Формула Герона.

[Король Альтов]

Пусть заданы три стороны треугольника a, b, c. Вывести формулу для площади треугольника.

[Dachnik]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Герона

[ER*]

Мораль: нельзя давать задачки на которые есть ответ в Интернете. Найдут-с.

[Иван Горин]

Пусть заданы три стороны треугольника a, b, c. Вывести формулу для площади треугольника.

Хорошая задача.
Для участников.
Не пользоваться справочниками и ссылками, и не заглядывать в них. Самостоятельно привести полный вывод.

[Dachnik]

Хреновая задачка.
Задачка должна быть на соображение, а не тупое трудолюбие к алгебраическим преобразованиям.

[Король Альтов]

Хреновая задачка.
Задачка должна быть на соображение, а не тупое трудолюбие к алгебраическим преобразованиям.

Я что то не уверен, что вы можете самостоятельно вывести эту формулу, потому что вывод весьма непрост. А главное он учит хорошо и умело пользоваться геометрией и тригонометрией без учебников и справочников. Например, когда я учился в школе, то вывести эту формулу сам не мог, а просто верил в ее правильность. А тут как то пришлось крышу сложной формы покрывать металлокерамикой, и я стал считать площади отдельных треугольников и четырехугольников, а справочников и учебников под рукой не было. Не могу сказать, что мои расчеты на природе и зеленой травке были сложными, хотя и весьма обширными для деревенской местности. Но когда я их закончил, то с удивлением заметил, что все время пользовался формулой Герона, которую я незаметно для себя вывел, причем многократно, даже не подозревая об этом.

[Король Альтов]

Самое короткое решение.

Смысл самого короткого решения в подобных задачах состоит в том, чтобы составить минимальную систему уравнений необходимую для определения неизвестной искомой величины.
В треугольнике со сторонами a, b и c опустим высоту h на сторону а. Тогда \( S=\frac{a h }{2} \).
Высота h делит сторону а в сотношении x, a-x. Для двух неизвестных h и х имеем систему двух уравнений, откуда и находим высоту.
\[ x =\sqrt{b^2 - h^2}; a - \sqrt {b^2 - h^2} = \sqrt{c^2 - h^2}; \]
\[ a^2 +b^2 -2 a \sqrt{b^2 - h^2}=c^2; b^2 - h^2 = (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a})^2 ; \]
\[ h=\sqrt{b^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2 a})^2 }= \frac{ \sqrt{4 a^2 b^2 - (a^2+b^2-c^2)^2}}{2a}; \]
\[ S=\frac{1}{4} \sqrt{(2ab -a^2 - b^2 + c^2)(2ab + a^2 + b^2 - c^2)} = \frac{1}{4} \sqrt{(c^2 - (a - b)^2 )((a+b)^2 - c^2)}= \frac{1}{4} \sqrt{(c + b -a)(c + a - b)(a + b - c)(a + b  + c)} =  \]

\( S =  \sqrt{p (p - c) ( p - b) (p - a) } \), где \( p = \frac{a + b +c }{2} \)

[Дробышев]

\(S=\frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|=\frac{1}{2}\sqrt{(\vec{a}\times\vec{b})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2-(\vec{a}\vec{b})^2}=\sqrt{\frac{1}{4}(ab-\vec{a}\vec{b})(ab+\vec{a}\vec{b})},\)

\(\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}, \qquad c^2=a^2+b^2-2\vec{a}\vec{b}, \qquad \vec{a}\vec{b}=\frac{1}{2}(a^2+b^2-c^2),\)

\(\frac{1}{4}(ab-\vec{a}\vec{b})(ab+\vec{a}\vec{b})=\frac{1}{16}(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)=\frac{1}{16}(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)=\frac{1}{16}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)=\)
\(=\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\frac{a+b+c}{2},\)

\(S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)p}.\)

[Король Альтов]

Итак имеем два лаконичных решения - первое с помощью обычной геометрии и второе с помощью аналитической геометрии или векторной алгебры.
Первое минимализировано по обьему вычислений - я смотрел несколько решений в интернете, но они все поразили меня своей громоздкостью.
Второе решение очень аналитично, но что то мне кажется, что его еще можно оптимизировать.=>
\[ S=\frac{1}{2}a* b* sin(C) = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 b^2 - (\vec a, \vec b)^2} \]
C - угол треугольника между сторонами \( \vec a \) и \( \vec b \) , противоположный стороне \( \vec c \) .
Теорема косинусов \( c^2=a^2 + b^2 - 2 (\vec a , \vec b) , \)
где скалярное произведение \( \vec a \) и \( \vec b \) по определению равно \( (\vec a , \vec b) = a * b * cos(C) \)
\[ S= \frac{1}{4} \sqrt{4 a^2 b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2} = \frac{1}{4} \sqrt{(c^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 - c^2)}   \]
\[ S = \frac{1}{4} \sqrt{(c + b - a)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c)} = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)p} ; p = \frac{a + b + c}{2} \]

[Иван Горин]

Сообщение индивида  я перенёс на полигон и тему поставил на замок тоже я. Тема себя исчерпала. А пост индивида - это математическое невежество!
Все темы и посты индивида в дальнейшем будут удаляться без предупреждений и без переносов в другие подразделы!