Свободное движение тела в условиях искусственной гравитации центрифуги.
\(\Omega_z~-\) угловая скорость центрифуги.
\(R_0~-\) радиус центрифуги (пола).
\(h_0~-\) начальная высота тела над полом.
\(v_0~-\) начальная скорость тела.
Неинерциальная система отсчёта связана с центром вращения.
В начальный момент времени ИСО и не ИСО совпадают.
\(\vec a~-\) ускорение тела в поле искусственной гравитации.
\(\vec v~-\) скорость тела.
\(\vec r~-\) радиус вектор тела.
Записываем дифференциальное уравнение неинерциального движения тела без сил взаимодействия по 2 и 3 закону.
\(\displaystyle \vec a=-2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] + Ω_z^2~ \vec r\).
В комплексном виде
\(\displaystyle \ddot{r} + i2Ω_z \dot{r} - Ω_z^2 r=0\).
Решаем
\(\displaystyle \lambda^2 + i2Ω_z \lambda - Ω_z^2=0\).
\(\displaystyle \lambda = \frac{-i2Ω_z \pm \sqrt{-4Ω_z^2 - 4(-Ω_z^2)}}{2}= -iΩ_z\).
Этим определяется выбор функции. Вращение вектора
\(\displaystyle r(t)=R(t)~e^{-i\Omega_z t}\).
\((1)\)Где
\(R(t)~-\) функция зависящая от начальных условий.
Определяем параметры вектора
\(R(t)\). В нашем случае это линейная функция, так как относительно ИСО движение по инерции.
Дифференцируем
\((1)\)\(\displaystyle v(t)=-i \Omega_z~R(t)~e^{-i\Omega_z t}+\frac{dR(t)}{dt}~e^{-i\Omega_z t}\).
При \(t=0\);
\(\displaystyle R(0)=R_0 - h_0~-\) начальное положение тела.
\(\displaystyle v(0)=-i \Omega_z~R(0)+\frac{dR(0)}{dt}=-i \Omega_z(R_0-h_0)+v_0\).
\(R(t)=v(0)~t+r(0)=(-i \Omega_z(R_0-h_0)+v_0)t+R_0 - h_0=(R_0 - h_0)(1-i\Omega_z~t+v_0~t/(R_0 - h_0))\).
\(\displaystyle r(t)=(R_0 - h_0)(1-i\Omega_z~t+v_0~t/(R_0 - h_0))~e^{-i\Omega_z t}\).
\((2)\)