Специальная функция Glob[n](r) - функция-шар

[Мастеров АВ]

Специальная функция \(Glob_n(r)\) - функция-шар

Я ввожу в математику новую специальную функцию:
\(Glob_n(r)=\frac{J_{n/2}(r)}{\sqrt{2r^n}}\) , где \(n\) - размерность пространства

Особенность этой функции в том, что Фурье-спектр её - шар.
А учитывая обратимость Фурье Преобразования,
\(Glob_n(\omega)=\frac{J_{n/2}(\omega)}{\sqrt{2\omega^n}}\) - спектр шара

\(\frac{J_{\nu+m}(x)}{x^{\nu+m}}=(-1)^m\left(\frac{d}{xdx}\right)^m\frac{J_\nu(x)}{x^\nu}\)

\(Glob_{2n+1}(r)=(-1)^n\left(\frac{d}{rdr}\right)^nGlob_1(r)=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{d}{rdr}\right)^n\frac{\sin r}{r}\)

\(Glob_{2n+2}(r)=(-1)^n\left(\frac{d}{rdr}\right)^nGlob_2(r)=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{d}{rdr}\right)^n\frac{J_1(r)}{r}\)

Везде ниже \(\omega=\omega_r\).

[Мастеров АВ]

Частные случаи

Одномерное пространство

\(Glob_1(x)=\frac{J_{1/2}(x)}{\sqrt{\pi x}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sin x}{x}\)


Плоский случай
\(Glob_2(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{J_1(r)}{r}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kr^{2k}}{2^{2k+1}k!(k+1)!}\)
Спектр этой функции - круг.



Трёхмерный случай.
\(Glob_3(r)=-\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\frac{d}{dr}\left(\frac{\sin r}{r}\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}r^2}\left(\frac{\sin r}{r}-\cos r\right)\)



Размерность пространства = 4
\(Glob_4(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}r^{-2}J_2(r)=\frac{1}{4\sqrt{\pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kr^{2k}}{2^{2k}k!(k+2)!}\)


Размерность пространства = 5
\(Glob_5(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi}r^3}\left(\left(\frac{3}{r^2}-1\right)\sin r-\frac{3}{r}\cos r\right)\)

[Мастеров АВ]

Зачем нужна специальная функция \(Glob_n(r)\)

Если вам приходилось обрабатывать многомерные данные посредством свёрток
(а значит вы использовали Быстрое Преобразование Фурье), то
вам станет очевидным, что функция \(Glob_n(r)\) позволяет
строить изотропные в пространстве фильтры.

Эта функция пригодится для обработки спутниковых фотографий,
или фотографий, которые получают с межпланетных станций.

Я использовал её для обработки отпечатка пальцев.

Исходный отпечаток:


Очистка:


Цветом выделены расстояния между папиллярными линиями


Цветом выделены направления потоков ПЛ

[Мастеров АВ]

Мой друг предлагает расширить спектр применения
функции на пространства не целой размерности.
(мне это тоже кажется очевидным, но...)

Я знаком с фракталами (объекты не целой размерности)
но я (честно) это не понимаю.

[Мастеров АВ]

\(Glob_n(r)=\frac{J_{n/2}(r)}{\sqrt{\pi r^n}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{\pi 2^n}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kr^{2k}}{2^{2k}k!\Gamma(k+1+n/2)}\)

\(Glob_{2n}(r)=\frac{J_{n}(r)}{\sqrt{\pi} r^n}\)\(=\frac{1}{\sqrt{\pi}2^n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kr^{2k}}{2^{2k}k!(k+n)}!\)

\(\Gamma(n+1)=n!\)
\(\Gamma(n+1/2)=\sqrt{\pi}\frac{(2n-1)!!}{2^n}\)

\(Glob_{2n+1}(r)=\frac{J_{n+1/2}(r)}{\sqrt{\pi r} r^n}\)\(=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{d}{rdr}\right)^n\frac{\sin(r)}{r}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^kr^{2k}}{2^kk!(2(k+n)+1)!!}!\)



Функции Бесселя в задачах математической физики
функции бесселя - МФТИ

[Мастеров АВ]

\(\left(\frac{d}{xdx}\right)^m\frac{J_\nu(x)}{x^\nu}=(-1)^m\frac{J_{\nu+m}(x)}{x^{\nu+m}}\)
\(\left(\frac{d}{xdx}\right)^mx^\nu\ J_\nu(x)=x^{\nu-m}\ J_{\nu-m}(x)\)
\(\ J_{n+1/2}(x)=(-1)^n\sqrt{\frac{2}{\pi}}x^{n+1/2}\left(\frac{d}{xdx}\right)^n\frac{\sin(x)}{x}\)

[Мастеров АВ]

\(\ J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin(x)\)
\(Glob_1(x)=\frac{J_{1/2}(x)}{\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sin x}{x}\)


\(\ J_{3/2}(x)=-\sqrt{\frac{2}{\pi}}x^{3/2}\left(\frac{d}{xdx}\right)\frac{\sin(x)}{x}
=-\sqrt{\frac{2}{\pi}}x^{1/2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)
=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{x^2}\left(\frac{\sin(x)}{x}-\cos(x)\right)
\)

\(Glob_3(r)=\frac{J_{3/2}(r)}{\sqrt{2r^3}}=
-\frac{1}{\sqrt{2r^3}}\sqrt{\frac{2}{\pi}}r^{3/2}\left(\frac{d}{rdr}\right)\frac{\sin(r)}{r}=
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{d}{rdr}\right)\frac{\sin r}{r}
=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{r^2}\left(\frac{\sin(r)}{r}-\cos(r)\right)\)

\(Glob_{2n+1}(r)=\left(\frac{d}{rdr}\right)^nGlob_1(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{d}{rdr}\right)^n\frac{\sin r}{r}\)

[Мастеров АВ]

Нули функции \(Glob\) при нечётной размерности пространства

\(Glob_{2n+1}(r)=(-1)^n\left(\frac{d}{rdr}\right)^nGlob_1(r)=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{d}{rdr}\right)^n\frac{\sin r}{r}\)

Одномерное пространство

\(Glob_1(x)=\frac{J_{1/2}(x)}{\sqrt{\pi x}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{\sin x}{x}\)

Нули: \(x_n=\pi n; n=1,\ 2,\ 3,\ ...\)


Трёхмерный случай.

