Автор Тема: Операции с комплексными числами в механике  (Прочитано 1125 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Рассмотрим основные векторные операции на комплексной плоскости.
Скалярное и векторное произведение.

Зададим два вектора в показательной форме
\(\displaystyle \vec a = a~e^{i \alpha}\);
\(\displaystyle \vec b = b~e^{i \beta}\).

Скалярное произведение
\(\displaystyle Re(\vec a \cdot \bar{\vec b})=Re(\bar{\vec a} \cdot \vec b)= a~b~cos(\alpha-\beta)\).
Для одного вектора \(\bar{\vec a} \cdot \vec a= a^2\).

Векторное произведение, проекция на ось, перпендикулярную комплексной плоскости
\(\displaystyle Im(\bar{\vec a} \cdot \vec b)= -a~b~sin(\alpha-\beta)\).
\(\displaystyle Im(\vec a \cdot \bar{\vec b})= a~b~sin(\alpha-\beta)\).

Координатная форма. Зададим два вектора
\(\displaystyle \vec a = a_x + i~a_y\);
\(\displaystyle \vec b = b_x + i~b_y\).

Скалярное произведение
\(\displaystyle Re(\vec a \cdot \bar{\vec b})=Re(\bar{\vec a} \cdot \vec b)= a_x b_x+a_y b_y\).
Для одного вектора \(\bar{\vec a} \cdot \vec a= a_x^2 + a_y^2=a^2\).

Векторное произведение, проекция на ось, перпендикулярную комплексной плоскости
\(\displaystyle Im(\bar{\vec a} \cdot \vec b)=a_x b_y - a_y b_x \).
\(\displaystyle Im(\vec a \cdot \bar{\vec b})=a_y b_x - a_x b_y \).

Пример.
Вычислим угловую скорость вращения вектора скорости на траектории.
Пусть \(\vec v\) и \(\vec a\) соответственно скорость и ускорение на траектории, тогда
\(\displaystyle \omega = \frac{v~a~sin(\alpha-\beta)}{v~v}\).

Переводим в комплексную форму
\(\displaystyle \omega=\frac{Im(\vec v \cdot \bar{\vec a})}{\vec v \cdot \bar{\vec v}}\).

Поворот вектора \(\vec a\) на угол \(\alpha\) 
\(\displaystyle \vec a \cdot e^{i~\alpha}\).
Поворот вектора на \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle \vec a \cdot e^{i~\frac{\pi}{2}}= \vec a \cdot i\).

Преобразование векторного произведения в комплексную форму,
если один из векторов ортогонален комплексной плоскости.
Пусть вектор \(\vec \omega\) перпендикулярен комплексной плоскости, тогда
\(\displaystyle [\vec v \times \vec \omega] \equiv -i~ \omega~ \vec v\).
 
Определение перпендикулярности и коллинеарности векторов.
Если \(\displaystyle Re(\vec a \cdot \bar{\vec b})= 0~-\) векторы перпендикулярны.
Если \(\displaystyle Im(\vec a \cdot \bar{\vec b})= 0~-\) векторы коллинеарны.

Угол между векторами
\(\displaystyle \alpha-\beta=atan\left(\frac{Im(\vec a \cdot \bar{\vec b})}{Re(\vec a \cdot \bar{\vec b})} \right)\).

Комплексное сопряжение.
Комплексное число \(a_x-i~a_y\) называется комплексно сопряженным к \(a_x+i~a_y\).

Правила операции сопряжение
\(\overline{\vec a + \vec b}= \overline{\vec a}+\overline{\vec b}\).
\(\overline{\vec a \cdot \vec b}= \overline{\vec a} \cdot \overline{\vec b}\).
...

Тригонометрическая форма представления комплексного числа.
...

« Последнее редактирование: 10 Апрель 2019, 15:57:27 от Ost »

Большой Форум

Загрузка...

