\pi\sin^z(\phi)\cos(x\sin\phi+\frac{\pi}{2}z)d\phi\)

\(J_n(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_o^\pi\cos(x\sin\phi-n\phi)d\phi\)
\(J^{(z)}_n(x)=\frac{1}{\pi}\int\limits_o^\pi\sin^z(\phi)\cos(x\sin\phi+\frac{\pi}{2}z-n\phi)d\phi\)

\(J_\nu(x)=\frac{x^\nu}{2^{\nu-1}\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}\int\limits_o^{\pi/2}\cos^{2\nu}(\phi)\cos(x\sin\phi)d\phi\)

\(\left(\frac{J_\nu(x)}{x^\nu}\right)^{(z)}=\frac{1}{2^{\nu-1}\sqrt{\pi}\Gamma(\nu+\frac{1}{2})}\int\limits_o^{\pi/2}\cos^{2\nu}(\phi)\sin^z(\phi)\cos(x\sin\phi+\frac{\pi}{2}z)d\phi\)

[Мастеров АВ]

Особый интерес представляет функция Бесселя дробного порядка
На самом деле порядок не то, чтобы дробный, а
а целый с половинкой: \(n+\frac{1}{2}\)

\(j_n(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\ J_{n+\frac{1}{2}}(x)\)
\(j_n(x)=\frac{x^n}{2^{n-1}n!}\int\limits_o^\pi\cos(x\cos\phi)\sin^{2n+1}(\phi)d\phi\)
\(j_n^{(z)}(x)=\frac{x^n}{2^{n-1}n!}\int\limits_o^\pi\cos^z\phi\cos(x\cos\phi+\frac{\pi}{2}z)\sin^{2n+1}(\phi)d\phi\)


При этом:
\(j_o(x)=\frac{\sin x}{x}\)
Это спектр единичного П-образного импульса


И

\(j_1(x)=\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}=-\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{x}\)

Замечу:
\(-\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{x}\left(\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}\right)\)
Если \(x\)-радиус, то спектр этой функции - шар.


До кучи (что называется):
\(\frac{J_1(x)}{x}\)
Спектр этой функции - круг.

[Мастеров АВ]

\(x^{-\frac{1}{2}}\ J_{\frac{1}{2}}(x)\)
спектр единичного П-образного импульса



\(x^{-1}J_1(x)=\frac{\sin x}{x}\)
Спектр этой функции - круг.



\(x^{-\frac{3}{2}}J_{\frac{3}{2}}(x)\)
Спектр этой функции - шар.



\(x^{-2}J_2(x)\)
Спектр этой функции - шар в четырёх мерном пространстве


\(x^{-\frac{5}{2}}J_{\frac{5}{2}}(x)\)
Спектр этой функции - шар в пятимерном мерном пространстве

...