\(Glob_3(r)=-\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\frac{d}{dr}\left(\frac{\sin r}{r}\right)=\frac{1}{\sqrt{\pi}r^2}\left(\frac{\sin r}{r}-\cos r\right)\)

\(tg(r)=r\)

\(r_1=4.49342=1.3518+\pi\)
\(r_2=7,7252525=1.442+2\pi\)
...
\(r_n=\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)+\pi n\)


\(\alpha_1=0.219\)
\(\alpha_2=0.1287\)

\(tg\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)+\pi n\right)=\frac{\sin\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)+\pi n\right)}{\cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)+\pi n\right)}=
\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)}=
\frac{\cos(\alpha_n)}{\sin(\alpha_n)}=
\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)+\pi n
\)

Для больших \(n\)
(для далёких от начала координат нулей)
\(\frac{\cos(\alpha_n)}{\sin(\alpha_n)}=
\frac{1}{\alpha_n}=
\left(\frac{\pi}{2}-\alpha_n\right)+\pi n\)

\(\alpha^2_n-\pi(n+1/2)\alpha_n+1=0\)

\(\alpha_n=\frac{1}{\pi(n+1/2)}\)
\(r_n=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{\pi(n+1/2)}\right)+\pi n\)


Размерность пространства = 5
\(Glob_5(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi}r^3}\left(\left(\frac{3}{r^2}-1\right)\sin r-\frac{3}{r}\cos r\right)\)
\(tg(r)=\frac{3r}{3-r^2}\)

Для больших \(n\)
\(r_n=\pi n\)

Уточним

\(tg(\alpha_n+\pi n)=\frac{3(\alpha_n+\pi n)}{3-(\alpha_n+\pi n)^2}\)
\(tg(\alpha_n)=\alpha_n=\frac{3(\alpha_n+\pi n)}{3-2\pi n\alpha_n-(\pi n)^2}\)
\(\alpha_n(3-2\pi n\alpha_n-(\pi n)^2)=3(\alpha_n+\pi n)\)
\(\alpha_n(2\pi n\alpha_n+(\pi n)^2)=-3\pi n\)
\(\alpha_n=-\frac{3}{\pi n}\)
\(r_n=\pi n-\frac{3}{\pi n}\)


Размерность пространства = 7
\(Glob_7(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi}r^4}\left(3\left(\frac{5}{r^2}-2\right)\frac{\sin r}{r}+\left(1-\frac{15}{r^2}\right)\cos r\right)\)
\(tg(r)=\frac{3}{r}\frac{r^2-15}{2r^2-5}\)

Для больших \(n\)
\(r_n=\pi n+\frac{3}{2n}\)

[Мастеров АВ]

\(
-\frac{1}{\sqrt{\pi} r}\frac{d}{dr}\frac{\sin r}{r}=
\frac{1}{\sqrt{\pi} r^2}\left(\frac{\sin r}{r}-\cos r\right)=
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{\sin r}{r^3}-\frac{\cos r}{r^2}\right)=
\)

\(
-\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\frac{d}{dr}\left(\frac{\sin r}{r^3}-\frac{\cos r}{r^2}\right)=
\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\frac{d}{dr}\left(-\frac{\sin r}{r^3}+\frac{\cos r}{r^2}\right)=
\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\left(3\frac{\sin r}{r^4}-\frac{\cos r}{r^3}-2\frac{\cos r}{r^3}-\frac{\sin r}{r^2}\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\left(3\frac{\sin r}{r^4}-3\frac{\cos r}{r^3}-\frac{\sin r}{r^2}\right)=
\)

\(
-\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\frac{d}{dr}\left(3\frac{\sin r}{r^5}-3\frac{\cos r}{r^4}-\frac{\sin r}{r^3}\right)=
\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\frac{d}{dr}\left(-3\frac{\sin r}{r^5}+3\frac{\cos r}{r^4}+\frac{\sin r}{r^3}\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\left(15\frac{\sin r}{r^6}-3\frac{\cos r}{r^5}-12\frac{\cos r}{r^5}-3\frac{\sin r}{r^4}-3\frac{\sin r}{r^4}+\frac{\cos r}{r^3}\right)=
\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\left(15\frac{\sin r}{r^6}-15\frac{\cos r}{r^5}-6\frac{\sin r}{r^4}+\frac{\cos r}{r^3}\right)=\\
\frac{1}{\sqrt{\pi}r^4}\left(15\frac{\sin r}{r^3}-15\frac{\cos r}{r^2}-6\frac{\sin r}{r}+\cos r\right)=
\frac{1}{\sqrt{\pi}r^4}\left(3\left(\frac{5}{r^2}-2\right)\frac{\sin r}{r}+\left(1-\frac{15}{r^2}\right)\cos r\right)=
\)