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
операции с мнимой единицей i

\(\displaystyle i^2=-1\)
\(\displaystyle \frac{1}{i}=-i\)

Скалярное умножение единичных векторов
\(\displaystyle e^{i\alpha }e^{i\beta }=\cos (\alpha -\beta )\)
\(\displaystyle (ie^{i\alpha })(e^{i\beta })=(e^{i\alpha +i\frac{\pi }{2}})(e^{i\beta })=\cos (\alpha -\beta+\frac{\pi }{2} )\)
\(\displaystyle (ie^{i\alpha })(1)=(e^{i\alpha +i\frac{\pi }{2}})(e^{i0})=\cos (\alpha +\frac{\pi }{2} )=-\sin \alpha\)
\(\displaystyle (ie^{i\alpha })(e^{i\alpha })=(e^{i\alpha +i\frac{\pi }{2}})(e^{i\alpha })=\cos (\frac{\pi }{2} )=0\)
\(\displaystyle (ie^{i\alpha })(ie^{i\alpha })=(e^{i\alpha +i\frac{\pi }{2}})(e^{i\alpha +i\frac{\pi }{2}})=\cos0=1\)
\(\displaystyle (ie^{i\alpha })(-ie^{i\alpha })=(e^{i\alpha +i\frac{\pi }{2}})(e^{i\alpha -i\frac{\pi }{2}})=\cos\pi =-1\)

« Последнее редактирование: 05 Апрель 2019, 19:59:15 от Иван Горин »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Дифференцирование
1. Вектор задан в показательной форме
\(\displaystyle \vec{a}=ae^{i\alpha }\)
Первая поизводная по времени
\(\displaystyle \dot{\vec{a}}=\dot{a}e^{i\alpha }+ia\dot{\alpha }e^{i\alpha }=\dot{a}e^{i\alpha }+i\dot{\alpha }\vec{a}\)
...
2. Вектор задан в алгебраической (координатной) форме
\(\displaystyle \vec{a}=a_x+ia_y\)
Первая поизводная по времени
\(\displaystyle \dot{\vec{a}}=\dot{a_x}+i\dot{a_y}\)
...

« Последнее редактирование: 05 Апрель 2019, 19:14:17 от Иван Горин »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Решение задач на комплексной плоскости.

Пример 1.
На вращающемся диске радиуса \(r_0\) подвешен трос с грузом массой \(m\). Угловая скорость диска \(\omega =const\).
Масса груза значительно меньше массы диска.
Трос меняет длину с постоянной скоростью \(V_0\). Трос жесткий.
Найти дифференциальное уравнение колебаний троса в зависимости от угла отклонения.

Решаем задачу в неинерциальной системе отсчёта, связанной с центром вращения диска.
В этом случае груз находится в поле сил инерции по уравнению
\(\displaystyle \vec a = -2\left[\vec \omega \times \vec v \right] + \omega^2 (\vec r + \vec r_0)\)   (1)
и на него действует сила реакции со стороны троса \(\vec f\).

Уравнение движения относительно точки подвеса груза будет такое
\(\displaystyle m~ \vec a =\vec f -2m \left[\vec \omega \times \vec v \right] + m~\omega^2 (\vec r+\vec r_0)\).

Переходим к комплексному варианту
\(\displaystyle m~ \vec a = \vec f - 2i~m~\omega~ \vec v + m~\omega^2 (\vec r+\vec r_0)\).

При суммировании \(\displaystyle \frac{\vec f}{m}\) и уравнения (1),
в результате остаётся только ускорение перпендикулярное тросу.
Все силы вдоль троса компенсированы, так как трос изменяет длину с постоянной скоростью.
Записываем уравнение ускорения груза, которое определяется кинематикой троса
\(\displaystyle \vec a_\bot =i~ e^{i \alpha}~ Re(\overline{i~ e^{i \alpha}} \cdot (- 2i~\omega~ \vec v + \omega^2 (\vec r+\vec r_0))) \).

Так как \(\displaystyle \vec r= R~e^{i \alpha}\) и \(\vec v=(V_0+i~v_\bot)e^{i \alpha}\).

Тогда \(\displaystyle \vec a_\bot =i~ e^{i \alpha}~ Re(-i~ e^{-i \alpha} \cdot (- 2i~\omega ~(V_0+i~v_\bot)e^{i \alpha}  + \omega^2 (R~e^{i \alpha}+\vec r_0)))= \)
\(=i~ e^{i \alpha}(-\omega^2~r_0~sin(\alpha)- 2\omega~V_0)\).

Это же ускорение выделяем из формулы \(\displaystyle \vec r= R~e^{i \alpha}= (V_0~t+L_0)~e^{i \alpha}\), где \(L_0~-\) начальная длина троса.

\(\displaystyle \vec a_\bot =i~ e^{i \alpha}~ Re\left(\overline{i~ e^{i \alpha}} \cdot \frac{d^2}{dt^2}\left((V_0~t+L_0)e^{i \alpha}\right) \right) =  i~ e^{i \alpha}\left(2V_0 \frac{d \alpha}{dt}+(V_0~t+L_0)\frac{d^2 \alpha}{dt^2} \right) \).

В результате будет диф. ур.
\(\displaystyle 2V_0 \frac{d \alpha}{dt}+(V_0~t+L_0)\frac{d^2 \alpha}{dt^2}= -\omega^2~r_0~sin(\alpha)- 2\omega~V_0\)     (2).

Угол отклонения троса в статическом случае
\(\displaystyle -\omega^2~r_0~sin(\alpha)- 2\omega~V_0=0\).

\(\displaystyle sin(\alpha) = -\frac{2V_0}{\omega~r_0}\).

Случай произвольного движения троса, длина троса \(R(t)\).
\(\displaystyle 2\frac{dR}{dt} \frac{d \alpha}{dt}+R\frac{d^2 \alpha}{dt^2}= -\omega^2~r_0~sin(\alpha)- 2\omega~\frac{dR}{dt}\)     (3).

Снимаем ограничение на жесткость троса. Вычисляем ускорения вдоль троса
\(\displaystyle \vec a_{\parallel} =e^{i \alpha}~ Re(\overline{ e^{i \alpha}} \cdot (- 2i~\omega~ \vec v + \omega^2 (\vec r+\vec r_0))) = e^{i \alpha}~ (\omega^2 R+2\omega~v_\bot + \omega^2~r_0~cos(\alpha))\).

\(\displaystyle \vec a_\parallel =e^{i \alpha}~ Re\left(\overline{e^{i \alpha}} \cdot \frac{d^2}{dt^2}\left(R~e^{i \alpha}\right) \right) = e^{i \alpha} \left(\frac{d^2R}{dt^2}-\left(\frac{d\alpha}{dt}\right)^2R \right)\).

\(\displaystyle \vec v_\bot =i~ e^{i \alpha}~ Re\left(\overline{i~ e^{i \alpha}} \cdot \frac{d}{dt}\left(R~e^{i \alpha}\right) \right) = i~ e^{i \alpha}\left(\frac{d\alpha}{dt}R \right) \).

В результате будет диф. ур.
\(\displaystyle \frac{d^2R}{dt^2}-\left(\frac{d\alpha}{dt}\right)^2R=\omega^2 R+2\omega~\frac{d\alpha}{dt}R + \omega^2~r_0~cos(\alpha) \)    (4).

Если к уравнениям (3) (4) добавить уравнение упругого троса, то получится

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll}
2\frac{dR}{dt} \frac{d \alpha}{dt}+R\frac{d^2 \alpha}{dt^2}= -\omega^2~r_0~sin(\alpha)- 2\omega~\frac{dR}{dt}\\
\frac{d^2R}{dt^2}-\left(\frac{d\alpha}{dt}\right)^2R=\omega^2 R+2\omega~\frac{d\alpha}{dt}R + \omega^2~r_0~cos(\alpha)\\
\frac{d^2R}{dt^2}= -\omega_p^2~(R-L_0)
\end{array} \right. \)

...

« Последнее редактирование: 13 Апрель 2019, 16:46:48 от Ost »

Оффлайн Ost

  • Местный мудрец
  • *****
  • Сообщений: 777
  • Страна: ru
  • Рейтинг: +214/-28
Снимаем ограничение на постоянную скорость \(\omega\).
\(\displaystyle m~ \vec a =\vec f -2m \left[\vec \omega \times \vec v \right] + m~\omega^2 (\vec r+\vec r_0)-m\left[\frac{d\vec \omega}{dt} \times (\vec r+\vec r_0) \right]\).
...

Вычислим вклад последнего члена уравнения

\(\displaystyle \vec a_{\bot 4} =i~ e^{i \alpha}~ Re\left(-i~ e^{-i \alpha} \cdot \left(-i~\frac{d\omega}{dt} (\vec r+\vec r_0)\right)\right)= \)

\(\displaystyle \vec a_{\parallel 4} =e^{i \alpha}~ Re\left(\overline{e^{i \alpha}} \cdot \left(-i~\frac{d\omega}{dt} (\vec r+\vec r_0)\right) \right)=\).

Вычисляем ускорение перпендикулярное направлению \(\vec r_0\)
...
« Последнее редактирование: 16 Апрель 2019, 16:39:42 от Ost »

Большой Форум

Загрузка...